Idealna tekućina i jednadžbe koje opisuju njezino gibanje

2024 Autor: Angel Austin | [email protected]. Zadnja promjena: 2023-12-17 05:28

Dio fizike koji proučava značajke kretanja tekućih medija naziva se hidrodinamika. Jedan od glavnih matematičkih izraza hidrodinamike je Bernoullijeva jednadžba za idealnu tekućinu. Članak je posvećen ovoj temi.

Što je idealna tekućina?

Mnogi ljudi znaju da je tekuća tvar takvo agregatno stanje tvari koje zadržava volumen u stalnim vanjskim uvjetima, ali mijenja svoj oblik pri najmanjem udaru na nju. Idealna tekućina je tekuća tvar koja nema viskoznost i nestlačiva je. Ovo su dva glavna svojstva koja ga razlikuju od pravih tekućina.

Napominjemo da se gotovo sve prave tekućine mogu smatrati nestlačivim, jer mala promjena njihovog volumena zahtijeva veliki vanjski pritisak. Na primjer, ako stvorite tlak od 5 atmosfera (500 kPa), tada će voda povećati svoju gustoću za samo 0,024%. Što se tiče pitanja viskoznosti, za niz praktičnih problema, kada se voda smatra radnom tekućinom, može se zanemariti. Radi cjelovitosti, napominjemo dadinamički viskozitet vode pri 20 ^oC je 0,001 Pas², što je skromno u usporedbi s ovom vrijednošću za med (>2000).

Važno je ne brkati pojmove idealnog fluida i idealnog plina, budući da je potonji lako kompresibilan.

jednadžba kontinuiteta

U hidrodinamici kretanje idealne tekućine počinje se razmatrati iz proučavanja jednadžbe kontinuiteta njezina strujanja. Da biste razumjeli bit problema, potrebno je razmotriti kretanje tekućine kroz cijev. Zamislite da na ulazu cijev ima površinu presjeka A₁, a na izlazu A₂.

Sad pretpostavimo da tekućina teče na početku cijevi brzinom v₁, to znači da u vremenu t kroz dionicu A_{1volumen protoka V}1_=A1_v1_{t. Budući da je tekućina idealna, odnosno nestlačiva, potpuno isti volumen vode mora izaći iz kraja cijevi u vremenu t, dobivamo: V}2_=A2 _v2_{t. Iz jednakosti volumena V}1 _{i V}2 _{, slijedi jednadžba za kontinuitet protoka idealnog fluida:}

A₁v₁=A₂v₂.

Iz rezultirajuće jednadžbe slijedi da ako A₁>A₂, tada v₁ trebao bi biti manji od v₂. Drugim riječima, smanjenjem poprečnog presjeka cijevi povećavamo brzinu protoka tekućine koja iz nje izlazi. Očito je ovaj učinak primijetila svaka osoba u svom životu koja je barem jednom zalijevala cvjetne gredice crijevom ilivrtu, tako da prstom pokrijete rupu crijeva, možete gledati kako mlaz vode koji iz njega curi postaje sve jači.

Jednadžba kontinuiteta za razgranatu cijev

Zanimljivo je razmotriti slučaj kretanja idealne tekućine kroz cijev koja ima ne jedan, već dva ili više izlaza, odnosno razgranata. Na primjer, površina poprečnog presjeka cijevi na ulazu je A₁, a prema izlazu se grana u dvije cijevi s presjecima A₂i A_{3. Odredimo brzine protoka v}2 _{i v}3_{, ako je poznato da voda ulazi u ulaz brzinom v} 1.

Upotrebom jednadžbe kontinuiteta dobivamo izraz: A₁v₁=A₂ v ₂ + A₃v₃. Da biste riješili ovu jednadžbu za nepoznate brzine, morate razumjeti da se na izlazu, u kojoj god cijevi da je protok, kreće istom brzinom, to jest, v₂=v3_{. Ovu činjenicu možemo razumjeti intuitivno. Ako je izlazna cijev nekom pregradom podijeljena na dva dijela, brzina protoka se neće promijeniti. S obzirom na ovu činjenicu, dobivamo rješenje: v}2_=v3 _=A1_v1/(A₂ + A₃).

Bernoullijeva jednadžba za idealnu tekućinu

Daniil Bernoulli, švicarski fizičar i matematičar nizozemskog podrijetla, u svom je djelu "Hidrodinamika" (1734.) predstavio jednadžbu za idealnu tekućinu koja opisuje njezino gibanje. Napisano je u sljedećem obliku:

P+ ρv²/2 + ρgh=konst.

Ovaj izraz odražava zakon održanja energije u slučaju protoka tekućine. Dakle, prvi član (P) je tlak usmjeren duž vektora istiskivanja fluida, koji opisuje rad strujanja, drugi član (ρv²/2) je kinetički energija tekuće tvari, a treći pojam (ρgh) je njezina potencijalna energija.

Podsjetimo da ova jednadžba vrijedi za idealnu tekućinu. U stvarnosti, uvijek postoji trenje tekuće tvari o stijenke cijevi i unutar njenog volumena, stoga se u gornju Bernoullijevu jednadžbu uvodi dodatni pojam koji opisuje te gubitke energije.

Upotreba Bernoullijeve jednadžbe

Zanimljivo je navesti neke izume koji koriste dedukcije iz Bernoullijeve jednadžbe:

• Dimnjak i nape. Iz jednadžbe proizlazi da što je veća brzina kretanja tekuće tvari, to je njezin tlak niži. Brzina kretanja zraka na vrhu dimnjaka veća je nego na njegovom dnu, tako da tok dima uvijek teži prema gore zbog razlike tlaka.
• Cijeve za vodu. Jednadžba pomaže razumjeti kako će se tlak vode u cijevi promijeniti ako se promijeni promjer cijevi.
• Avioni i Formula 1. Kut krila zrakoplova i F1 krila osigurava razliku u tlaku zraka iznad i ispod krila, što stvara silu podizanja i dolje.

Načini protoka tekućine

Bernoullijeva jednadžba nijeuzima u obzir način kretanja tekućine, koji može biti dva tipa: laminaran i turbulentan. Laminarni tok karakterizira miran tok, u kojem se slojevi tekućine kreću po relativno glatkim putanjama i ne miješaju se jedni s drugima. Turbulentni način kretanja tekućine karakterizira kaotično kretanje svake molekule koja čini tok. Značajka turbulentnog režima je prisutnost vrtloga.

Na koji način će tekućina teći ovisi o brojnim čimbenicima (osobine sustava, na primjer, prisutnost ili odsutnost hrapavosti na unutarnjoj površini cijevi, viskoznost tvari i brzina njezina pokret). Prijelaz između razmatranih načina kretanja opisan je Reynoldsovim brojevima.

Upečatljiv primjer laminarnog toka je sporo kretanje krvi kroz glatke krvne žile. Primjer turbulentnog toka je jak pritisak vode iz slavine.