Tako nevjerojatan i poznat kvadrat. Simetrična je oko svog središta i osi povučenih duž dijagonala i kroz središta stranica. A tražiti površinu kvadrata ili njegov volumen nije nimalo teško. Pogotovo ako je poznata duljina njegove stranice.
Nekoliko riječi o figuri i njezinim svojstvima
Prva dva svojstva povezana su s definicijom. Sve strane figure su jedna drugoj jednake. Uostalom, kvadrat je pravilan četverokut. Štoviše, mora imati sve strane jednake, a kutovi imaju istu vrijednost, naime, 90 stupnjeva. Ovo je drugo svojstvo.
Treći je povezan s duljinom dijagonala. Također se ispostavlja da su jednaki jedni drugima. Štoviše, sijeku se pod pravim kutom i u središnjim točkama.
Formula koja koristi samo bočnu duljinu
Prvo, o notaciji. Za duljinu stranice uobičajeno je odabrati slovo "a". Zatim se kvadratna površina izračunava po formuli: S=a2.
Lako se dobiva od onog poznatog po pravokutniku. U njemu se duljina i širina množe. Za kvadrat su ta dva elementa jednaka. Stoga, u formulipojavljuje se kvadrat ove jedne vrijednosti.
Formula u kojoj se pojavljuje duljina dijagonale
To je hipotenuza u trokutu čiji su kraci stranice lika. Stoga možete koristiti formulu Pitagorinog teorema i izvesti jednakost u kojoj je strana izražena kroz dijagonalu.
Nakon takvih jednostavnih transformacija, dobivamo da se kvadratna površina kroz dijagonalu izračunava po sljedećoj formuli:
S=d2 / 2. Ovdje slovo d označava dijagonalu kvadrata.
Formula perimetra
U takvoj situaciji, potrebno je izraziti stranu kroz opseg i zamijeniti je u formulu površine. Budući da lik ima četiri identične strane, perimetar će se morati podijeliti s 4. To će biti vrijednost stranice, koja se zatim može zamijeniti početnom i izračunati površinu kvadrata.
Opća formula izgleda ovako: S=(R/4)2.
Problemi za izračune
1. Postoji kvadrat. Zbroj njegovih dviju strana je 12 cm. Izračunajte površinu kvadrata i njegov opseg.
Odluka. Budući da je zadan zbroj dviju stranica, moramo pronaći duljinu jedne. Budući da su isti, poznati broj samo treba podijeliti s dva. Odnosno, strana ove figure je 6 cm.
Tada se njegov opseg i površina lako izračunavaju pomoću gornjih formula. Prvi je 24 cm, a drugi 36 cm2.
Odgovor. Opseg kvadrata je 24 cm, a njegova površina je 36 cm2.
2. Pronađite površinu kvadrata s opsegom od 32 mm.
Odluka. Dovoljno je samo zamijeniti vrijednost perimetra u gore napisanoj formuli. Iako prvo možete saznati stranu kvadrata, a tek onda njegovu površinu.
U oba slučaja radnje će prvo uključivati dijeljenje, a zatim eksponiranje. Jednostavni izračuni dovode do činjenice da je površina predstavljenog kvadrata 64 mm2.
Odgovor. Željeno područje je 64 mm2.
3. Strana kvadrata je 4 dm. Veličine pravokutnika: 2 i 6 dm. Koja od dvije figure ima veću površinu? Koliko?
Odluka. Neka strana kvadrata bude označena slovom a1, tada su duljina i širina pravokutnika a2 i 2 . Da bi se odredila površina kvadrata, vrijednost a1 treba kvadrirati, a vrijednost pravokutnika treba pomnožiti s 2i 2 . Lako je.
Ispada da je površina kvadrata 16 dm2, a pravokutnika 12 dm2. Očito je da je prva figura veća od druge. To je unatoč činjenici da su jednaki, odnosno da imaju isti opseg. Da biste provjerili, možete izbrojati perimetre. Na kvadratu se strana mora pomnožiti s 4, dobit ćete 16 dm. Dodajte stranice pravokutnika i pomnožite s 2. Bit će isti broj.
U zadatku također trebate odgovoriti koliko se područja razlikuju. Da biste to učinili, oduzmite manji broj od većeg broja. Ispada da je razlika 4 dm2.
Odgovor. Područja su 16 dm2 i 12 dm2. Kvadrat ima 4 dm više2.
Problem s dokazom
Stanje. Na kraku jednakokračnog pravokutnog trokuta izgrađen je kvadrat. Na njegovu hipotenuzu se gradi nadmorska visina, na kojoj je izgrađen još jedan kvadrat. Dokažite da je površina prve dvostruko veća od druge.
Odluka. Uvedemo notaciju. Neka je katet jednak a, a visina povučena hipotenuzi je x. Površina prvog kvadrata je S1, drugog kvadrata je S2.
Površinu kvadrata izgrađenog na nozi lako je izračunati. Ispada da je jednako a2. S drugom vrijednošću stvari nisu tako jednostavne.
Prvo morate saznati duljinu hipotenuze. Za to je korisna formula Pitagorinog teorema. Jednostavne transformacije dovode do ovog izraza: a√2.
Budući da je visina u jednakokračnom trokutu povučenom na bazu također medijan i visina, ona dijeli veliki trokut na dva jednaka jednakokračna pravokutna trokuta. Dakle, visina je polovina hipotenuze. To jest, x \u003d (a √ 2) / 2. Odavde je lako saznati područje S2. Ispada da je jednako a2/2.
Očito, snimljene vrijednosti razlikuju se točno za faktor dva. A drugi je puno manje. Kao što je potrebno dokazati.
Neobična zagonetka - tangram
Napravljen je od kvadrata. Mora se rezati u razne oblike prema određenim pravilima. Ukupno dijelova treba biti 7.
Pravila pretpostavljaju da će se tijekom igre koristiti svi dobiveni dijelovi. Od njih morate napraviti druge geometrijske oblike. Na primjer,pravokutnik, trapez ili paralelogram.
Ali još je zanimljivije kada se iz komada dobiju siluete životinja ili predmeta. Štoviše, ispada da je površina svih izvedenih figura jednaka površini početnog kvadrata.
