Goldbachov problem jedan je od najstarijih i najnaglašenijih problema u povijesti cjelokupne matematike.
Dokazano je da je ova pretpostavka istinita za sve cijele brojeve manje od 4 × 1018, ali ostaje nedokazana unatoč značajnim naporima matematičara.
Broj
Goldbachov broj je pozitivan paran cijeli broj koji je zbroj para neparnih prostih brojeva. Drugi oblik Goldbachove pretpostavke je da su svi parni cijeli brojevi veći od četiri Goldbachovi brojevi.
Razdvajanje takvih brojeva naziva se Goldbachova particija (ili particija). U nastavku su primjeri sličnih odjeljaka za neke parne brojeve:
6=3 + 38=3 + 510=3 + 7=5 + 512=7 + 5…100=3 + 97=11 + 89=17 + 83=29 + 71=41 + 59=47 + 53.
Otkriće hipoteze
Goldbach je imao kolegu po imenu Euler, koji je volio brojati, pisati složene formule i iznositi nerješive teorije. Po tome su bili slični Goldbachu. Euler je napravio sličnu matematičku zagonetku i prije Goldbacha, s kojim jestalno dopisivanje. Zatim je predložio drugi prijedlog na margini svog rukopisa, prema kojem bi se cijeli broj veći od 2 mogao napisati kao zbroj triju prostih brojeva. Smatrao je da je 1 prosti broj.
Sada se zna da su dvije hipoteze slične, ali to u to vrijeme nije izgledalo kao problem. Moderna verzija Goldbachovog problema kaže da se svaki cijeli broj veći od 5 može zapisati kao zbroj triju prostih brojeva. Euler je odgovorio u pismu od 30. lipnja 1742. i podsjetio Goldbacha na raniji razgovor koji su vodili ("… dakle govorimo o izvornoj (a ne marginalnoj) hipotezi koja proizlazi iz sljedeće izjave").
Euler-Goldbachov problem
2 i njegovi parni brojevi mogu se zapisati kao zbroj dvaju prostih brojeva, što je također Goldbachova pretpostavka. U pismu od 30. lipnja 1742., Euler je izjavio da je svaki parni cijeli broj rezultat zbrajanja dvaju prostih brojeva, što smatra dobro definiranim teoremom, iako to ne može dokazati.
Treća verzija
Treća verzija Goldbachovog problema (ekvivalentna drugim dvjema verzijama) oblik je u kojem se nagađanje obično daje danas. Također je poznata kao "jaka", "parna" ili "binarna" Goldbachova hipoteza kako bi se razlikovala od slabije hipoteze danas poznate kao "slaba", "neparna" ili "ternarna" Goldbachova hipoteza. Slaba pretpostavka kaže da su svi neparni brojevi veći od 7 zbroj triju neparnih prostih brojeva. Slaba pretpostavka je dokazana 2013. godine. Slaba hipoteza jeposljedica jake hipoteze. Obrnuti zaključak i jaka Goldbachova pretpostavka ostaju nedokazani do danas.
ček
Za male vrijednosti n, Goldbachov problem (a time i Goldbachova pretpostavka) može se provjeriti. Na primjer, Nils Pipping je 1938. pažljivo testirao hipotezu do n ≦ 105. Pojavom prvih računala izračunato je mnogo više vrijednosti n.
Oliveira Silva izvršila je distribuirano pretraživanje računala koje je potvrdilo hipotezu za n ≦ 4 × 1018 (i dvostruko provjereno do 4 × 1017) od 2013. godine. Jedan unos iz ove pretrage je da je 3,325,581,707,333,960,528 najmanji broj koji nema Goldbachov podjelu s prostim brojem ispod 9781.
heuristika
Verzija za jaki oblik Goldbachove pretpostavke je sljedeća: budući da količina teži beskonačnosti kako n raste, očekujemo da svaki veliki paran cijeli broj ima više od jednog prikaza kao zbroj dvaju prostih brojeva. Ali zapravo, takvih je predstava mnogo. Tko je riješio problem Goldbacha? Jao, još uvijek nitko.
Ovaj heuristički argument je zapravo donekle neprecizan, jer pretpostavlja da je m statistički neovisno o n. Na primjer, ako je m neparan, onda je i n - m neparan, a ako je m paran, onda je n - m paran, a ovo je netrivijalna (složena) relacija, jer osim broja 2 postoji samo neparan brojevi mogu biti prosti. Slično, ako je n djeljivo s 3 i m je već bio prost od 3, tada je n - m također međusobnoprost broj s 3, pa je vjerojatnije da će biti prost broj za razliku od ukupnog broja. Provodeći ovu vrstu analize pažljivije, Hardy i Littlewood 1923. godine, kao dio svoje poznate Hardy-Littlewoodove jednostavne pretpostavke o torci, napravili su gornju doradu cijele teorije. Ali to do sada nije pomoglo u rješavanju problema.
Jaka hipoteza
Jaka Goldbachova pretpostavka je mnogo kompliciranija od slabe Goldbachove pretpostavke. Shnirelman je kasnije dokazao da se svaki prirodni broj veći od 1 može zapisati kao zbroj najviše C prostih brojeva, gdje je C efektivno izračunljiva konstanta. Mnogi matematičari pokušali su ga riješiti, brojeći i množeći brojeve, nudeći složene formule itd. Ali nikada nisu uspjeli, jer je hipoteza previše komplicirana. Nijedna formula nije pomogla.
Ali vrijedi se malo odmaknuti od pitanja dokazivanja Goldbachova problema. Shnirelmanova konstanta je najmanji C broj s ovim svojstvom. Sam Shnirelman je dobio C <800 000. Ovaj rezultat naknadno su dopunili mnogi autori, poput Oliviera Ramareta, koji je 1995. pokazao da je svaki paran broj n ≧ 4 zapravo zbroj najviše šest prostih brojeva. Najpoznatiji rezultat Haralda Helfgotta koji je trenutno povezan s Goldbachovom teorijom.
Daljnji razvoj
Godine 1924. Hardy i Littlewood su preuzeli G. R. H. pokazao da je broj parnih brojeva do X, koji narušavaju binarni Goldbachov problem, mnogo manji nego za mali c.
1973. Chen JingyunPokušao sam riješiti ovaj problem, ali nije išlo. Bio je i matematičar, pa je jako volio rješavati zagonetke i dokazivati teoreme.
Godine 1975. dva američka matematičara su pokazala da postoje pozitivne konstante c i C - one za koje je dovoljno velik N. Konkretno, skup parnih cijelih brojeva ima nultu gustoću. Sve je to bilo korisno za rad na rješenju ternarnog Goldbachovog problema, koji će se odvijati u budućnosti.
Godine 1951. Linnik je dokazao postojanje konstante K takve da je svaki dovoljno veliki paran broj rezultat zbrajanja jednog prostog broja i drugog jednostavnog broja. Roger Heath-Brown i Jan-Christoph Schlage-Puchta otkrili su 2002. da K=13 djeluje. Ovo je vrlo zanimljivo za sve ljude koji vole zbrajati jedni druge, zbrajati različite brojeve i vidjeti što će se dogoditi.
Rješenje Goldbachovog problema
Kao i kod mnogih dobro poznatih pretpostavki u matematici, postoji niz navodnih dokaza Goldbachove pretpostavke, od kojih nijedan nije prihvaćen od strane matematičke zajednice.
Iako Goldbachova pretpostavka implicira da se svaki pozitivni cijeli broj veći od jedan može zapisati kao zbroj najviše tri prosta broja, nije uvijek moguće pronaći takav zbroj koristeći pohlepni algoritam koji koristi najveći mogući prosti broj na svakom koraku. Pillai slijed prati brojeve koji zahtijevaju najviše prostih brojeva u svojim pohlepnim prikazima. Dakle, rješenje Goldbachovog problemajoš uvijek pod znakom pitanja. Ipak, prije ili kasnije će najvjerojatnije biti riješeno.
Postoje teorije slične Goldbachovom problemu u kojima se prosti brojevi zamjenjuju drugim specifičnim skupovima brojeva, kao što su kvadrati.
Christian Goldbach
Christian Goldbach bio je njemački matematičar koji je također studirao pravo. Danas ga pamte po Goldbachovom nagađanju.
Cijeli život radio je kao matematičar - jako je volio zbrajati brojeve, izmišljati nove formule. Poznavao je i nekoliko jezika, na svakom od kojih je vodio svoj osobni dnevnik. Ti jezici su bili njemački, francuski, talijanski i ruski. Također, prema nekim izvorima, govorio je engleski i latinski. Za života je bio poznat kao prilično poznat matematičar. Goldbach je također bio prilično blisko povezan s Rusijom, jer je imao mnogo ruskih kolega i osobnu naklonost kraljevske obitelji.
Nastavio je raditi u novootvorenoj Petrogradskoj akademiji znanosti 1725. kao profesor matematike i povjesničar akademije. Godine 1728., kada je Petar II postao ruski car, Goldbach je postao njegov mentor. Godine 1742. ušao je u rusko ministarstvo vanjskih poslova. Odnosno, on je zapravo radio u našoj zemlji. U to vrijeme mnogi znanstvenici, pisci, filozofi i vojni ljudi dolaze u Rusiju, jer je Rusija u to vrijeme bila zemlja prilika poput Amerike. Mnogi su ovdje napravili karijeru. I naš heroj nije iznimka.
Christian Goldbach bio je višejezičan - napisao je dnevnik na njemačkom i latinskom, svoja slovapisani su na njemačkom, latinskom, francuskom i talijanskom jeziku, a za službene dokumente koristio se ruski, njemački i latinski.
Umro je 20. studenog 1764. u 74. godini u Moskvi. Dan kada Goldbachov problem bude riješen bit će prikladna počast njegovom sjećanju.
Zaključak
Goldbach je bio veliki matematičar koji nam je dao jednu od najvećih misterija ove znanosti. Ne zna se hoće li to ikada biti riješeno ili ne. Znamo samo da će njegovo navodno razrješenje, kao u slučaju Fermatovog teorema, otvoriti nove perspektive za matematiku. Matematičari ga jako vole rješavati i analizirati. Vrlo je zanimljiv i radoznao s heurističkog stajališta. Čak i studenti matematike vole rješavati Goldbachov problem. Kako drugačije? Uostalom, mlade ljude neprestano privlači sve svijetlo, ambiciozno i neriješeno, jer se prevladavanjem poteškoća može afirmirati. Nadajmo se da će uskoro ovaj problem riješiti mladi, ambiciozni, znatiželjni umovi.
