Što je aritmetika? Kada je čovječanstvo počelo koristiti brojeve i raditi s njima? Gdje idu korijeni takvih svakodnevnih pojmova kao što su brojevi, razlomci, oduzimanje, zbrajanje i množenje, koje je osoba učinila neodvojivim dijelom svog života i svjetonazora? Stari grčki umovi divili su se znanostima poput matematike, aritmetike i geometrije kao najljepšim simfonijama ljudske logike.
Možda aritmetika nije tako duboka kao druge znanosti, ali što bi se dogodilo s njima ako bi osoba zaboravila elementarnu tablicu množenja? Logičko razmišljanje uobičajeno za nas, korištenje brojeva, razlomaka i drugih alata, ljudima nije bilo lako i dugo je bilo nedostupno našim precima. Zapravo, prije razvoja aritmetike, nijedno područje ljudskog znanja nije bilo istinski znanstveno.
Aritmetika je abeceda matematike
Aritmetika je znanost o brojevima, s kojom se svaka osoba počinje upoznavati s fascinantnim svijetom matematike. Kao što je M. V. Lomonosov rekao, aritmetika je kapija učenja, koja nam otvara put ka svjetskom znanju. Ali on je u pravuMože li se znanje o svijetu odvojiti od znanja brojeva i slova, matematike i govora? Možda u stara vremena, ali ne u modernom svijetu, gdje brzi razvoj znanosti i tehnologije diktira svoje zakone.
Riječ "aritmetika" (grčki "arithmos") grčkog porijekla, znači "broj". Proučava brojeve i sve što se s njima može povezati. Ovo je svijet brojeva: razne operacije s brojevima, numerička pravila, rješavanje zadataka koji se odnose na množenje, oduzimanje itd.
Općenito je prihvaćeno da je aritmetika početni korak matematike i čvrst temelj za njezine složenije dijelove, kao što su algebra, matematička analiza, viša matematika, itd.
Glavni predmet aritmetike
Osnova aritmetike je cijeli broj, čija se svojstva i obrasci razmatraju u višoj aritmetici ili teoriji brojeva. Zapravo, snaga cijele zgrade - matematike - ovisi o tome koliko je ispravan pristup u razmatranju tako malog bloka kao prirodnog broja.
Stoga, na pitanje što je aritmetika može se odgovoriti jednostavno: to je znanost o brojevima. Da, o uobičajenoj sedam, devetorki i cijeloj toj raznolikoj zajednici. I kao što ne možete pisati dobru ili čak najsrednju poeziju bez elementarne abecede, ne možete riješiti ni elementarni problem bez aritmetike. Zato su sve znanosti napredovale tek nakon razvoja aritmetike i matematike, prije toga bile su samo skup pretpostavki.
Aritmetika je fantomska znanost
Što je aritmetika - prirodna znanost ili fantom? Zapravo, kao što su drevni grčki filozofi tvrdili, u stvarnosti ne postoje ni brojevi ni brojke. Ovo je samo fantom koji se stvara u ljudskom razmišljanju kada se promatra okoliš s njegovim procesima. Doista, što je broj? Nigdje okolo ne vidimo ništa slično što bi se moglo nazvati brojem, već je broj način na koji ljudski um proučava svijet. Ili je to možda proučavanje nas samih iznutra? Filozofi se o tome raspravljaju stoljećima zaredom, pa se ne obvezujemo dati iscrpan odgovor. Na ovaj ili onaj način, aritmetika je uspjela zauzeti svoje mjesto tako čvrsto da se u modernom svijetu nitko ne može smatrati društveno prilagođenim bez poznavanja njezinih osnova.
Kako se pojavio prirodni broj
Naravno, glavni objekt s kojim aritmetika djeluje je prirodni broj, kao što su 1, 2, 3, 4, …, 152… itd. Aritmetika prirodnih brojeva rezultat je prebrojavanja običnih predmeta, kao što su krave na livadi. Ipak, definicija "puno" ili "malo" jednom je ljudima prestala odgovarati i morali su izmisliti naprednije tehnike brojanja.
Ali pravi proboj dogodio se kada je ljudska misao dosegla točku da je moguće označiti 2 kilograma, 2 cigle i 2 dijela istim brojem "dva". Činjenica je da se trebate apstrahirati od oblika, svojstava i značenja objekata, tada možete izvršiti neke radnje s tim objektima u obliku prirodnih brojeva. Tako je rođena aritmetika brojeva, kojadalje razvijao i širio, zauzimajući sve veće pozicije u životu društva.
Takvi dubinski koncepti broja kao što su nula i negativni broj, razlomci, oznake brojeva brojevima i na druge načine, imaju bogatu i zanimljivu povijest razvoja.
Aritmetički i praktični Egipćani
Dva najstarija ljudska suputnika u istraživanju svijeta oko nas i rješavanju svakodnevnih problema su aritmetika i geometrija.
Vjeruje se da povijest aritmetike potječe s drevnog istoka: u Indiji, Egiptu, Babilonu i Kini. Dakle, papirus Rinda egipatskog podrijetla (nazvan tako jer je pripadao istoimenom vlasniku), koji potječe iz 20. stoljeća. Kr., pored ostalih vrijednih podataka, sadrži proširenje jednog razlomka u zbroj razlomaka s različitim nazivnicima i brojnikom jednakim jedan.
Na primjer: 2/73=1/60+1/219+1/292+1/365.
Ali koja je svrha tako složene dekompozicije? Činjenica je da egipatski pristup nije tolerirao apstraktne misli o brojevima, naprotiv, izračuni su napravljeni samo u praktične svrhe. Odnosno, Egipćanin će se baviti takvim stvarima kao što su izračuni, isključivo kako bi izgradili grobnicu, na primjer. Bilo je potrebno izračunati duljinu ruba strukture, a to je prisililo osobu da sjedne iza papirusa. Kao što možete vidjeti, egipatski napredak u proračunima uzrokovan je, prije, masovnom gradnjom nego ljubavlju prema znanosti.
Iz tog razloga, izračuni pronađeni na papirusima ne mogu se nazvati refleksijama na temu razlomaka. Najvjerojatnije je ovo praktična priprema koja je pomogla u budućnosti.rješavati zadatke s razlomcima. Stari Egipćani, koji nisu poznavali tablice množenja, pravili su prilično dugačke izračune, rastavljali ih na mnoge podzadatke. Možda je ovo jedan od tih podzadataka. Lako je vidjeti da su proračuni s takvim izratcima vrlo naporni i neperspektivni. Možda iz tog razloga ne vidimo veliki doprinos starog Egipta razvoju matematike.
Stara Grčka i filozofska aritmetika
Mnoga znanja o Starom Istoku uspješno su savladali stari Grci, poznati ljubitelji apstraktnih, apstraktnih i filozofskih promišljanja. Ništa ih manje nije zanimala praksa, ali je teško pronaći najbolje teoretičare i mislioce. To je koristilo znanosti, budući da je nemoguće uroniti u aritmetiku, a da je ne odvojimo od stvarnosti. Naravno, možete umnožiti 10 krava i 100 litara mlijeka, ali nećete stići daleko.
Duboko razmišljajući Grci ostavili su značajan trag u povijesti, a njihovi su spisi došli do nas:
- Euklid i elementi.
- Pythagoras.
- Arhimedes.
- Eratosthen.
- Zeno.
- Anaxagoras.
I, naravno, Grci, koji su sve pretvorili u filozofiju, a posebno nasljednici Pitagorinog djela, bili su toliko fascinirani brojevima da su ih smatrali misterijom harmonije svijeta. Brojevi su do te mjere proučavani i istraženi da su nekima od njih i njihovim parovima dodijeljena posebna svojstva. Na primjer:
- Savršeni brojevi su oni koji su jednaki zbroju svih njihovih djelitelja, osim samog broja (6=1+2+3).
- Prijateljski brojevi su ti brojevi, od kojih je jedanjednak je zbroju svih djelitelja sekunde, i obrnuto (pitagorejci su poznavali samo jedan takav par: 220 i 284).
Grci, koji su vjerovali da znanost treba voljeti, a ne biti s njom radi zarade, postigli su veliki uspjeh istraživanjem, igranjem i zbrajanjem brojeva. Valja napomenuti da nisu sva njihova istraživanja bila široko korištena, neka od njih su ostala samo "za ljepotu".
istočni mislioci srednjeg vijeka
Na isti način, u srednjem vijeku, aritmetika duguje svoj razvoj istočnjačkim suvremenicima. Indijanci su nam dali brojeve koje aktivno koristimo, koncept kao što je "nula" i pozicionu verziju računa, poznatu modernoj percepciji. Od Al-Kashija, koji je radio u Samarkandu u 15. stoljeću, naslijedili smo decimalne razlomke bez kojih je teško zamisliti modernu aritmetiku.
Upoznavanje Europe s dostignućima Istoka na mnogo načina postalo je moguće zahvaljujući radu talijanskog znanstvenika Leonarda Fibonaccija, koji je napisao djelo "Knjiga o abakusu", uvodeći istočnjačke inovacije. Postao je kamen temeljac razvoja algebre i aritmetike, istraživanja i znanstvenih aktivnosti u Europi.
ruska aritmetika
I, konačno, aritmetika, koja je našla svoje mjesto i ukorijenila se u Europi, počela se širiti u ruske zemlje. Prva ruska aritmetika objavljena je 1703. godine – bila je to knjiga o aritmetici Leontija Magnitskog. Dugo je ostao jedini udžbenik iz matematike. Sadrži početne momente algebre i geometrije. Brojevi korišteni u primjerima u prvom aritmetičkom udžbeniku u Rusiji su arapski. Iako su arapski brojevi već viđeni, na gravurama koje datiraju iz 17. stoljeća.
Sama knjiga ukrašena je slikama Arhimeda i Pitagore, a na prvom listu - slika aritmetike u obliku žene. Ona sjedi na prijestolju, ispod nje je na hebrejskom napisana riječ koja označava Božje ime, a na stepenicama koje vode do prijestolja ispisane su riječi "podjela", "množenje", "zbrajanje" itd. istine koji se sada smatraju uobičajenim.
Udžbenik od 600 stranica pokriva osnove kao što su tablice zbrajanja i množenja i primjene u navigacijskim znanostima.
Nije čudno što je autor za svoju knjigu odabrao slike grčkih mislilaca, jer je i sam bio očaran ljepotom aritmetike rekavši: "Aritmetika je brojilac, postoji umjetnost iskrena, nezavidna…". Ovakav pristup aritmetici sasvim je opravdan, jer se upravo njegovo rašireno uvođenje može smatrati početkom brzog razvoja znanstvene misli u Rusiji i općeg obrazovanja.
Neprosti prosti brojevi
Prosti broj je prirodan broj koji ima samo 2 pozitivna djelitelja: 1 i sebe. Svi ostali brojevi, osim 1, nazivaju se složenim. Primjeri prostih brojeva: 2, 3, 5, 7, 11 i svi ostali koji nemaju djelitelje osim 1 i samog sebe.
Što se tiče broja 1, on je na posebnom računu - postoji dogovor da se ne smatra ni jednostavnim ni složenim. Jednostavan na prvi pogled, jednostavan broj u sebi krije mnoge neriješene misterije.
Euklidov teorem kaže da postoji beskonačan broj prostih brojeva, a Eratosten je izumio posebno aritmetičko "sito" koje eliminira ne-proste brojeve, ostavljajući samo jednostavne.
Njegova suština je podcrtati prvi neprecrtani broj, a zatim precrtati one koji su mu višestruki. Ovaj postupak ponavljamo mnogo puta - i dobivamo tablicu prostih brojeva.
Osnovni teorem aritmetike
Među zapažanjima o prostim brojevima, temeljni aritmetički teorem treba spomenuti na poseban način.
Osnovni aritmetički teorem kaže da je svaki cijeli broj veći od 1 ili prost, ili se može rastaviti u proizvod prostih brojeva do reda faktora, i to na jedinstven način.
Glavni aritmetički teorem pokazao se prilično glomaznim, a njegovo razumijevanje više ne izgleda kao najjednostavnije osnove.
Na prvi pogled, prosti brojevi su elementarni pojam, ali nisu. Fizika je također nekada smatrala atom elementarnim, sve dok u njemu nije pronašla cijeli svemir. Prekrasna priča matematičara Dona Tzagira "Prvih pedeset milijuna prostih brojeva" posvećena je prostim brojevima.
Od "tri jabuke" do deduktivnih zakona
Ono što se uistinu može nazvati ojačanim temeljom cijele znanosti jesu zakoni aritmetike. Čak iu djetinjstvu svi se suočavaju s aritmetikom, proučavajući broj nogu i ruku lutaka,broj kockica, jabuka itd. Ovako proučavamo aritmetiku, koja onda prelazi u složenija pravila.
Cijeli nas život upoznaje s pravilima aritmetike, koja su za običnog čovjeka postala najkorisnija od svega što znanost daje. Proučavanje brojeva je "aritmetika-beba", koja osobu uvodi u svijet brojeva u obliku brojeva u ranom djetinjstvu.
Viša aritmetika je deduktivna znanost koja proučava zakone aritmetike. Većinu njih poznajemo, iako možda ne znamo njihov točan izraz.
Zakon zbrajanja i množenja
Dva bilo koja prirodna broja a i b mogu se izraziti kao zbroj a+b, koji će također biti prirodan broj. Sljedeći zakoni se primjenjuju na zbrajanje:
- komutativno, što kaže da se zbroj ne mijenja preuređivanjem pojmova, ili a+b=b+a.
- Asocijativno, što kaže da zbroj ne ovisi o načinu na koji su pojmovi grupirani na mjestima, ili a+(b+c)=(a+ b)+ c.
Pravila aritmetike, kao što je zbrajanje, su među najelementarnijim, ali ih koriste sve znanosti, a da ne spominjemo svakodnevni život.
Dva bilo koja prirodna broja a i b mogu se izraziti kao proizvod ab ili ab, koji je također prirodan broj. Za proizvod vrijede isti komutativni i asocijativni zakoni kao i za zbrajanje:
- ab=b a;
- a(bc)=(a b) c.
Pitam seda postoji zakon koji ujedinjuje zbrajanje i množenje, koji se također naziva distributivni ili distributivni zakon:
a(b+c)=ab+ac
Ovaj nas zakon zapravo uči da radimo sa zagradama tako što ih proširujemo, tako da možemo raditi sa složenijim formulama. Ovo su zakoni koji će nas voditi kroz bizaran i složen svijet algebre.
Zakon aritmetičkog reda
Ljudska logika svakodnevno koristi zakon reda, uspoređujući satove i brojeći novčanice. I, unatoč tome, treba ga formalizirati u obliku specifičnih formulacija.
Ako imamo dva prirodna broja a i b, tada su moguće sljedeće opcije:
- a jednako b, ili a=b;
- a je manje od b, ili a < b;
- a je veće od b, ili a > b.
Od tri opcije, samo jedna može biti poštena. Osnovni zakon koji upravlja redoslijedom kaže: ako je a < b i b < c, onda a< c.
Postoje i zakoni koji se odnose na red množenja i zbrajanja: ako je a< b, onda a + c < b+c i ac< bc.
Zakoni aritmetike nas uče raditi s brojevima, znakovima i zagradama, pretvarajući sve u skladnu simfoniju brojeva.
Pozicijski i nepozicijski račun
Može se reći da su brojevi matematički jezik, o čijoj praktičnosti mnogo ovisi. Postoje mnogi brojevni sustavi, koji se, poput abecede različitih jezika, međusobno razlikuju.
Razmotrimo brojevne sustave sa stajališta utjecaja pozicije na kvantitativnu vrijednostbrojevi na ovoj poziciji. Tako je, na primjer, rimski sustav nepozicionalan, gdje je svaki broj kodiran određenim skupom posebnih znakova: I/ V/ X/L/ C/ D/ M. Oni su jednaki brojevima 1. / 5/10/50/100/500/ 1000. U takvom sustavu broj ne mijenja svoju kvantitativnu definiciju ovisno o tome na kojoj se poziciji nalazi: prvi, drugi itd. Da biste dobili druge brojeve, trebate dodati osnovne. Na primjer:
- DCC=700.
- CCM=800.
Sustav brojeva koji nam je poznatiji koristeći arapske brojeve je pozicijski. U takvom sustavu znamenka broja određuje broj znamenki, na primjer, troznamenkasti brojevi: 333, 567 itd. Težina bilo koje znamenke ovisi o položaju na kojem se nalazi ova ili ona znamenka, na primjer, broj 8 na drugom mjestu ima vrijednost 80. To je tipično za decimalni sustav, postoje i drugi pozicijski sustavi, npr., binarni.
Binarna aritmetika
Poznajemo decimalni sustav koji se sastoji od jednoznamenkastih i višeznamenkastih brojeva. Broj s lijeve strane višeznamenkastog broja deset je puta značajniji od onog s desne strane. Dakle, navikli smo čitati 2, 17, 467 itd. Dio pod nazivom "binarna aritmetika" ima potpuno drugačiju logiku i pristup. To nije iznenađujuće, jer binarna aritmetika nije stvorena za ljudsku logiku, već za kompjutersku logiku. Ako je aritmetika brojeva proizašla iz brojanja objekata, koje je dalje apstrahirano od svojstava objekta do "gole" aritmetike, onda to neće funkcionirati s računalom. Da biste mogli dijelitisa svojim znanjem o računalu, čovjek je morao izmisliti takav model računa.
Binarna aritmetika radi s binarnom abecedom, koja se sastoji od samo 0 i 1. A upotreba ove abecede naziva se binarnim sustavom.
Razlika između binarne i decimalne aritmetike je u tome što značajnost pozicije lijevo više nije 10, već 2 puta. Binarni brojevi su oblika 111, 1001 itd. Kako razumjeti takve brojeve? Dakle, uzmite u obzir broj 1100:
- Prva znamenka s lijeve strane je 18=8, sjetimo se da četvrtu znamenku, što znači da je treba pomnožiti s 2, dobivamo poziciju 8.
- Druga znamenka 14=4 (pozicija 4).
- Treća znamenka 02=0 (pozicija 2).
- Četvrta znamenka 01=0 (pozicija 1).
- Dakle, naš broj je 1100=8+4+0+0=12.
To jest, pri pomicanju na novu znamenku s lijeve strane, njegov značaj u binarnom sustavu množi se s 2, au decimalnom - s 10. Takav sustav ima jedan minus: prevelik je porast znamenke koje su potrebne za pisanje brojeva. Primjeri predstavljanja decimalnih brojeva kao binarnih brojeva mogu se pronaći u sljedećoj tablici.
Decimalni brojevi u binarnom obliku prikazani su ispod.
Također se koriste i oktalni i heksadecimalni sustavi.
Ova tajanstvena aritmetika
Što je aritmetika, "dvaput dva" ili neistražene misterije brojeva? Kao što možete vidjeti, aritmetika se na prvi pogled može činiti jednostavnom, ali njezina neočitana lakoća vara. Mogu ga učiti i djeca zajedno s tetom sovom izcrtani film "Aritmetika-beba", a možete se uroniti u duboko znanstveno istraživanje gotovo filozofskog reda. U povijesti je prošla put od brojanja predmeta do obožavanja ljepote brojeva. Samo se jedno pouzdano zna: uspostavljanjem osnovnih aritmetičkih postulata, sva se znanost može osloniti na svoje čvrsto rame.
