Na riječ "beskonačnost" svaka osoba ima svoje asocijacije. Mnogi u mašti crtaju more koje seže iza horizonta, dok drugi imaju pred očima sliku beskrajnog zvjezdanog neba. Matematičari, navikli operirati brojevima, zamišljaju beskonačnost na potpuno drugačiji način. Već stoljećima pokušavaju pronaći najveću od fizičkih veličina potrebnih za mjerenje. Jedan od njih je Grahamov broj. Koliko nula ima u njemu i čemu služi, ovaj će članak reći.
Beskonačno veliki broj
U matematici, ovo je naziv takve varijable x , ako se za bilo koji pozitivan broj M može odrediti prirodan broj N takav da je za sve brojeve n veće od N nejednakost |x | > M. Međutim, ne može se, na primjer, cijeli broj Z smatrati beskonačno velikim, jer će uvijek biti manji od (Z + 1).
Nekoliko riječi o "divovima"
Najvećim brojevima koji imaju fizičko značenje smatraju se:
- 1080. Ovaj broj, koji se obično naziva quinquavigintillion, koristi se za označavanje približnog broja kvarkova i leptona (najmanjih čestica) u Svemiru.
- 1 Google. Takav broj u decimalnom sustavu zapisuje se kao jedinica sa 100 nula. Prema nekim matematičkim modelima, od vremena velikog praska do eksplozije najmasivnije crne rupe trebalo bi proći od 1 do 1,5 googol godina, nakon čega će naš svemir prijeći u posljednju fazu svog postojanja, tj. pretpostavimo da ovaj broj ima određeno fizičko značenje.
- 8, 5 x 10185. Planckova konstanta je 1,616199 x 10-35 m, tj. u decimalnom zapisu izgleda kao 0,0000000000000000000000000000616199 m. Postoji oko 1 googol Planck duljina u inču. Procjenjuje se da oko 8,5 x 10185 Planckove duljine može stati u cijeli naš svemir.
- 277 232 917 – 1. Ovo je najveći poznati prosti broj. Ako njegov binarni zapis ima prilično kompaktan oblik, tada će mu trebati najmanje 13 milijuna znakova da bi ga prikazao u decimalnom obliku. Pronađen je 2017. u sklopu projekta traženja Mersenneovih brojeva. Ako entuzijasti nastave raditi u ovom smjeru, tada na trenutnoj razini razvoja računalne tehnologije, malo je vjerojatno da će u bliskoj budućnosti moći pronaći Mersenneov broj reda veličine veći od 277 232 917- 1, iako takavsretni dobitnik će dobiti US$150,000.
- Hugoplex. Ovdje samo uzimamo 1 i nakon njega dodajemo nule u iznosu od 1 googol. Ovaj broj možete napisati kao 10^10^100. Nemoguće ga je predstaviti u decimalnom obliku, jer ako je cijeli prostor svemira ispunjen komadićima papira, na svakom od kojih bi bilo napisano 0 s veličinom slova “Word” od 10, tada bi u ovom slučaju samo polovica sve 0 nakon 1 dobilo bi se za googolplex broj.
- 10^10^10^10^10^1.1. Ovo je broj koji pokazuje broj godina nakon kojih će se, prema Poincaréovom teoremu, naš Svemir, kao rezultat slučajnih kvantnih fluktuacija, vratiti u stanje blisko današnjem.
Kako su nastali Grahamovi brojevi
Godine 1977., poznati popularizator znanosti Martin Gardner objavio je članak u Scientific Americanu o Grahamovom dokazu jednog od problema Ramseove teorije. U njemu je granicu koju je postavio znanstvenik nazvao najvećim brojem ikada korištenim u ozbiljnom matematičkom razmišljanju.
Tko je Ronald Lewis Graham
Znanstvenik, sada u svojim 80-ima, rođen je u Kaliforniji. Godine 1962. doktorirao je matematiku na Sveučilištu Berkeley. Radio je u Bell Labsu 37 godina, a kasnije se preselio u AT&T Labs. Znanstvenik je aktivno surađivao s jednim od najvećih matematičara 20. stoljeća, Palom Erdősom, te je dobitnik mnogih prestižnih nagrada. Grahamova znanstvena bibliografija sadrži više od 320 znanstvenih radova.
Sredinom 70-ih, znanstvenik je bio zainteresiran za problem povezan s teorijomRamsey. U njegovom dokazu određena je gornja granica rješenja, što je vrlo velik broj, naknadno nazvan po Ronaldu Grahamu.
Hypercube problem
Da biste razumjeli suštinu Grahamovog broja, prvo morate razumjeti kako je dobiven.
Znanstvenik i njegov kolega Bruce Rothschild rješavali su sljedeći problem:
Postoji n-dimenzionalna hiperkocka. Svi parovi njegovih vrhova povezani su na način da se dobije potpun graf s 2vrhova. Svaki od njegovih rubova obojen je plavom ili crvenom bojom. Bilo je potrebno pronaći minimalni broj vrhova koji hiperkocka treba imati tako da svaka takva boja sadrži potpuni monokromatski podgraf s 4 vrha koji leže u istoj ravnini.
Odluka
Graham i Rothschild dokazali su da problem ima rješenje N' koje zadovoljava uvjet 6 ⩽ N' ⩽N gdje je N dobro definiran, vrlo velik broj.
Donju granicu za N naknadno su precizirali drugi znanstvenici, koji su dokazali da N mora biti veći ili jednak 13. Tako je izraz za najmanji broj vrhova hiperkocke koji zadovoljava gore prikazane uvjete postao 13 ⩽ N'⩽ N.
Knuthova oznaka strelice
Prije definiranja Grahamovog broja, trebali biste se upoznati s metodom njegovog simboličkog predstavljanja, budući da ni decimalni ni binarni zapis nisu apsolutno prikladni za to.
Trenutno se Knuthova oznaka strelice koristi za predstavljanje ove količine. Prema njenim riječima:
ab=a "strelica gore" b.
Za operaciju višestruke eksponencijalnosti uveden je unos:
a "strelica gore" "strelica gore" b=ab="kula koja se sastoji od a u količini od b komada."
A za pentaciju, tj. simboličku oznaku ponovljene eksponencijalnosti prethodnog operatora, Knuth je već koristio 3 strelice.
Upotrebom ove oznake za Grahamov broj, imamo sekvence "strelice" ugniježđene jedna u drugu, u količini od 64 komada.
Skala
Njihov poznati broj, koji uzbuđuje maštu i širi granice ljudske svijesti, odvodeći ga izvan granica svemira, Graham i njegovi kolege dobili su ga kao gornju granicu za broj N u dokazu hiperkocke problem predstavljen gore. Izuzetno je teško za običnog čovjeka zamisliti koliki je njegov razmjer.
Pitanje broja znakova, ili kako se ponekad pogrešno kaže, nula u Grahamovom broju, zanima gotovo svakoga tko prvi put čuje za ovu vrijednost.
Dovoljno je reći da imamo posla s brzo rastućom sekvencom koja se sastoji od 64 člana. Čak je i njegov prvi pojam nemoguće zamisliti, budući da se sastoji od n "kula", koji se sastoje od 3-to. Već njegov "donji kat" od 3 trojke jednak je 7,625,597,484,987, tj. prelazi 7 milijardi, što će reći o 64. katu (nije član!). Stoga je trenutno nemoguće točno reći što je Grahamov broj, jer ga nije dovoljno izračunati.kombinirana snaga svih računala koja danas postoje na Zemlji.
Rekord slomljen?
U procesu dokazivanja Kruskalovog teorema, Grahamov broj je “zbačen s pijedestala”. Znanstvenik je predložio sljedeći problem:
Postoji beskonačan niz konačnih stabala. Kruskal je dokazao da uvijek postoji dio nekog grafa, koji je i dio većeg grafa i njegova točna kopija. Ova izjava ne izaziva nikakve sumnje, jer je očito da će uvijek postojati točno ponavljajuća kombinacija u beskonačnosti
Kasnije je Harvey Friedman donekle suzio ovaj problem razmatrajući samo takve acikličke grafove (stabla) da za određeni s koeficijentom i postoji najviše (i + k) vrhova. Odlučio je saznati koliki bi trebao biti broj acikličkih grafova, kako bi ovom metodom njihovog zadatka uvijek bilo moguće pronaći podstablo koje bi bilo ugrađeno u drugo stablo.
Kao rezultat istraživanja ovog pitanja, ustanovljeno je da N, ovisno o k, raste ogromnom brzinom. Konkretno, ako je k=1, tada je N=3. Međutim, kod k=2, N već dostiže 11. Najzanimljivije počinje kada je k=3. U ovom slučaju, N brzo "uzlijeće" i postiže vrijednost koja je mnogo puta veći od Grahamovog broja. Da bismo zamislili koliko je velik, dovoljno je zapisati broj koji je izračunao Ronald Graham u obliku G64 (3). Tada će Friedman-Kruskal vrijednost (rev. FinKraskal(3)) biti reda G(G(187196)). Drugim riječima, dobiva se megavrijednost koja je beskonačno većanezamislivo veliki Grahamov broj. U isto vrijeme, čak i ona će biti manja od beskonačnosti gigantski broj puta. O ovom konceptu ima smisla govoriti detaljnije.
Beskonačnost
Sada kada smo objasnili što je Grahamov broj na prstima, trebali bismo razumjeti značenje koje je bilo i koje se ulaže u ovaj filozofski koncept. Uostalom, "beskonačnost" i "beskonačno veliki broj" mogu se smatrati identičnima u određenom kontekstu.
Najveći doprinos proučavanju ove problematike dao je Aristotel. Veliki mislilac antike podijelio je beskonačnost na potencijalnu i stvarnu. Pod potonjim je mislio na stvarnost postojanja beskonačnih stvari.
Prema Aristotelu, izvori ideja o ovom temeljnom konceptu su:
- vrijeme;
- razdvajanje vrijednosti;
- koncept granice i postojanja nečega izvan nje;
- neiscrpnost kreativne prirode;
- razmišljanje da nema granica.
U modernom tumačenju beskonačnosti, ne možete odrediti kvantitativnu mjeru, tako da potraga za najvećim brojem može trajati zauvijek.
Zaključak
Mogu li se metafora "Pogled u beskonačnost" i Grahamov broj u nekom smislu smatrati sinonimima? Radije da i ne. Oboje je nemoguće zamisliti, čak i uz najjaču maštu. Međutim, kao što je već spomenuto, ne može se smatrati "najviše, najviše". Druga stvar je da u ovom trenutku vrijednosti veće od Grahamovog broja nemaju utvrđenefizički osjećaj.
Također, nema svojstva beskonačnog broja, kao što je:
- ∞ + 1=∞;
- postoji beskonačan broj i neparnih i parnih brojeva;
- ∞ - 1=∞;
- broj neparnih brojeva je točno polovica svih brojeva;
- ∞ + ∞=∞;
- ∞/2=∞.
Da rezimiramo: Grahamov broj je najveći broj u praksi matematičkog dokaza, prema Guinnessovoj knjizi rekorda. Međutim, postoje brojevi koji su mnogo puta veći od ove vrijednosti.
Najvjerojatnije će u budućnosti postojati potreba za još većim "divovima", pogotovo ako osoba ide dalje od našeg Sunčevog sustava ili izmisli nešto nezamislivo na trenutnoj razini naše svijesti.
