Matematika je u biti apstraktna znanost, ako se odmaknemo od elementarnih pojmova. Dakle, na nekoliko jabuka možete vizualno prikazati osnovne operacije koje su u osnovi matematike, ali čim se ravnina aktivnosti proširi, ti objekti postaju nedostatni. Je li netko pokušao prikazati operacije na beskonačnim skupovima na jabukama? U tome je stvar, ne. Što su koncepti s kojima matematika operira u svojim prosudbama postajali složeniji, to je njihov vizualni izraz koji bi bio osmišljen da olakša razumijevanje činio problematičnijim. Međutim, za sreću i modernih studenata i znanosti općenito, izvedeni su Eulerovi krugovi čije ćemo primjere i mogućnosti razmotriti u nastavku.
Malo povijesti
Dana 17. travnja 1707. svijet je dao znanosti Leonharda Eulera, izvanrednog znanstvenika čiji se doprinos matematici, fizici, brodogradnji, pa čak i teoriji glazbe ne može precijeniti.
Njegova djela su do danas priznata i tražena u cijelom svijetu, unatoč činjenici da znanost ne miruje. Posebno je zanimljiva činjenica da je g. Euler izravno sudjelovao u formiranju ruske škole više matematike, tim više što se, voljom sudbine, dva puta vraćao u našu državu. Znanstvenik je imao jedinstvenu sposobnost graditi algoritme koji su bili transparentni u svojoj logici, odsijecajući sve suvišno i krećući se od općeg prema posebnom u najkraćem mogućem roku. Nećemo navoditi sve njegove zasluge, jer će za to trebati dosta vremena, a mi ćemo se obratiti izravno temi članka. On je taj koji je predložio korištenje grafičkog prikaza operacija na skupovima. Eulerovi krugovi mogu vizualizirati rješenje bilo kojeg, čak i najsloženijeg problema.
Koja je poanta?
U praksi, Eulerovi krugovi, čija je shema prikazana u nastavku, mogu se koristiti ne samo u matematici, budući da je koncept "skupa" svojstven ne samo ovoj disciplini. Dakle, uspješno se primjenjuju u upravljanju.
Gornji dijagram prikazuje odnose skupova A (iracionalni brojevi), B (racionalni brojevi) i C (prirodni brojevi). Krugovi pokazuju da je skup C uključen u skup B, dok se skup A s njima ni na koji način ne siječe. Primjer je najjednostavniji, ali jasno objašnjava specifičnosti "odnosa skupova", koji su previše apstraktni za stvarnu usporedbu, makar samo zbog svoje beskonačnosti.
Algebra logike
Ovo područjematematička logika operira s izjavama koje mogu biti i istinite i netočne. Na primjer, iz elementarnog: broj 625 je djeljiv s 25, broj 625 je djeljiv s 5, broj 625 je prost. Prva i druga tvrdnja su točna, dok je zadnja netočna. Naravno, u praksi je sve složenije, ali suština je jasno prikazana. I, naravno, Eulerovi krugovi su opet uključeni u rješenje, primjeri s njihovom upotrebom previše su zgodni i vizualni da bi se zanemarili.
Malo teorije:
- Neka skupovi A i B postoje i nisu prazni, tada su za njih definirane sljedeće operacije presjeka, unije i negacije.
- Presjek skupova A i B sastoji se od elemenata koji istovremeno pripadaju i skupu A i skupu B.
- Unija skupova A i B sastoji se od elemenata koji pripadaju skupu A ili skupu B.
- Negacija skupa A je skup koji se sastoji od elemenata koji ne pripadaju skupu A.
Sve to opet oslikavaju Eulerovi krugovi u logici, budući da uz njihovu pomoć svaki zadatak, bez obzira na stupanj složenosti, postaje očit i vizualan.
Aksiomi algebre logike
Pretpostavimo da 1 i 0 postoje i da su definirani u skupu A, tada:
- negacija negacije skupa A postavljena je A;
- unija skupa A sa not_A je 1;
- unija skupa A sa 1 je 1;
- unija skupa A sa samim sobom je skup A;
- unija skupa As 0 postoji skup A;
- presjek skupa A sa not_A je 0;
- presjek skupa A sa samim sobom je skup A;
- presjek skupa A sa 0 je 0;
- presjek skupa A sa 1 je skup A.
Osnovna svojstva algebre logike
Neka skupovi A i B postoje i nisu prazni, tada:
- za presjek i uniju skupova A i B vrijedi komutativni zakon;
- zakon kombinacije se primjenjuje na presjek i uniju skupova A i B;
- distributivni zakon primjenjuje se na presjek i uniju skupova A i B;
- negacija presjeka skupova A i B je presjek negacija skupova A i B;
- negacija unije skupova A i B je unija negacija skupova A i B.
Sljedeće prikazuje Eulerove krugove, primjere presjeka i sjedinjenja skupova A, B i C.
Prospekti
Djela Leonharda Eulera opravdano se smatraju osnovom moderne matematike, ali sada se uspješno koriste u područjima ljudske aktivnosti koja su se pojavila relativno nedavno, uzmimo na primjer korporativno upravljanje: Eulerovi krugovi, primjeri i grafikoni opisuju mehanizme razvojni modeli, bilo da se radi o ruskoj ili englesko-američkoj verziji.
