U srednjoj školi, nakon proučavanja svojstava likova na ravnini, prelaze na razmatranje prostornih geometrijskih objekata kao što su prizme, kugle, piramide, cilindri i stošci. U ovom članku dat ćemo najpotpuniji opis ravne trokutaste prizme.
Što je trokutasta prizma?
Započnimo članak s definicijom figure, o kojoj će se dalje raspravljati. Prizma s gledišta geometrije je lik u prostoru koji čine dva identična n-kuta smještena u paralelnim ravninama, čiji su isti kutovi povezani ravnim segmentima. Ti se segmenti nazivaju bočna rebra. Zajedno sa stranicama baze tvore bočnu plohu, koja je općenito predstavljena paralelogramima.
Dva n-kuta su osnove figure. Ako su bočni bridovi okomiti na njih, onda govore o ravnoj prizmi. Prema tome, ako je broj stranica n poligona na bazama tri, tada se takav lik naziva trokutasta prizma.
Trukutna ravna prizma prikazana je iznad na slici. Ova se figura također naziva pravilna, jer su njezine baze jednakostranični trokuti. Duljina bočnog ruba figure, označena slovom h na slici, naziva se njezinom visinom.
Slika pokazuje da prizmu s trokutastom bazom tvori pet lica, od kojih su dva jednakostranični trokuti, a tri identični pravokutnici. Osim lica, prizma ima šest vrhova u bazama i devet bridova. Brojevi razmatranih elemenata međusobno su povezani Eulerovim teoremom:
broj bridova=broj vrhova + broj strana - 2.
Površina prave trokutaste prizme
Iznad smo saznali da dotičnu figuru čini pet lica dvije vrste (dva trokuta, tri pravokutnika). Sva ta lica čine punu površinu prizme. Njihova ukupna površina je površina figure. Ispod je rasklop trokutaste prizme, koji se može dobiti tako da se najprije odrežu dvije baze od figure, a zatim se izrežu duž jednog ruba i otklopi bočna površina.
Dajmo formule za određivanje površine ovog zamaha. Počnimo s osnovama prave trokutaste prizme. Budući da predstavljaju trokute, površina S3 svakog od njih može se naći na sljedeći način:
S3=1/2aha.
Ovdje je a stranica trokuta, ha je visina spuštena od vrha trokuta na ovu stranu.
Ako je trokut jednakostraničan (pravilan), tada formula za S3 ovisi samo o jednom parametru a. Izgleda ovako:
S3=√3/4a2.
Ovaj se izraz može dobiti razmatranjem pravokutnog trokuta kojeg čine segmenti a, a/2, ha.
Površina baza So za regularnu brojku je dvostruko veća od vrijednosti S3:
So=2S3=√3/2a2.
Što se tiče bočne površine Sb, nije je teško izračunati. Da biste to učinili, dovoljno je pomnožiti s tri površinu jednog pravokutnika kojeg čine stranice a i h. Odgovarajuća formula je:
Sb=3ah.
Dakle, površina pravilne prizme s trokutastom bazom nalazi se sljedećom formulom:
S=So+ Sb=√3/2a2+ 3 ah.
Ako je prizma ravna, ali nepravilna, tada da biste izračunali njezinu površinu, trebate posebno dodati površine pravokutnika koji nisu međusobno jednaki.
Određivanje volumena figure
Volem prizme se shvaća kao prostor ograničen njezinim stranama (licama). Izračunavanje volumena prave trokutaste prizme mnogo je lakše nego izračunavanje njezine površine. Da biste to učinili, dovoljno je znati površinu baze i visinu figure. Budući da je visina h ravne figure duljina njenog bočnog ruba, i kako izračunati površinu baze, dali smo u prethodnomtočka, onda ostaje pomnožiti ove dvije vrijednosti jedna s drugom kako bi se dobio željeni volumen. Formula za to je:
V=S3h.
Napominjemo da će umnožak površine jedne baze i visine dati volumen ne samo ravne prizme, već i kosog lika, pa čak i cilindra.
Rješavanje problema
Staklene trokutaste prizme koriste se u optici za proučavanje spektra elektromagnetskog zračenja zbog fenomena disperzije. Poznato je da obična staklena prizma ima duljinu stranice baze 10 cm i duljinu ruba 15 cm. Kolika je površina njezinih staklenih površina i koliki volumen sadrži?
Da bismo odredili područje, koristit ćemo formulu napisanu u članku. Imamo:
S=√3/2a2+ 3ah=√3/2102 + 3 1015=536,6 cm2.
Da bismo odredili volumen V, također koristimo gornju formulu:
V=S3h=√3/4a2h=√3/410 215=649,5 cm3.
Unatoč činjenici da su rubovi prizme dugi 10 cm i 15 cm, volumen figure je samo 0,65 litara (kocka sa stranom od 10 cm ima volumen od 1 litre).
