Pitagora je tvrdio da broj leži u osnovi svijeta zajedno s osnovnim elementima. Platon je vjerovao da broj povezuje fenomen i noumen, pomaže u spoznaji, mjerenju i donošenju zaključaka. Aritmetika dolazi od riječi "arithmos" - broj, početak početaka u matematici. Može opisati bilo koji objekt - od elementarne jabuke do apstraktnih prostora.
Potrebe kao razvojni faktor
U ranim fazama formiranja društva, potrebe ljudi bile su ograničene na potrebu brojanja - jedna vreća žita, dvije vreće žita, itd. Za to su bili dovoljni prirodni brojevi čiji je skup beskonačan pozitivan niz cijelih brojeva N.
Kasnije, razvojem matematike kao znanosti, pojavila se potreba za posebnim poljem cijelih brojeva Z - ono uključuje negativne vrijednosti i nulu. Njegovu pojavu na razini kućanstva izazvala je činjenica da je u primarnom računovodstvu bilo potrebno nekako popravitidugove i gubitke. Na znanstvenoj razini negativni brojevi omogućili su rješavanje najjednostavnijih linearnih jednadžbi. Između ostalog, sada je moguća slika trivijalnog koordinatnog sustava, budući da se pojavila referentna točka.
Sljedeći korak bila je potreba za uvođenjem frakcijskih brojeva, budući da znanost nije mirovala, sve više i više otkrića zahtijevalo je teorijsku osnovu za novi poticaj rasta. Ovako se pojavilo polje racionalnih brojeva Q.
Napokon, racionalnost je prestala zadovoljavati zahtjeve, jer su svi novi zaključci zahtijevali opravdanje. Pojavilo se polje realnih brojeva R, Euklidova djela o nesumjerljivosti određenih veličina zbog njihove iracionalnosti. Odnosno, starogrčki matematičari pozicionirali su broj ne samo kao konstantu, već i kao apstraktnu veličinu, koju karakterizira omjer nesumjerljivih veličina. Zbog činjenice da su se pojavili stvarni brojevi, veličine kao što su "pi" i "e" "ugledale su svjetlo", bez kojih se moderna matematika ne bi mogla održati.
Posljednja inovacija bio je kompleksni broj C. Odgovorio je na brojna pitanja i pobio prethodno uvedene postulate. Zbog brzog razvoja algebre, ishod je bio predvidljiv - s realnim brojevima rješavanje mnogih problema bilo je nemoguće. Na primjer, zahvaljujući kompleksnim brojevima, teorija struna i kaosa se istaknula, a jednadžbe hidrodinamike su se proširile.
Teorija skupova. Cantor
Koncept beskonačnosti u svakom trenutkuizazvao kontroverzu, budući da se nije mogao ni dokazati ni opovrgnuti. U kontekstu matematike, koja je operirala sa strogo provjerenim postulatima, to se najjasnije očitovalo, pogotovo jer je teološki aspekt još uvijek imao težinu u znanosti.
Međutim, zahvaljujući radu matematičara Georga Kantora, s vremenom je sve sjelo na svoje mjesto. Dokazao je da postoji beskonačan broj beskonačnih skupova i da je polje R veće od polja N, čak i ako oba nemaju kraj. Sredinom 19. stoljeća njegove su ideje glasno nazivane besmislicom i zločinom protiv klasičnih, nepokolebljivih kanona, ali vrijeme je sve stavilo na svoje mjesto.
Osnovna svojstva polja R
Realni brojevi ne samo da imaju ista svojstva kao i podskupovi koji su u njih uključeni, već su i nadopunjeni drugim zbog razmjera njihovih elemenata:
- Nula postoji i pripada polju R. c + 0=c za bilo koji c iz R.
- Nula postoji i pripada polju R. c x 0=0 za bilo koji c iz R.
- Relacija c: d za d ≠ 0 postoji i vrijedi za bilo koje c, d iz R.
- Polje R je uređeno, odnosno ako je c ≦ d, d ≦ c, tada je c=d za bilo koje c, d iz R.
- Zbrajanje u polju R je komutativno, tj. c + d=d + c za bilo koji c, d iz R.
- Množenje u polju R je komutativno, tj. c x d=d x c za bilo koji c, d iz R.
- Zbrajanje u polju R je asocijativno, tj. (c + d) + f=c + (d + f) za bilo koje c, d, f iz R.
- Množenje u polju R je asocijativno, tj. (c x d) x f=c x (d x f) za bilo koje c, d, f iz R.
- Za svaki broj u polju R postoji suprotnost, takva da je c + (-c)=0, gdje je c, -c iz R.
- Za svaki broj iz polja R postoji njegov inverz, tako da je c x c-1 =1, gdje je c, c-1 od R.
- Jedinica postoji i pripada R, dakle c x 1=c, za bilo koji c iz R.
- Zakon distribucije vrijedi, pa c x (d + f)=c x d + c x f, za bilo koje c, d, f iz R.
- U polju R, nula nije jednaka jedan.
- Polje R je tranzitivno: ako je c ≦ d, d ≦ f, onda c ≦ f za bilo koje c, d, f iz R.
- U polju R, poredak i zbrajanje su povezani: ako je c ≦ d, onda c + f ≦ d + f za bilo koje c, d, f iz R.
- U polju R, poredak i množenje su povezani: ako je 0 ≦ c, 0 ≦ d, tada je 0 ≦ c x d za bilo koji c, d iz R.
- I negativni i pozitivni realni brojevi su kontinuirani, to jest, za bilo koji c, d iz R postoji f iz R takav da je c ≦ f ≦ d.
Modul u polju R
Realni brojevi uključuju modul.
Označeno kao |f| za bilo koje f iz R. |f|=f ako je 0 ≦ f i |f|=-f ako je 0 > f. Ako modul smatramo geometrijskom veličinom, onda je to prijeđena udaljenost - nije važno jeste li "prešli" nulu na minus ili naprijed na plus.
Složeni i realni brojevi. Koje su sličnosti, a koje razlike?
Uglavnom, kompleksni i realni brojevi su jedan te isti, osim togaimaginarna jedinica i, čiji je kvadrat -1. Elementi polja R i C mogu se predstaviti sljedećom formulom:
c=d + f x i, gdje d, f pripadaju polju R, a i je imaginarna jedinica
Za dobivanje c iz R u ovom slučaju, f se jednostavno postavlja jednakim nuli, odnosno ostaje samo pravi dio broja. Zbog činjenice da polje kompleksnih brojeva ima isti skup svojstava kao polje realnih brojeva, f x i=0 ako je f=0.
S obzirom na praktične razlike, na primjer, u polju R, kvadratna jednadžba nije riješena ako je diskriminanta negativna, dok polje C ne nameće takvo ograničenje zbog uvođenja imaginarne jedinice i.
Rezultati
"Cigle" aksioma i postulata na kojima se temelji matematika se ne mijenjaju. Zbog povećanja informiranosti i uvođenja novih teorija, na neke se postavljaju sljedeće „cigle“koje u budućnosti mogu postati temelj za sljedeći korak. Na primjer, prirodni brojevi, unatoč činjenici da su podskup realnog polja R, ne gube svoju važnost. Na njima se temelji sva elementarna aritmetika s kojom počinje ljudsko poznavanje svijeta.
S praktične točke gledišta, stvarni brojevi izgledaju kao ravna crta. Na njemu možete odabrati smjer, odrediti ishodište i korak. Pravac se sastoji od beskonačnog broja točaka, od kojih svaka odgovara jednom realnom broju, bez obzira na to je li racionalan ili ne. Iz opisa je jasno da je riječ o konceptu na kojem se gradi i matematika općenito i matematička analiza općenito.posebno.
