Kada morate riješiti probleme iz fizike o kretanju objekata, često se pokaže korisnim primijeniti zakon održanja količine gibanja. Koliki je zamah za linearno i kružno gibanje tijela i koja je bit zakona održanja ove vrijednosti, raspravlja se u članku.
Koncept linearnog momenta
Povijesni podaci pokazuju da je prvi put ovu vrijednost u svojim znanstvenim radovima razmatrao Galileo Galilei početkom 17. stoljeća. Nakon toga, Isaac Newton uspio je skladno integrirati koncept zamaha (točniji naziv za zamah) u klasičnu teoriju kretanja objekata u prostoru.
Označite zamah kao p¯, tada će formula za njegovo izračunavanje biti napisana kao:
p¯=mv¯.
Ovdje je m masa, v¯ je brzina (vektorska vrijednost) kretanja. Ova jednakost pokazuje da je količina gibanja karakteristika brzine objekta, pri čemu masa igra ulogu faktora množenja. Broj pokretaje vektorska veličina koja pokazuje u istom smjeru kao i brzina.
Intuitivno, što je veća brzina kretanja i masa tijela, to ga je teže zaustaviti, odnosno ima veću kinetičku energiju.
Količina kretanja i njezina promjena
Možete pogoditi da za promjenu p¯ vrijednosti tijela morate primijeniti neku silu. Neka sila F¯ djeluje tijekom vremenskog intervala Δt, tada nam Newtonov zakon omogućuje da zapišemo jednakost:
F¯Δt=ma¯Δt; stoga F¯Δt=mΔv¯=Δp¯.
Vrijednost jednaka umnošku vremenskog intervala Δt i sile F¯ naziva se impuls ove sile. Budući da se ispostavi da je jednak promjeni zamaha, potonji se često naziva jednostavno zamahom, što sugerira da ga je stvorila neka vanjska sila F¯.
Dakle, razlog za promjenu količine gibanja je zamah vanjske sile. Vrijednost Δp¯ može dovesti do povećanja vrijednosti p¯ ako je kut između F¯ i p¯ oštar, i do smanjenja modula p¯ ako je ovaj kut tup. Najjednostavniji slučajevi su ubrzanje tijela (kut između F¯ i p¯ je nula) i njegovo usporavanje (kut između vektora F¯ i p¯ je 180o).
Kada je zamah sačuvan: zakon
Ako tjelesni sustav nijedjeluju vanjske sile, a svi procesi u njemu ograničeni su samo mehaničkom interakcijom njegovih komponenti, tada svaka komponenta količine gibanja ostaje nepromijenjena proizvoljno dugo vremena. Ovo je zakon održanja količine gibanja tijela, koji je matematički zapisan na sljedeći način:
p¯=∑ipi¯=const ili
∑ipix=const; ∑ipiy=const; ∑ipiz=konst.
Indeks i je cijeli broj koji nabraja objekt sustava, a indeksi x, y, z opisuju komponente zamaha za svaku od koordinatnih osi u kartezijanskom pravokutnom sustavu.
U praksi je često potrebno rješavati jednodimenzionalne probleme sudara tijela, kada su poznati početni uvjeti, te je potrebno odrediti stanje sustava nakon udara. U ovom slučaju, impuls je uvijek očuvan, što se ne može reći za kinetičku energiju. Potonji prije i poslije udara bit će nepromijenjen samo u jednom slučaju: kada postoji apsolutno elastična interakcija. Za ovaj slučaj sudara dvaju tijela koja se kreću brzinama v1 i v2,formula za očuvanje momenta imat će oblik:
m1 v1 + m2 v 2=m1 u1 + m2 u 2.
Ovdje, brzine u1 i u2 karakteriziraju kretanje tijela nakon udarca. Imajte na umu da je u ovom obliku zakona održanja potrebno uzeti u obzir predznak brzina: ako su usmjerene jedna prema drugoj, onda treba uzeti jednupozitivan, a drugi negativan.
Za savršeno neelastičan sudar (dva tijela se drže zajedno nakon udara), zakon održanja količine gibanja ima oblik:
m1 v1 + m2 v 2=(m1+ m2)u.
Rješenje problema o zakonu održanja p¯
Riješimo sljedeći problem: dvije se kuglice kotrljaju jedna prema drugoj. Mase kuglica su iste, a njihove brzine su 5 m/s i 3 m/s. Uz pretpostavku da postoji apsolutno elastičan sudar, potrebno je pronaći brzine kuglica nakon njega.
Upotrebom zakona održanja zamaha za jednodimenzionalni slučaj, i uzimajući u obzir da se kinetička energija čuva nakon udara, pišemo:
v1 - v2=u1 + u 2;
v12 + v22=u12 + u22.
Ovdje smo odmah smanjili mase loptica zbog njihove jednakosti, a uzeli smo u obzir i činjenicu da se tijela kreću jedno prema drugom.
Lakše je nastaviti rješavati sustav ako zamijenite poznate podatke. Dobivamo:
5 - 3 - u2=u1;
52+ 32=u12+ u22.
Zamjenom u1 u drugu jednadžbu, dobivamo:
2 - u2=u1;
34=(2 - u2)2+u2 2=4 - 4u2 + 2u22; stoga,u22- 2u2 - 15=0.
Dobili smo klasičnu kvadratnu jednadžbu. Riješimo ga kroz diskriminant, dobijemo:
D=4 - 4(-15)=64.
u2=(2 ± 8) / 2=(5; -3) m/c.
Imamo dva rješenja. Ako ih zamijenimo prvim izrazom i definiramo u1, dobivamo sljedeću vrijednost: u1=-3 m/s, u 2=5 m/s; u1=5 m/s, u2=-3 m/s. Drugi par brojeva dat je u uvjetu zadatka, tako da ne odgovara stvarnoj raspodjeli brzina nakon udara.
Dakle, ostaje samo jedno rješenje: u1=-3 m/s, u2=5 m/s. Ovaj neobičan rezultat znači da u središnjem elastičnom sudaru dvije kuglice jednake mase jednostavno izmjenjuju svoje brzine.
Trenutak zamaha
Sve što je gore rečeno odnosi se na linearni tip kretanja. Međutim, pokazalo se da se slične veličine mogu uvesti i u slučaju kružnog pomaka tijela oko određene osi. Kutni moment, koji se još naziva i kutni moment, izračunava se kao umnožak vektora koji povezuje materijalnu točku s osi rotacije i momenta gibanja te točke. To jest, formula se odvija:
L¯=r¯p¯, gdje je p¯=mv¯.
Moment, kao i p¯, je vektor koji je usmjeren okomito na ravninu izgrađenu na vektorima r¯ i p¯.
Vrijednost L¯ je važna karakteristika rotacionog sustava, budući da određuje energiju koja je pohranjena u njemu.
Moment momenta i zakon očuvanja
Kutni moment je očuvan ako na sustav ne djeluju vanjske sile (obično kažu da nema momenta sila). Izraz iz prethodnog odlomka, kroz jednostavne transformacije, može se napisati u obliku koji je pogodniji za vježbanje:
L¯=Iω¯, gdje je I=mr2 je moment inercije materijalne točke, ω¯ je kutna brzina.
Moment inercije I, koji se pojavio u izrazu, ima potpuno isto značenje za rotaciju kao i uobičajena masa za linearno gibanje.
Ako postoji bilo kakvo unutarnje preuređenje sustava, u kojem se mijenja I, tada ω¯ također ne ostaje konstantan. Štoviše, promjena u obje fizičke veličine događa se na takav način da jednakost u nastavku ostaje važeća:
I1 ω1¯=I2 ω 2¯.
Ovo je zakon održanja kutnog momenta L¯. Njegovu manifestaciju promatrala je svaka osoba koja je barem jednom pohađala balet ili umjetničko klizanje, gdje sportaši izvode piruete rotacijom.
