Za mnoge ljude, matematička analiza je samo skup nerazumljivih brojeva, ikona i definicija koje su daleko od stvarnog života. Međutim, svijet u kojem postojimo izgrađen je na brojčanim obrascima, čija identifikacija pomaže ne samo u učenju o svijetu oko nas i rješavanju njegovih složenih problema, već i u pojednostavljivanju svakodnevnih praktičnih zadataka. Što matematičar misli kada kaže da se brojevni niz konvergira? O tome bi trebalo detaljnije razgovarati.
Što je beskonačno malo?
Zamislimo matrjoške koje se uklapaju jedna u drugu. Njihove veličine, napisane u obliku brojeva, počevši s najvećim i završavajući s najmanjim od njih, čine niz. Ako zamislite beskonačan broj takvih svijetlih figura, onda će rezultirajući red biti fantastično dug. Ovo je konvergentni niz brojeva. I teži nuli, budući da se veličina svake sljedeće lutke za gniježđenje, koja se katastrofalno smanjuje, postupno pretvara u ništa. Tako da je lakomože se objasniti: što je beskonačno malo.
Sličan primjer bi bila cesta koja vodi u daljinu. A vizualne dimenzije automobila koji se uz njega udaljava od promatrača, postupno se smanjujući, pretvaraju se u bezobličnu mrlju nalik točki. Dakle, stroj, poput objekta, koji se udaljava u nepoznatom smjeru, postaje beskonačno mali. Parametri navedenog tijela nikada neće biti nula u doslovnom smislu riječi, ali uvijek teže ovoj vrijednosti u konačnoj granici. Stoga se ovaj niz ponovno približava nuli.
Izračunaj sve kap po kap
Zamislimo sada svjetovnu situaciju. Liječnik je pacijentu prepisao da uzima lijek, počevši od deset kapi dnevno, a svaki sljedeći dan dodavati dvije. I tako je liječnik predložio da se nastavi sve dok ne ponestane sadržaja bočice s lijekom, čiji je volumen 190 kapi. Iz navedenog proizlazi da će broj takvih, raspoređenih po danu, biti sljedeći brojčani niz: 10, 12, 14 i tako dalje.
Kako saznati vrijeme za završetak cijelog tečaja i broj članova niza? Ovdje se, naravno, mogu na primitivan način brojati kapi. Ali puno je lakše, s obzirom na uzorak, koristiti formulu za zbroj aritmetičke progresije s korakom d=2. I pomoću ove metode saznajte da je broj članova niza brojeva 10. U ovom slučaju, a10=28. Broj penisa označava broj dana uzimanja lijeka, a 28 odgovara broju kapi koje pacijent trebakoristiti zadnji dan. Konvergira li se ovaj niz? Ne, jer unatoč činjenici da je ograničen na 10 odozdo i 28 odozgo, takav niz brojeva nema ograničenja, za razliku od prethodnih primjera.
Koja je razlika?
Pokušajmo sada razjasniti: kada se ispostavi da je niz brojeva konvergentan niz. Definicija ove vrste, kao što se može zaključiti iz navedenog, izravno je povezana s konceptom konačne granice, čija prisutnost otkriva bit problema. Koja je dakle temeljna razlika između prethodno navedenih primjera? I zašto se u posljednjem od njih broj 28 ne može smatrati granicom niza brojeva X =10 + 2(n-1)?
Da biste razjasnili ovo pitanje, razmotrite drugi niz koji je dat formulom u nastavku, gdje n pripada skupu prirodnih brojeva.
Ova zajednica članova je skup običnih razlomaka, čiji je brojnik 1, a nazivnik se stalno povećava: 1, ½ …
Štoviše, svaki uzastopni predstavnik ovog niza se sve više približava 0 u smislu položaja na brojevnoj liniji. A to znači da se takvo susjedstvo pojavljuje gdje se točke skupljaju oko nule, što je granica. I što su mu bliže, njihova koncentracija na brojevnoj liniji postaje gušća. A udaljenost između njih se katastrofalno smanjuje, pretvarajući se u beskonačno malu. Ovo je znak da se niz konvergira.
SličnoDakle, raznobojni pravokutnici prikazani na slici, kada se udaljavaju u prostoru, vizualno su napučeniji, u hipotetskoj granici se pretvaraju u zanemarive.
Beskonačno velike sekvence
Nakon što smo analizirali definiciju konvergentnog niza, prijeđimo na protuprimjere. Mnogi od njih poznati su čovjeku od davnina. Najjednostavnije varijante divergentnih nizova su nizovi prirodnih i parnih brojeva. Na drugi način se nazivaju beskonačno velikima, budući da se njihovi članovi, koji se stalno povećavaju, sve više približavaju pozitivnoj beskonačnosti.
Primjer takvog također može biti bilo koja od aritmetičkih i geometrijskih progresija s korakom i nazivnikom veći od nule. Osim toga, numerički nizovi se smatraju divergentnim nizovima, koji uopće nemaju ograničenja. Na primjer, X =(-2) -1.
Fibonaccijev niz
Praktične prednosti prethodno spomenutog niza brojeva za čovječanstvo su neosporne. Ali postoji bezbroj drugih sjajnih primjera. Jedan od njih je Fibonaccijev niz. Svaki njegov član, koji počinje s jednim, zbroj je prethodnih. Njegova prva dva predstavnika su 1 i 1. Treći 1+1=2, četvrti 1+2=3, peti 2+3=5. Nadalje, prema istoj logici, slijede brojevi 8, 13, 21 i tako dalje.
Ovaj niz brojeva raste unedogled i nemakonačna granica. Ali ima još jedno prekrasno svojstvo. Omjer svakog prethodnog broja prema sljedećem sve je bliži u svojoj vrijednosti 0,618. Ovdje možete razumjeti razliku između konvergentnog i divergentnog niza, jer ako napravite niz primljenih parcijalnih dijeljenja, naznačeni numerički sustav će imaju konačnu granicu jednaku 0,618.
Slijed Fibonaccijevih omjera
Serija brojeva gore navedena naširoko se koristi u praktične svrhe za tehničku analizu tržišta. Ali to nije ograničeno na njegove mogućnosti, koje su Egipćani i Grci znali i mogli primijeniti u praksi u antičko doba. To dokazuju piramide koje su izgradili i Partenon. Uostalom, broj 0,618 je stalni koeficijent zlatnog presjeka, dobro poznat u stara vremena. Prema ovom pravilu, svaki proizvoljni segment može se podijeliti tako da se omjer njegovih dijelova podudara s omjerom između najvećeg odsječka i ukupne duljine.
Konstruirajmo niz naznačenih relacija i pokušajmo analizirati ovaj niz. Brojevi će biti sljedeći: 1; 0,5; 0,67; 0,6; 0,625; 0,615; 0, 619 i tako dalje. Nastavljajući tako, možemo se uvjeriti da će granica konvergentnog niza doista biti 0,618, no potrebno je napomenuti i druga svojstva ove pravilnosti. Ovdje se čini da brojevi idu nasumično, a ne u rastućem ili silaznom redoslijedu. To znači da ovaj konvergentni niz nije monoton. Zašto je to tako, raspravljat ćemo dalje.
Monotonost i ograničenost
Članovi niza brojeva mogu se jasno smanjivati s povećanjem broja (ako je x1>x2>x3>…>x >…) ili povećanje (ako je x1<x263226323<…<x <…). U ovom slučaju se kaže da je slijed strogo monoton. Mogu se promatrati i drugi obrasci, gdje će brojčani niz biti neopadajući i nerastući (x1≧x2≧x 3≧ …≧x ≧… ili x1≦x2≦x 3 ≦…≦x ≦…), tada je sukcesivno konvergentna također monotona, samo ne u strogom smislu. Dobar primjer prve od ovih opcija je niz brojeva dat sljedećom formulom.
Naslikavajući brojeve ove serije, možete vidjeti da bilo koji njen član, koji se neograničeno približava 1, nikada neće premašiti ovu vrijednost. U ovom slučaju se kaže da je konvergentni niz ograničen. To se događa kad god postoji takav pozitivan broj M, koji je uvijek veći od bilo kojeg člana niza po modulu. Ako niz brojeva ima znakove monotonosti i ima granicu, pa stoga konvergira, tada je nužno obdaren takvim svojstvom. A suprotno ne mora biti istina. To je dokazano teoremom o ograničenosti za konvergentni niz.
Primjena takvih zapažanja u praksi je vrlo korisna. Navedimo konkretan primjer ispitivanjem svojstava niza X =n/n+1, i dokazati njegovu konvergenciju. Lako je pokazati da je monoton, budući da je (x +1 – x) pozitivan broj za bilo koje n vrijednosti. Granica niza jednaka je broju 1, što znači da su svi uvjeti gornjeg teorema, koji se naziva i Weierstrassov teorem, zadovoljeni. Teorem o ograničenosti konvergentnog niza kaže da ako ima granicu, onda se u svakom slučaju ispostavlja da je ograničen. Međutim, uzmimo sljedeći primjer. Niz brojeva X =(-1) omeđen je odozdo za -1, a odozgo za 1. Ali ovaj niz nije monoton, nema granica, te stoga ne konvergira. To jest, postojanje granice i konvergencije ne proizlazi uvijek iz ograničenja. Da bi ovo funkcioniralo, donja i gornja granica moraju odgovarati, kao u slučaju Fibonaccijevih omjera.
Brojevi i zakoni svemira
Najjednostavnije varijante konvergentnog i divergentnog niza su možda numerički nizovi X =n i X =1/n. Prvi od njih je prirodan niz brojeva. Ona je, kao što je već spomenuto, beskonačno velika. Drugi konvergentni niz je ograničen, a njegovi članovi su po veličini blizu beskonačno male. Svaka od ovih formula personificira jednu od strana višeznačnog svemira, pomažući osobi da zamisli i izračuna nešto nepoznato, nedostupno ograničenoj percepciji jezikom brojeva i znakova.
Zakoni svemira, u rasponu od zanemarivih do nevjerojatno velikih, također izražavaju zlatni omjer od 0,618. Znanstvenicivjeruju da je on temelj suštine stvari i da ga priroda koristi za formiranje njegovih dijelova. Relacije između sljedećeg i prethodnog člana Fibonaccijevog niza, koje smo već spomenuli, ne dovršavaju demonstraciju nevjerojatnih svojstava ovog jedinstvenog niza. Ako uzmemo u obzir kvocijent dijeljenja prethodnog člana sa sljedećim kroz jedan, onda ćemo dobiti niz od 0,5; 0,33; 0,4; 0,375; 0,384; 0,380; 0, 382 i tako dalje. Zanimljivo je da se ovaj ograničeni niz konvergira, nije monoton, ali omjer susjednih brojeva ekstrema od određenog člana uvijek je približno jednak 0,382, što se također može koristiti u arhitekturi, tehničkoj analizi i drugim industrijama.
Postoje i drugi zanimljivi koeficijenti Fibonaccijevog niza, svi oni igraju posebnu ulogu u prirodi, a koristi ih i čovjek u praktične svrhe. Matematičari su sigurni da se Svemir razvija prema određenoj "zlatnoj spirali", formiranoj od navedenih koeficijenata. Uz njihovu pomoć moguće je izračunati mnoge pojave koje se događaju na Zemlji iu svemiru, od porasta broja određenih bakterija do kretanja udaljenih kometa. Kako se ispostavilo, DNK kod poštuje slične zakone.
Opadajuća geometrijska progresija
Postoji teorem koji potvrđuje jedinstvenost granice konvergentnog niza. To znači da ne može imati dvije ili više granica, što je nedvojbeno važno za pronalaženje njegovih matematičkih karakteristika.
Pogledajmo nekeslučajevima. Svaki brojčani niz sastavljen od članova aritmetičke progresije je divergentan, osim u slučaju s nultim korakom. Isto vrijedi i za geometrijsku progresiju čiji je nazivnik veći od 1. Granice takvih brojčanih nizova su "plus" ili "minus" beskonačnosti. Ako je nazivnik manji od -1, onda uopće nema ograničenja. Moguće su i druge opcije.
Razmotrite niz brojeva dat formulom X =(1/4) -1. Na prvi pogled, lako je vidjeti da je ovaj konvergentni niz omeđen jer je strogo opadajući i ni na koji način ne može uzeti negativne vrijednosti.
Napišimo nekoliko njegovih članova u nizu.
Postat će: 1; 0,25; 0,0625; 0,015625; 0, 00390625 i tako dalje. Dovoljni su prilično jednostavni izračuni da se shvati koliko brzo ova geometrijska progresija opada od nazivnika 0<q<1. Dok se nazivnik pojmova neograničeno povećava, oni sami postaju beskonačno mali. To znači da je granica niza brojeva 0. Ovaj primjer još jednom pokazuje ograničenu prirodu konvergentnog niza.
Temeljne sekvence
Augustin Louis Cauchy, francuski znanstvenik, otkrio je svijetu mnoga djela vezana za matematičku analizu. On je dao definicije pojmovima kao što su diferencijal, integral, granica i kontinuitet. Također je proučavao osnovna svojstva konvergentnih nizova. Kako bi razumjeli suštinu njegovih ideja,neke važne pojedinosti treba sažeti.
Na samom početku članka pokazalo se da postoje takvi nizovi za koje postoji susjedstvo u kojem se točke koje predstavljaju članove određenog niza na pravoj liniji počinju skupljati, sve više se nižući gusto. Istodobno, udaljenost između njih se smanjuje kako se broj sljedećeg predstavnika povećava, pretvarajući se u beskonačno mali. Dakle, ispada da je u danom susjedstvu grupiran beskonačan broj predstavnika danog niza, dok ih izvan njega ima konačan broj. Takvi se nizovi nazivaju temeljnim.
Čuveni Cauchyjev kriterij, koji je stvorio francuski matematičar, jasno ukazuje da je prisutnost takvog svojstva dovoljna da dokaže da niz konvergira. I obrnuto.
Treba napomenuti da je ovaj zaključak francuskog matematičara uglavnom od čisto teorijskog interesa. Smatra se da je njegova primjena u praksi prilično komplicirana stvar, stoga je, kako bi se razjasnila konvergencija nizova, mnogo važnije dokazati postojanje konačne granice za niz. Inače se smatra divergentnim.
Prilikom rješavanja zadataka treba uzeti u obzir i osnovna svojstva konvergentnih nizova. Oni su prikazani u nastavku.
Beskonačne sume
Takvi poznati antički znanstvenici kao što su Arhimed, Euklid, Eudoks koristili su zbrojeve beskonačnih nizova brojeva za izračunavanje duljina krivulja, volumena tijelai područja figura. Konkretno, na ovaj način je bilo moguće saznati površinu paraboličkog segmenta. Za to je korišten zbroj brojčanog niza geometrijske progresije s q=1/4. Na sličan način pronađeni su volumeni i površine drugih proizvoljnih likova. Ova se opcija zvala metoda "iscrpljenja". Ideja je bila da se proučavano tijelo, složenog oblika, razbije na dijelove, koji su figure s lako mjerljivim parametrima. Iz tog razloga nije bilo teško izračunati njihove površine i volumene, a onda su se zbrajali.
Usput, slični zadaci su vrlo poznati suvremenim školarcima i nalaze se u zadacima USE. Jedinstvena metoda, koju su pronašli daleki preci, daleko je najjednostavnije rješenje. Čak i ako postoje samo dva ili tri dijela na koje je brojčana figura podijeljena, zbrajanje njihovih površina i dalje je zbroj niza brojeva.
Mnogo kasnije od starogrčkih znanstvenika Leibniza i Newtona, na temelju iskustva svojih mudrih prethodnika, naučili su obrasce integralnog izračuna. Poznavanje svojstava nizova pomoglo im je u rješavanju diferencijalnih i algebarskih jednadžbi. Trenutno teorija serija, stvorena naporima mnogih generacija talentiranih znanstvenika, daje priliku za rješavanje ogromnog broja matematičkih i praktičnih problema. A proučavanje numeričkih nizova glavni je problem riješen matematičkom analizom od njezina početka.
