Matematika potječe iz antike. Zahvaljujući njoj, arhitektura, građevinarstvo i vojna znanost dale su novi krug razvoja, postignuća koja su dobivena uz pomoć matematike dovela su do kretanja napretka. Matematika je do danas glavna znanost koja se nalazi u svim ostalim granama.
Da bi se školovala, djeca od prvog razreda počinju se postupno spajati u ovu sredinu. Vrlo je važno razumjeti matematiku, jer se ona, u ovom ili onom stupnju, javlja svakoj osobi tijekom života. Ovaj članak će analizirati jedan od ključnih elemenata – pronalaženje i primjenu izvedenica. Ne može svaka osoba zamisliti koliko se široko koristi ovaj koncept. Razmotrite više od 10 primjena izvedenica u određenim područjima ili znanostima.
Primjena derivacije na proučavanje funkcije
Izvod je takva granicaomjer prirasta funkcije i prirasta njezina argumenta kada eksponent argumenta teži nuli. Izvod je nezamjenjiva stvar u proučavanju funkcije. Na primjer, može se koristiti za određivanje povećanja i smanjenja potonjeg, ekstrema, konveksnosti i konkavnosti. Diferencijalni račun je uključen u obvezni nastavni plan i program za studente 1. i 2. godine matematičkih sveučilišta.
Nule opsega i funkcije
Prva faza bilo kojeg proučavanja grafa počinje otkrivanjem domene definicije, u rijetkim slučajevima - vrijednosti. Domena definicije postavljena je duž apscisne osi, drugim riječima, to su numeričke vrijednosti na osi OX. Često je opseg već postavljen, ali ako nije, tada treba procijeniti vrijednost argumenta x. Pretpostavimo, ako za neke vrijednosti argumenta funkcija nema smisla, onda je ovaj argument isključen iz opsega.
Nule funkcije pronalaze se na jednostavan način: funkciju f(x) treba izjednačiti s nulom i rezultirajuću jednadžbu riješiti s obzirom na jednu varijablu x. Dobiveni korijeni jednadžbe su nule funkcije, odnosno u ovim x funkcija je 0.
Povećanje i smanjenje
Upotreba derivacije za proučavanje funkcija monotonosti može se razmotriti s dvije pozicije. Monotona funkcija je kategorija koja ima samo pozitivne vrijednosti derivacije, ili samo negativne vrijednosti. Jednostavnim riječima, funkcija se samo povećava ili samo smanjuje tijekom cijelog proučavanog intervala:
- Povećaj parametar. Funkcijaf(x) će se povećati ako je derivacija od f`(x) veća od nule.
- Silazni parametar. Funkcija f(x) će se smanjiti ako je derivacija od f`(x) manja od nule.
tangenta i nagib
Primjena derivacije na proučavanje funkcije također je određena tangentom (pravom usmjerenom pod kutom) na graf funkcije u danoj točki. Tangenta u točki (x0) - pravac koji prolazi kroz točku i pripada funkciji čije su koordinate (x0, f(x 0 )) i ima nagib f`(x0).
y=f(x0) + f`(x0)(x - x0) - jednadžba tangente na zadanu točku grafa funkcije.
Geometrijsko značenje derivacije: derivacija funkcije f(x) jednaka je nagibu formirane tangente na graf ove funkcije u danoj točki x. Kutni koeficijent je pak jednak tangentu kuta nagiba tangente na os OX (apscisu) u pozitivnom smjeru. Ova posljedica je temeljna za primjenu derivacije na graf funkcije.
Ekstremni bodovi
Primjena izvedenice na studiju uključuje pronalaženje visokih i niskih točaka.
Da biste pronašli i odredili minimalne i maksimalne bodove, morate:
- Pronađi derivaciju funkcije f(x).
- Postavite rezultirajuću jednadžbu na nulu.
- Pronađi korijene jednadžbe.
- Pronađi visoke i niske točke.
Za pronalaženje ekstremaznačajke:
- Pronađite minimalne i maksimalne bodove koristeći gornju metodu.
- Zamijenite ove točke u izvornu jednadžbu i izračunajte ymax i ymin
Maksimalna točka funkcije je najveća vrijednost funkcije f(x) na intervalu, drugim riječima xmax.
Minimalna točka funkcije je najmanja vrijednost funkcije f(x) na intervalu, drugim riječima xname
Ekstremum bodovi su isti kao maksimalni i minimalni bodovi, te ekstremu funkcije (ymax. i yminimum) - vrijednosti funkcije koje odgovaraju točkama ekstrema.
konveksnost i konkavnost
Možete odrediti konveksnost i konkavnost korištenjem izvedenice za crtanje:
- Funkcija f(x) ispitana na intervalu (a, b) je konkavna ako se funkcija nalazi ispod svih svojih tangenta unutar ovog intervala.
- Funkcija f(x) proučavana na intervalu (a, b) je konveksna ako se funkcija nalazi iznad svih svojih tangenta unutar ovog intervala.
Točka koja razdvaja konveksnost i konkavnost naziva se točka pregiba funkcije.
Da biste pronašli točke pregiba:
- Pronađi kritične točke druge vrste (druga izvedenica).
- Prevojne točke su one kritične točke koje razdvajaju dva suprotna znaka.
- Izračunajte vrijednosti funkcije u točkama infleksije funkcije.
Djelomični derivati
Prijavapostoje derivati ovog tipa u problemima gdje se koristi više od jedne nepoznate varijable. Najčešće se takve derivacije susreću pri crtanju grafa funkcije, točnije, površina u prostoru, gdje umjesto dvije osi postoje tri, dakle, tri veličine (dvije varijable i jedna konstanta).
Osnovno pravilo pri izračunu parcijalnih derivata je odabrati jednu varijablu, a ostale tretirati kao konstante. Stoga, kada se izračunava parcijalni izvod, konstanta postaje kao da je brojčana vrijednost (u mnogim tablicama derivacija one se označavaju kao C=const). Značenje takve derivacije je brzina promjene funkcije z=f(x, y) duž osi OX i OY, odnosno karakterizira strmine udubljenja i ispupčenja izgrađene površine.
Derivat u fizici
Upotreba izvedenice u fizici je raširena i važna. Fizičko značenje: derivacija puta s obzirom na vrijeme je brzina, a akceleracija je derivacija brzine s obzirom na vrijeme. Iz fizičkog značenja, mnoge grane se mogu povući u različite grane fizike, uz potpuno očuvanje značenja izvedenice.
Uz pomoć izvedenice nalaze se sljedeće vrijednosti:
- Brzina u kinematici, gdje se izračunava derivacija prijeđene udaljenosti. Ako se pronađe drugi izvod puta ili prvi izvod brzine, onda se nađe akceleracija tijela. Osim toga, moguće je pronaći trenutnu brzinu materijalne točke, ali za to je potrebno znati prirast ∆t i ∆r.
- U elektrodinamici:proračun trenutne jakosti izmjenične struje, kao i EMF elektromagnetske indukcije. Izračunavanjem izvedenice možete pronaći maksimalnu snagu. Derivat količine električnog naboja je jačina struje u vodiču.
Izvod iz kemije i biologije
Kemija: derivat se koristi za određivanje brzine kemijske reakcije. Kemijsko značenje derivacije: funkcija p=p(t), u ovom slučaju p je količina tvari koja ulazi u kemijsku reakciju u vremenu t. ∆t - vremenski prirast, ∆p - prirast količine tvari. Granica omjera ∆p prema ∆t, na kojoj ∆t teži nuli, naziva se brzina kemijske reakcije. Prosječna vrijednost kemijske reakcije je omjer ∆p/∆t. Prilikom određivanja brzine potrebno je točno poznavati sve potrebne parametre, uvjete, poznavati agregatno stanje tvari i protočnog medija. Ovo je prilično velik aspekt u kemiji, koji se naširoko koristi u raznim industrijama i ljudskim aktivnostima.
Biologija: koncept derivata koristi se za izračunavanje prosječne stope reprodukcije. Biološko značenje: imamo funkciju y=x(t). ∆t - vremenski prirast. Zatim, uz pomoć nekih transformacija, dobivamo funkciju y`=P(t)=x`(t) - vitalnu aktivnost populacije u vremenu t (prosječna stopa reprodukcije). Ova upotreba izvedenice omogućuje vam vođenje statistike, praćenje stope reprodukcije i tako dalje.
Izvod iz geografije i ekonomije
Izvod omogućuje geografima da odlučujuzadaci kao što su pronalaženje populacije, izračunavanje vrijednosti u seizmografiji, izračun radioaktivnosti nuklearnih geofizičkih indikatora, izračunavanje interpolacije.
U ekonomiji, važan dio izračuna je diferencijalni račun i izračun derivacije. Prije svega, to nam omogućuje da odredimo granice potrebnih ekonomskih vrijednosti. Na primjer, najveća i najniža produktivnost rada, troškovi, profit. U osnovi, ove vrijednosti se izračunavaju iz grafova funkcija, gdje pronalaze ekstreme, određuju monotonost funkcije u željenom području.
Zaključak
Uloga ovog diferencijalnog računa uključena je, kao što je navedeno u članku, u različitim znanstvenim strukturama. Upotreba derivativnih funkcija važan je element u praktičnom dijelu znanosti i proizvodnje. Nije slučajno da su nas u srednjoj školi i na sveučilištu učili graditi složene grafove, istraživati i raditi na funkcijama. Kao što vidite, bez izvedenica i diferencijalnih izračuna bilo bi nemoguće izračunati vitalne pokazatelje i količine. Čovječanstvo je naučilo modelirati različite procese i istraživati ih, rješavati složene matematičke probleme. Doista, matematika je kraljica svih znanosti, jer je ta znanost u osnovi svih drugih prirodnih i tehničkih disciplina.
