Polinom, ili polinom - jedna od osnovnih algebarskih struktura, koja se nalazi u školi i višoj matematici. Proučavanje polinoma je najvažnija tema u kolegiju algebre, budući da su, s jedne strane, polinomi prilično jednostavni u usporedbi s drugim vrstama funkcija, a s druge strane, naširoko se koriste u rješavanju problema matematičke analize.. Dakle, što je polinom?
Definicija
Definicija pojma polinom može se dati kroz koncept monoma ili monoma.
Monom je izraz oblika cx1i1x2 i2 …x u. Ovdje s je konstanta, x1, x2, … x - varijable, i1, i2, … u - eksponenti varijabli. Tada je polinom bilo koji konačni zbroj monoma.
Da biste razumjeli što je polinom, možete pogledati konkretne primjere.
Kvadratni trinom, o kojem se detaljno govori u tečaju matematike 8. razreda, je polinom: ax2+bx+c.
Polinom s dvije varijable može izgledati ovako: x2-xy+y2. Takavpolinom se također naziva nepotpunim kvadratom razlike između x i y.
Polinomske klasifikacije
Polinomski stupanj
Za svaki monom u polinomu, pronađite zbroj eksponenata i1+i2+…+in. Najveći zbroj naziva se eksponent polinoma, a monom koji odgovara ovom zbroju naziva se najvišim članom.
Usput, svaka konstanta se može smatrati polinomom nultog stupnja.
Smanjeni i nereducirani polinomi
Ako je koeficijent c jednak 1 za najviši član, tada je zadan polinom, inače nije.
Na primjer, izraz x2+2x+1 je reducirani polinom, a 2x2+2x+1 nije reduciran.
Homogeni i nehomogeni polinomi
Ako su stupnjevi svih članova polinoma jednaki, onda kažemo da je takav polinom homogen. Svi ostali polinomi smatraju se nehomogenim.
Homogeni polinomi: x2-xy+y2, xyz+x3 +y 3. Heterogeno: x+1, x2+y.
Postoje posebni nazivi za polinom od dva i tri člana: binom, odnosno trinom.
Polinomi jedne varijable dodjeljuju se u zasebnu kategoriju.
Primjena polinoma jedne varijable
Polinomi jedne varijable aproksimiraju dobro kontinuirane funkcije različite složenosti iz jednog argumenta.
Činjenica je da se takvi polinomi mogu smatrati parcijalnim zbrojima potencijskog niza, a kontinuirana funkcija može se predstaviti kao niz s proizvoljno malom pogreškom. Redovi proširenja funkcije nazivaju se Taylorovi redovi i njihoviparcijalni zbrojevi u obliku polinoma - Taylorov polinom.
Grafičko proučavanje ponašanja funkcije aproksimirajući je nekim polinomom često je lakše nego izravno istraživati istu funkciju ili pomoću niza.
Lako je tražiti derivate polinoma. Za pronalaženje korijena polinoma stupnja 4 i niže postoje gotove formule, a za rad s višim stupnjevima koriste se približni algoritmi visoke preciznosti.
Također postoji generalizacija opisanih polinoma za funkcije nekoliko varijabli.
Newtonov binom
Poznati polinomi su Newtonovi polinomi koje su znanstvenici izveli kako bi pronašli koeficijente izraza (x + y).
Dovoljno je pogledati prvih nekoliko potencija binomske dekompozicije da bismo bili sigurni da formula nije trivijalna:
(x+y)2=x2+2xy+y2;
(x+y)3=x3+3x2y+3xy2+y3;
(x+y)4=x4+4x3y+6x2y2+4xy3+y4;
(x+y)5=x5+5x4y+10x3y2+10x2y3+5xy4+y5.
Za svaki koeficijent postoji izraz koji vam omogućuje da ga izračunate. Međutim, pamćenje glomaznih formula i svaki put izvođenje potrebnih aritmetičkih operacija bilo bi krajnje nezgodno za one matematičare koji često trebaju takva proširenja. Pascalov trokut im je znatno olakšao život.
Figura je izgrađena prema sljedećem principu. Na vrhu trokuta upisuje se 1, au svakom sljedećem retku postaje još jedna znamenka više, 1 se stavlja na rubove, a sredina retka popunjava se zbrojima dva susjedna broja iz prethodnog.
Kada pogledate ilustraciju, sve postaje jasno.
Naravno, upotreba polinoma u matematici nije ograničena na navedene primjere, one najšire poznate.
