Prilično često u matematičkoj znanosti postoji niz poteškoća i pitanja, a mnogi odgovori nisu uvijek jasni. Nije iznimka bila takva tema kao što je kardinalnost skupova. Zapravo, ovo nije ništa drugo nego numerički izraz broja objekata. U općem smislu, skup je aksiom; on nema definiciju. Temelji se na bilo kojem objektu, odnosno njihovom skupu, koji može biti prazan, konačan ili beskonačan. Osim toga, sadrži cijele brojeve ili prirodne brojeve, matrice, nizove, segmente i retke.
O postojećim varijablama
Nutil ili prazan skup bez intrinzične vrijednosti smatra se kardinalnim elementom jer je podskup. Zbirka svih podskupova nepraznog skupa S je skup skupova. Dakle, skup snage danog skupa se smatra mnogim, zamislivim, ali jednim. Ovaj skup naziva se skup potencija S i označava se s P (S). Ako S sadrži N elemenata, tada P(S) sadrži 2^n podskupova, budući da je podskup od P(S) ili ∅ ili podskup koji sadrži r elemenata iz S, r=1, 2, 3, … Sastavljen od svega beskonačnogskup M naziva se veličina snage i simbolički se označava s P (M).
Elementi teorije skupova
Ovo polje znanja razvio je George Cantor (1845-1918). Danas se koristi u gotovo svim granama matematike i služi kao njezin temeljni dio. U teoriji skupova elementi su predstavljeni u obliku popisa i dani su tipovima (prazan skup, pojedinačni, konačni i beskonačni skupovi, jednaki i ekvivalentni, univerzalni), unijama, presjecima, razlikama i zbrajanjem brojeva. U svakodnevnom životu često govorimo o zbirci predmeta poput hrpe ključeva, jata ptica, paketa karata itd. U matematici 5. razreda i dalje postoje prirodni, cjelobrojni, prosti i složeni brojevi.
Mogu se uzeti u obzir sljedeći skupovi:
- prirodni brojevi;
- slova abecede;
- primarne kvote;
- trokuti s različitim stranama.
Može se vidjeti da su ovi navedeni primjeri dobro definirani skupovi objekata. Razmotrite još nekoliko primjera:
- pet najpoznatijih znanstvenika na svijetu;
- sedam lijepih djevojaka u društvu;
- tri najbolja kirurga.
Ovi primjeri kardinalnosti nisu dobro definirane zbirke objekata, jer se kriteriji za "najpoznatije", "najljepše", "najbolje" razlikuju od osobe do osobe.
Setovi
Ova vrijednost je dobro definiran broj različitih objekata. Pod pretpostavkom da:
- skup riječi je sinonim, agregat, klasa i sadrži elemente;
- objekti, članovi su jednaki uvjeti;
- skupovi se obično označavaju velikim slovima A, B, C;
- elementi skupa predstavljeni su malim slovima a, b, c.
Ako je "a" element skupa A, onda se kaže da "a" pripada A. Označimo izraz "pripada" grčkim znakom "∈" (epsilon). Dakle, ispada da je a ∈ A. Ako je 'b' element koji ne pripada A, to se predstavlja kao b ∉ A. Neki važni skupovi koji se koriste u matematici 5. razreda predstavljeni su pomoću tri sljedeće metode:
- aplikacije;
- registri ili tablični;
- pravilo za stvaranje formacije.
Pri detaljnijem razmatranju, obrazac za prijavu temelji se na sljedećem. U ovom slučaju je dan jasan opis elemenata skupa. Svi su zatvoreni u vitičastim zagradama. Na primjer:
- skup neparnih brojeva manjih od 7 - zapisano kao {manje od 7};
- skup brojeva većih od 30 i manje od 55;
- broj učenika u razredu koji su teži od učitelja.
U obrascu registra (tablice), elementi skupa su navedeni unutar para zagrada {} i odvojeni zarezima. Na primjer:
- Neka N označava skup prvih pet prirodnih brojeva. Stoga je N=→ obrazac za registraciju
- Skup svih samoglasnika engleske abecede. Stoga je V={a, e, i, o, u, y} → registarski oblik
- Skup svih neparnih brojeva manji je od 9. Stoga je X={1, 3, 5, 7} → oblikregistar
- Skup svih slova u riječi "Matematika". Dakle, Z={M, A, T, H, E, I, C, S} → Registarski obrazac
- W je skup posljednja četiri mjeseca u godini. Stoga je W={rujan, listopad, studeni, prosinac} → registar.
Napominjemo da redoslijed u kojem su elementi navedeni nije bitan, ali se ne smiju ponavljati. Utemeljeni oblik konstrukcije, u danom slučaju, pravilo, formula ili operator zapisuje se u par zagrada tako da je skup ispravno definiran. U obrascu za izgradnju skupa, svi elementi moraju imati isto svojstvo da bi postali član dotične vrijednosti.
U ovom obliku predstavljanja skupa, element skupa je opisan znakom "x" ili bilo kojom drugom varijablom praćenom dvotočkom (":" ili "|" se koristi za označavanje). Na primjer, neka je P skup prebrojivih brojeva većih od 12. P u obliku graditelja skupova zapisuje se kao - {prebrojiv broj i veći od 12}. Čitat će se na određeni način. To jest, "P je skup x elemenata tako da je x prebrojiv i veći od 12."
Rješen primjer korištenjem tri metode predstavljanja skupova: broj cijelih brojeva između -2 i 3. U nastavku su primjeri različitih vrsta skupova:
- Prazan ili nulti skup koji ne sadrži nijedan element i označen je simbolom ∅ i čita se kao phi. U obliku liste, ∅ je napisano {}. Konačni skup je prazan, jer je broj elemenata 0. Na primjer, skup cjelobrojnih vrijednosti manji je od 0.
- Očito ne bi trebalo postojati <0. Stoga, ovoprazan set.
- Skup koji sadrži samo jednu varijablu naziva se singleton skup. Nije ni jednostavno ni složeno.
Konačan skup
Skup koji sadrži određeni broj elemenata naziva se konačan ili beskonačan skup. Prazno se odnosi na prvu. Na primjer, skup svih duginih boja.
Beskonačnost je skup. Elementi u njemu se ne mogu nabrojati. To jest, sadržaj sličnih varijabli naziva se beskonačnim skupom. Primjeri:
- potencija skupa svih točaka u ravnini;
- skup svih prostih brojeva.
Ali trebate razumjeti da se sve kardinalnosti sjedinjenja skupa ne mogu izraziti u obliku liste. Na primjer, realni brojevi, budući da njihovi elementi ne odgovaraju ni jednom posebnom uzorku.
Kardinalni broj skupa je broj različitih elemenata u danoj količini A. Označava se n (A).
Na primjer:
- A {x: x ∈ N, x <5}. A={1, 2, 3, 4}. Prema tome, n (A)=4.
- B=skup slova u riječi ALGEBRA.
Ekvivalentni skupovi za usporedbu skupova
Dvije kardinalnosti skupa A i B su takve ako im je kardinalni broj isti. Simbol za ekvivalentni skup je "↔". Na primjer: A ↔ B.
Jednaki skupovi: dvije kardinalnosti skupova A i B ako sadrže iste elemente. Svaki koeficijent iz A je varijabla iz B, a svaki od B je određena vrijednost A. Stoga je A=B. Različite vrste kardinalnih sindikata i njihove definicije objašnjene su korištenjem danih primjera.
Suština konačnosti i beskonačnosti
Koje su razlike između kardinalnosti konačnog i beskonačnog skupa?
Prva vrijednost ima sljedeće ime ako je prazna ili ima konačan broj elemenata. U konačnom skupu, varijabla se može specificirati ako ima ograničen broj. Na primjer, korištenjem prirodnog broja 1, 2, 3. I proces popisa završava na nekom N. Broj različitih elemenata koji se broje u konačnom skupu S označava se s n (S). Također se naziva red ili kardinal. Simbolično označeno prema standardnom principu. Dakle, ako je skup S ruska abeceda, tada sadrži 33 elementa. Također je važno zapamtiti da se element ne pojavljuje više od jednom u skupu.
Beskonačno u setu
Skup se naziva beskonačnim ako se elementi ne mogu nabrojati. Ako ima neograničen (tj. nebrojiv) prirodni broj 1, 2, 3, 4 za bilo koji n. Skup koji nije konačan naziva se beskonačan. Sada možemo raspravljati o primjerima numeričkih vrijednosti koje se razmatraju. Opcije krajnje vrijednosti:
- Neka Q={prirodni brojevi manji od 25}. Tada je Q konačan skup i n (P)=24.
- Neka R={cijeli brojevi između 5 i 45}. Tada je R konačan skup i n (R)=38.
- Neka je S={brojevi po modulu 9}. Tada je S={-9, 9} je konačan skup i n (S)=2.
- Skup svih ljudi.
- Broj svih ptica.
Beskonačni primjeri:
- broj postojećih točaka na ravnini;
- broj svih točaka u segmentu linije;
- skup pozitivnih cijelih brojeva djeljivih s 3 je beskonačan;
- svi cijeli i prirodni brojevi.
Dakle, iz gornjeg obrazloženja, jasno je kako razlikovati konačne i beskonačne skupove.
Snaga skupa kontinuuma
Ako usporedimo skup i druge postojeće vrijednosti, tada se skupu dodaje dodatak. Ako je ξ univerzalan i A je podskup od ξ, tada je komplement od A broj svih elemenata ξ koji nisu elementi A. Simbolično, komplement od A u odnosu na ξ je A'. Na primjer, 2, 4, 5, 6 su jedini elementi ξ koji ne pripadaju A. Stoga je A'={2, 4, 5, 6}
Skup s kardinalitetnim kontinuumom ima sljedeće značajke:
- komplement univerzalne količine je prazna vrijednost u pitanju;
- ova varijabla nula skupa je univerzalna;
- iznos i njegov nadopuna su nepovezani.
Na primjer:
- Neka broj prirodnih brojeva bude univerzalni skup, a A paran. Tada je A '{x: x neparan skup s istim znamenkama}.
- Neka ξ=skup slova u abecedi. A=skup suglasnika. Zatim A '=broj samoglasnika.
- Dopuna univerzalnom setu je prazna količina. Može se označiti s ξ. Tada je ξ '=Skup onih elemenata koji nisu uključeni u ξ. Prazan skup φ je zapisan i označen. Stoga je ξ=φ. Dakle, komplement univerzalnom skupu je prazan.
U matematici se "kontinuum" ponekad koristi za predstavljanje prave linije. I općenito, za opis sličnih objekata:
- kontinuum (u teoriji skupova) - realni pravac ili odgovarajući kardinalni broj;
- linearno - bilo koji uređeni skup koji dijeli određena svojstva realne linije;
- kontinuum (u topologiji) - neprazan kompaktni povezani metrički prostor (ponekad Hausdorff);
- hipoteza da nijedan beskonačan skup nije veći od cijelih brojeva, ali manji od realnih brojeva;
- moć kontinuuma je kardinalni broj koji predstavlja veličinu skupa realnih brojeva.
U suštini, kontinuum (mjerenje), teorije ili modeli koji objašnjavaju postupne prijelaze iz jednog stanja u drugo bez ikakvih naglih promjena.
Problemi spoja i raskrižja
Poznato je da je presjek dva ili više skupova broj koji sadrži sve elemente koji su zajednički u ovim vrijednostima. Riječni zadaci na skupovima rješavaju se kako bi se dobile osnovne ideje o tome kako koristiti svojstva unije i presjeka skupova. Riješio glavne probleme riječi nasetovi izgledaju ovako:
Neka su A i B dva konačna skupa. Takvi su da je n (A)=20, n (B)=28 i n (A ∪ B)=36, pronađite n (A ∩ B)
Odnos u skupovima koristeći Vennov dijagram:
- Unija dva skupa može biti predstavljena zasjenjenim područjem koje predstavlja A ∪ B. A ∪ B kada su A i B disjunktni skupovi.
- Presjek dva skupa može se predstaviti Vennovim dijagramom. Sa zasjenjenim područjem koje predstavlja A ∩ B.
- Razlika između ova dva skupa može se prikazati Vennovim dijagramima. Sa zasjenjenim područjem koje predstavlja A - B.
- Odnos između tri skupa koristeći Vennov dijagram. Ako ξ predstavlja univerzalnu veličinu, tada su A, B, C tri podskupa. Ovdje se sva tri seta preklapaju.
Sažimanje informacija o skupu
Kardinalnost skupa definirana je kao ukupan broj pojedinačnih elemenata u skupu. A posljednja navedena vrijednost je opisana kao broj svih podskupova. Pri proučavanju takvih problema potrebni su metode, metode i rješenja. Dakle, za kardinalnost skupa, sljedeći primjeri mogu poslužiti kao:
Neka A={0, 1, 2, 3}| |=4, gdje je | A | predstavlja kardinalnost skupa A.
Sada možete pronaći svoj power pack. I to je prilično jednostavno. Kao što je već rečeno, skup snage se postavlja iz svih podskupova zadanog broja. Dakle, u osnovi treba definirati sve varijable, elemente i druge vrijednosti A,koji su {}, {0}, {1}, {2}, {3}, {0, 1}, {0, 2}, {0, 3}, {1, 2}, {1, 3}, { 2, 3}, {0, 1, 2}, {0, 1, 3}, {1, 2, 3}, {0, 2, 3}, {0, 1, 2, 3}.
Sada izračunajte snagu P={{}, {0}, {1}, {2}, {3}, {0, 1}, {0, 2}, {0, 3}, { 1, 2}, {1, 3}, {2, 3}, {0, 1, 2}, {0, 1, 3}, {1, 2, 3}, {0, 2, 3}, { 0, 1, 2, 3}} koji ima 16 elemenata. Dakle, kardinalnost skupa A=16. Očito je ovo zamorna i glomazna metoda za rješavanje ovog problema. Međutim, postoji jednostavna formula po kojoj, izravno, možete znati broj elemenata u skupu snaga zadanog broja. | P |=2 ^ N, gdje je N broj elemenata u nekom A. Ova se formula može dobiti pomoću jednostavne kombinatorike. Dakle, pitanje je 2^11 jer je broj elemenata u skupu A 11.
Dakle, skup je bilo koja brojčano izražena veličina, koja može biti bilo koji mogući objekt. Na primjer, automobili, ljudi, brojevi. U matematičkom smislu, ovaj koncept je širi i generaliziraniji. Ako se u početnim fazama razvrstavaju brojevi i mogućnosti za njihovo rješavanje, onda su u srednjoj i višim fazama uvjeti i zadaci komplicirani. Zapravo, kardinalnost sjedinjenja skupa određena je pripadnosti objekta bilo kojoj skupini. To jest, jedan element pripada klasi, ali ima jednu ili više varijabli.
