Pravilna šesterokutna piramida. Formule za volumen i površinu. Rješenje geometrijskog problema

2024 Autor: Angel Austin | [email protected]. Zadnja promjena: 2024-01-02 17:48

Stereometrija, kao grana geometrije u prostoru, proučava svojstva prizmi, cilindara, čunjeva, kuglica, piramida i drugih trodimenzionalnih figura. Ovaj je članak posvećen detaljnom pregledu karakteristika i svojstava šesterokutne pravilne piramide.

Koja će se piramida proučavati

Pravilna šesterokutna piramida je lik u prostoru koji je ograničen jednim jednakostraničnim i jednakokutnim šesterokutom i šest identičnih jednakokračnih trokuta. Ovi trokuti također mogu biti jednakostranični pod određenim uvjetima. Ova piramida je prikazana ispod.

Ovdje je prikazana ista slika, samo što je u jednom slučaju okrenuta bočnim licem prema čitaču, au drugom - bočnim rubom.

Pravilna šesterokutna piramida ima 7 lica, koja su gore spomenuta. Također ima 7 vrhova i 12 bridova. Za razliku od prizmi, sve piramide imaju jedan poseban vrh koji nastaje presjekom bočnihtrokuta. Za pravilnu piramidu igra važnu ulogu, budući da je okomica spuštena s nje na bazu figure visina. Nadalje, visina će biti označena slovom h.

Prikazana piramida naziva se ispravnom iz dva razloga:

• u njegovoj osnovi je šesterokut s jednakim duljinama stranica a i jednakim kutovima od 120o;
• Visina piramide h siječe šesterokut točno u njegovom središtu (točka presjeka leži na istoj udaljenosti od svih strana i od svih vrhova šesterokuta).

Površina

Svojstva pravilne šesterokutne piramide razmatrat će se iz definicije njezine površine. Da biste to učinili, prvo je korisno rasklopiti lik na ravnini. Shematski prikaz toga prikazan je ispod.

Može se vidjeti da je površina zamaha, a time i cijela površina figure koja se razmatra, jednaka zbroju površina šest identičnih trokuta i jednog šesterokuta.

Da biste odredili površinu šesterokuta S_{6, koristite univerzalnu formulu za pravilan n-kut:}

S=n/4a2ctg(pi/n)=>

S₆=3√3/2a^2.

Gdje je a duljina stranice šesterokuta.

Površina trokuta S₃ bočne strane može se pronaći ako znate vrijednost njegove visine h_b:

S₃=1/2h_ba.

Zato što svih šesttrokuti su međusobno jednaki, tada dobivamo radni izraz za određivanje površine šesterokutne piramide s ispravnom bazom:

S=S₆+ 6S₃=3√3/2a^{2 + 61/2h}b_{a=3a(√3/2a + h}b_).

Vumen piramide

Baš kao i površina, volumen šesterokutne pravilne piramide je njezino važno svojstvo. Taj se volumen izračunava općom formulom za sve piramide i čunjeve. Zapišimo:

V=1/3S_oh.

Ovdje, simbol S_o je površina šesterokutne baze, tj. S_o=S _6.

Zamjenom gornji izraz za S_{6 u formulu za V, dolazimo do konačne jednakosti za određivanje volumena pravilne šesterokutne piramide:}

V=√3/2a2h.

Primjer geometrijskog problema

U pravilnoj šesterokutnoj piramidi, bočni rub je dvostruko duži od osnovne stranice. Znajući da je potonji 7 cm, potrebno je izračunati površinu i volumen ove figure.

Kao što možete pretpostaviti, rješenje ovog problema uključuje korištenje gore dobivenih izraza za S i V. Ipak, neće ih biti moguće upotrijebiti odmah, budući da ne znamo apotemu i visina pravilne šesterokutne piramide. Izračunajmo ih.

Apotema h_b može se odrediti razmatranjem pravokutnog trokuta izgrađenog na stranicama b, a/2 i h_{b. Ovdje je b duljina bočnog ruba. Koristeći uvjet problema, dobivamo:}

h_b=√(b²-a²/4)=√(14 ²-7^{2/4)=13, 555 cm.}

Visina h piramide može se odrediti na potpuno isti način kao apotema, ali sada bismo trebali razmotriti trokut sa stranicama h, b i a, koji se nalazi unutar piramide. Visina će biti:

h=√(b²- a²)=√(14²- 7 ^{2)=12, 124 cm.}

Može se vidjeti da je izračunata vrijednost visine manja od one za apotemu, što vrijedi za svaku piramidu.

Sada možete koristiti izraze za volumen i površinu:

S=3a(√3/2a + h_b)=37(√3/27 + 13, 555)=411, 96 cm^2;

V=√3/2a²h=√3/27²12, 124=514, 48 cm^3.

Dakle, da biste nedvosmisleno odredili bilo koju karakteristiku pravilne šesterokutne piramide, morate znati bilo koja dva njena linearna parametra.