Teorija vjerojatnosti radi sa slučajnim varijablama. Za slučajne varijable postoje takozvani zakoni distribucije. Takav zakon opisuje svoju slučajnu varijablu s apsolutnom potpunošću. Međutim, kada se radi sa stvarnim skupovima slučajnih varijabli, često je vrlo teško odmah uspostaviti zakon njihove distribucije i ograničeni su na određeni skup numeričkih karakteristika. Na primjer, izračunavanje srednje vrijednosti i varijance slučajne varijable često je vrlo korisno.
Zašto je to potrebno
Ako je bit matematičkog očekivanja blizu srednje vrijednosti količine, tada u ovom slučaju disperzija govori kako su vrijednosti naše količine raspršene oko ovog matematičkog očekivanja. Primjerice, ako smo mjerili IQ grupe ljudi i želimo ispitati rezultate mjerenja (uzorak), matematičko očekivanje će pokazati približnu prosječnu vrijednost kvocijenta inteligencije za ovu grupu ljudi, a ako izračunamo varijansu uzorka, saznat ćemo kako su rezultati grupirani oko matematičkog očekivanja: hrpa blizu njega (mala varijacija IQ) ili ravnomjernije u cijelom rasponu od minimalnog do maksimalnog rezultata (velike varijacije, a negdje u sredini - matematičko očekivanje).
Za izračunavanje varijance potrebna vam je nova karakteristika slučajne varijable - odstupanje vrijednosti od matematičkečekam.
Odstupanje
Da biste razumjeli kako izračunati varijancu, prvo morate razumjeti odstupanje. Njegova je definicija razlika između vrijednosti koju slučajna varijabla uzima i njezinog matematičkog očekivanja. Ugrubo govoreći, da biste razumjeli kako je vrijednost "raspršena", morate pogledati kako je njezino odstupanje raspoređeno. Odnosno, vrijednost vrijednosti zamjenjujemo vrijednošću njenog odstupanja od mat. očekivanja i istražiti zakon o distribuciji.
Zakon distribucije diskretne, odnosno slučajne varijable koja poprima pojedinačne vrijednosti, zapisuje se u obliku tablice, gdje je vrijednost vrijednosti u korelaciji s vjerojatnošću njezina pojavljivanja. Tada će u zakonu raspodjele odstupanja slučajna varijabla biti zamijenjena svojom formulom u kojoj se nalazi vrijednost (koja je zadržala svoju vjerojatnost) i vlastiti mat. čekam.
Svojstva zakona distribucije devijacije slučajne varijable
Zapisali smo zakon raspodjele za odstupanje slučajne varijable. Iz nje možemo do sada izdvojiti samo takvu karakteristiku kao što je matematičko očekivanje. Radi praktičnosti, bolje je uzeti brojčani primjer.
Neka postoji zakon distribucije neke slučajne varijable: X - vrijednost, p - vjerojatnost.
Izračunavamo matematičko očekivanje koristeći formulu i odmah odstupanje.
Crtanje nove tablice raspodjele odstupanja.
I ovdje izračunavamo očekivanje.
Ispada nula. Postoji samo jedan primjer, ali tako će uvijek biti: to nije teško dokazati u općem slučaju. Formula za matematičko očekivanje odstupanja može se razložiti na razliku između matematičkih očekivanja slučajne varijable i, ma koliko krivo zvučalo, matematičkog očekivanja mat. očekivanja (rekurzija, međutim), koja su ista, stoga će njihova razlika biti nula.
Ovo je očekivano: uostalom, odstupanja u predznaku mogu biti i pozitivna i negativna, stoga bi u prosjeku trebala dati nulu.
Kako izračunati varijancu diskretnog slučaja. količine
Ako je mat. besmisleno je izračunavati očekivano odstupanje, morate tražiti nešto drugo. Možete jednostavno uzeti apsolutne vrijednosti odstupanja (modulo); ali kod modula nije sve tako jednostavno pa se odstupanja kvadriraju, a onda se izračuna njihovo matematičko očekivanje. Zapravo, to je ono što se misli kada govore o tome kako izračunati varijancu.
To jest, uzimamo odstupanja, kvadriramo ih i pravimo tablicu kvadrata odstupanja i vjerojatnosti koje odgovaraju slučajnim varijablama. Ovo je novi zakon o distribuciji. Da biste izračunali matematičko očekivanje, trebate dodati umnožak kvadrata odstupanja i vjerojatnosti.
Lakša formula
Međutim, članak je započeo činjenicom da je zakon distribucije početne slučajne varijable često nepoznat. Dakle, potrebno je nešto lakše. Doista, postoji još jedna formula koja vam omogućuje izračunavanje varijance uzorka koristeći samo prostirku.čekanje:
Disperzija - razlika između prostirke. očekivanje kvadrata slučajne varijable i, obrnuto, kvadrata njezine mat. čekam.
Postoji dokaz za to, ali ga ovdje nema smisla predstavljati, jer nema praktičnu vrijednost (a trebamo samo izračunati varijancu).
Kako izračunati varijancu slučajne varijable u varijacijskim serijama
U stvarnoj statistici nemoguće je odraziti sve slučajne varijable (jer ih je, grubo rečeno, u pravilu beskonačan broj). Dakle, ono što ulazi u studiju je takozvani reprezentativni uzorak neke opće populacije. A budući da se numeričke karakteristike bilo koje slučajne varijable iz takve opće populacije izračunavaju iz uzorka, nazivaju se uzorkom: srednja vrijednost uzorka, odnosno varijance uzorka. Možete ga izračunati na isti način kao i uobičajeni (kroz kvadratne devijacije).
Međutim, takva disperzija se naziva pristranom. Formula nepristrane varijance izgleda malo drugačije. Obično ga je potrebno izračunati.
Mali dodatak
Još jedna brojčana karakteristika povezana je s disperzijom. Također služi za procjenu kako se slučajna varijabla raspršuje oko svoje prostirke. očekivanja. Nema velike razlike u načinu izračuna varijance i standardne devijacije: potonji je kvadratni korijen prvog.
