Rotacija tijela jedna je od važnih vrsta mehaničkog kretanja u tehnologiji i prirodi. Za razliku od linearnog kretanja, ono se opisuje vlastitim skupom kinematičkih karakteristika. Jedan od njih je kutno ubrzanje. Ovu vrijednost karakteriziramo u članku.
Rotacijski pokret
Prije nego govorimo o kutnom ubrzanju, opišimo vrstu gibanja na koju se odnosi. Govorimo o rotaciji, što je kretanje tijela po kružnim stazama. Da bi došlo do rotacije, moraju biti ispunjeni određeni uvjeti:
- prisutnost osi ili točke rotacije;
- prisutnost centripetalne sile koja bi držala tijelo u kružnoj orbiti.
Primjeri ove vrste kretanja su razne atrakcije, poput vrtuljka. U strojarstvu se rotacija očituje u kretanju kotača i osovina. U prirodi je najupečatljiviji primjer ove vrste kretanja rotacija planeta oko vlastite osi i oko Sunca. Ulogu centripetalne sile u ovim primjerima imaju sile međuatomske interakcije u čvrstim tijelima i gravitacijske sileinterakcija.
Kinematske karakteristike rotacije
Ove karakteristike uključuju tri veličine: kutno ubrzanje, kutnu brzinu i kut rotacije. Označit ćemo ih grčkim simbolima α, ω i θ, redom.
Budući da se tijelo kreće u krug, zgodno je izračunati kut θ, koji će okrenuti za određeno vrijeme. Ovaj kut se izražava u radijanima (rijetko u stupnjevima). Budući da kružnica ima 2 × pi radijana, možemo napisati jednadžbu koja se odnosi na θ na duljinu luka L zavoja:
L=θ × r
Gdje je r polumjer rotacije. Ovu formulu je lako dobiti ako se sjetite odgovarajućeg izraza za opseg.
Ugaona brzina ω, kao i njegov linearni parnjak, opisuje brzinu rotacije oko osi, odnosno određuje se prema sljedećem izrazu:
ω¯=d θ / d t
Količina ω¯ je vektorska vrijednost. Usmjeren je duž osi rotacije. Njegova jedinica je radijani po sekundi (rad/s).
Konačno, kutno ubrzanje je fizička karakteristika koja određuje brzinu promjene vrijednosti ω¯, koja je matematički zapisana na sljedeći način:
α¯=d ω¯/ d t
Vektor α¯ usmjeren je prema promjeni vektora brzine ω¯. Nadalje će se reći da je kutno ubrzanje usmjereno prema vektoru momenta sile. Ova vrijednost se mjeri u radijanima.kvadratna sekunda (rad/s2).
Moment sile i ubrzanja
Ako se prisjetimo Newtonovog zakona, koji povezuje silu i linearno ubrzanje u jednu jednakost, tada, prenoseći ovaj zakon na slučaj rotacije, možemo napisati sljedeći izraz:
M¯=I × α¯
Ovdje je M¯ moment sile, koji je umnožak sile koja teži okretanju sustava puta poluge - udaljenost od točke primjene sile do osi. Vrijednost I je analogna masi tijela i naziva se momentom tromosti. Napisana formula naziva se jednadžba momenata. Iz njega se kutno ubrzanje može izračunati na sljedeći način:
α¯=M¯/ I
Budući da je I skalar, α¯ je uvijek usmjeren prema momentu djelovanja sile M¯. Smjer M¯ određuje se pravilom desne ruke ili pravilom gimleta. Vektori M¯ i α¯ okomiti su na ravninu rotacije. Što je veći moment inercije tijela, to je manja vrijednost kutnog ubrzanja koju fiksni moment M¯ može dati sustavu.
Kinematske jednadžbe
Da bismo razumjeli važnu ulogu koju kutno ubrzanje igra u opisivanju kretanja rotacije, zapišimo formule koje povezuju kinematičke veličine koje smo prethodno proučavali.
U slučaju ravnomjerno ubrzane rotacije, vrijedi sljedeće matematičke veze:
ω=α × t;
θ=α × t2 / 2
Prva formula pokazuje da je kutnibrzina će se vremenom povećavati prema linearnom zakonu. Drugi izraz vam omogućuje da izračunate kut za koji će se tijelo okrenuti u poznatom vremenu t. Graf funkcije θ(t) je parabola. U oba slučaja, kutno ubrzanje je konstanta.
Ako koristimo formulu odnosa između L i θ danu na početku članka, možemo dobiti izraz za α u terminima linearnog ubrzanja a:
α=a / r
Ako je α konstantan, tada kako se udaljenost od osi rotacije r povećava, linearno ubrzanje a će se proporcionalno povećavati. Zato se za rotaciju koriste kutne karakteristike, za razliku od linearnih, one se ne mijenjaju s povećanjem ili smanjenjem r.
Primjer problema
Metalna osovina, koja se okreće frekvencijom od 2000 okretaja u sekundi, počela je usporavati i potpuno se zaustavila nakon 1 minute. Potrebno je izračunati s kojim se kutnim ubrzanjem odvijao proces usporavanja osovine. Također biste trebali izračunati broj okretaja koje je osovina napravila prije zaustavljanja.
Proces usporavanja rotacije opisan je sljedećim izrazom:
ω=ω0- α × t
Početna kutna brzina ω0 određuje se iz frekvencije rotacije f kako slijedi:
ω0=2 × pi × f
Budući da znamo vrijeme usporavanja, dobivamo vrijednost ubrzanja α:
α=ω0 / t=2 × pi × f / t=209,33 rad/s2
Ovaj broj treba uzeti sa znakom minus,jer govorimo o usporavanju sustava, a ne o ubrzavanju.
Da biste odredili broj okretaja koje će osovina napraviti tijekom kočenja, primijenite izraz:
θ=ω0 × t - α × t2 / 2=376,806 rad.
Dobljena vrijednost kuta rotacije θ u radijanima jednostavno se pretvara u broj okretaja koje je napravila osovina prije nego što se potpuno zaustavi jednostavnim dijeljenjem s 2 × pi:
n=θ / (2 × pi)=60.001 okret.
Tako smo dobili sve odgovore na pitanja problema: α=-209, 33 rad/s2, n=60,001 okretaja.
