Fourierov red je prikaz proizvoljno uzete funkcije s određenim razdobljem kao niz. Općenito, ovo rješenje naziva se dekompozicija elementa u ortogonalnoj bazi. Proširenje funkcija u Fourierov niz prilično je moćan alat za rješavanje raznih problema zbog svojstava ove transformacije pri integraciji, diferenciranju, kao i pomicanju izraza u argumentu i konvoluciji.
Osoba koja nije upoznata s višom matematikom, kao ni s radovima francuskog znanstvenika Fouriera, najvjerojatnije neće razumjeti što su i čemu služe ovi "redovi". U međuvremenu, ova transformacija postala je prilično gusta u našim životima. Koriste ga ne samo matematičari, već i fizičari, kemičari, liječnici, astronomi, seizmolozi, oceanografi i mnogi drugi. Pogledajmo pobliže radove velikog francuskog znanstvenika, koji je došao do otkrića ispred svog vremena.
Čovjek i Fourierova transformacija
Fourierovi redovi su jedna od metoda (uz analizu i druge) Fourierove transformacije. Ovaj se proces događa svaki put kada osoba čuje zvuk. Naše uho automatski pretvara zvukvalovi. Oscilatorna kretanja elementarnih čestica u elastičnom mediju razlažu se u redove (duž spektra) uzastopnih vrijednosti razine glasnoće za tonove različite visine. Zatim, mozak pretvara te podatke u zvukove koji su nam poznati. Sve se to događa pored naše želje ili svijesti, samo od sebe, ali da bismo razumjeli te procese, trebat će nekoliko godina za proučavanje više matematike.
Više o Fourierovoj transformaciji
Fourierova transformacija može se provesti analitičkim, numeričkim i drugim metodama. Fourierovi redovi odnose se na numerički način razlaganja bilo kakvih oscilatornih procesa - od oceanskih plime i svjetlosnih valova do ciklusa aktivnosti Sunca (i drugih astronomskih objekata). Koristeći ove matematičke tehnike, moguće je analizirati funkcije, predstavljajući sve oscilatorne procese kao niz sinusoidnih komponenti koje idu od minimuma do maksimuma i obrnuto. Fourierova transformacija je funkcija koja opisuje fazu i amplitudu sinusoida koje odgovaraju određenoj frekvenciji. Ovaj proces se može koristiti za rješavanje vrlo složenih jednadžbi koje opisuju dinamičke procese koji nastaju pod utjecajem toplinske, svjetlosne ili električne energije. Također, Fourierovi nizovi omogućuju izolaciju konstantnih komponenti u složenim oscilatornim signalima, što je omogućilo ispravnu interpretaciju dobivenih eksperimentalnih opažanja u medicini, kemiji i astronomiji.
Povijesna pozadina
Osnivač ove teorijeJean Baptiste Joseph Fourier je francuski matematičar. Ova transformacija je naknadno nazvana po njemu. U početku je znanstvenik primijenio svoju metodu kako bi proučio i objasnio mehanizme provođenja topline – širenja topline u krutim tvarima. Fourier je sugerirao da se početna nepravilna raspodjela toplinskog vala može razložiti na najjednostavnije sinusoide, od kojih će svaka imati svoj temperaturni minimum i maksimum, kao i svoju fazu. U tom će se slučaju svaka takva komponenta mjeriti od minimuma do maksimuma i obrnuto. Matematička funkcija koja opisuje gornji i donji vrh krivulje, kao i fazu svakog od harmonika, naziva se Fourierova transformacija izraza raspodjele temperature. Autor teorije sveo je opću funkciju distribucije, koju je teško matematički opisati, na vrlo jednostavan niz periodičnih kosinusnih i sinusnih funkcija koje zbrajaju izvornu distribuciju.
Načelo transformacije i pogledi suvremenika
Suvremenici znanstvenika - vodeći matematičari ranog devetnaestog stoljeća - nisu prihvatili ovu teoriju. Glavni prigovor bila je Fourierova tvrdnja da se diskontinuirana funkcija koja opisuje ravnu liniju ili diskontinuiranu krivulju može predstaviti kao zbroj sinusoidnih izraza koji su kontinuirani. Kao primjer, razmotrite Heavisideov "korak": njegova je vrijednost nula lijevo od jaza i jedan desno. Ova funkcija opisuje ovisnost električne struje o vremenskoj varijabli kada je krug zatvoren. Suvremenici tadašnje teorije nikada se nisu susreli s takvimsituacija u kojoj bi se diskontinuirani izraz opisao kombinacijom kontinuiranih, običnih funkcija, kao što su eksponencijalne, sinusoidne, linearne ili kvadratne.
Što je zbunilo francuske matematičare u Fourierovoj teoriji?
Uostalom, ako je matematičar bio u pravu u svojim izjavama, onda zbrajanjem beskonačnog trigonometrijskog Fourierovog niza, možete dobiti točan prikaz koraka izraza čak i ako ima mnogo sličnih koraka. Početkom devetnaestog stoljeća takva se izjava činila apsurdnom. No, unatoč svim sumnjama, mnogi matematičari proširili su opseg proučavanja ovog fenomena, izvodeći ga izvan opsega studija toplinske vodljivosti. Međutim, većina znanstvenika nastavila je mučiti oko pitanja: "Može li se zbroj sinusoidnog niza konvergirati s točnom vrijednošću diskontinuirane funkcije?"
Konvergencija Fourierovog niza: primjer
Pitanje konvergencije postavlja se kad god je potrebno zbrojiti beskonačne nizove brojeva. Da biste razumjeli ovaj fenomen, razmotrite klasični primjer. Možete li ikada doći do zida ako je svaki sljedeći korak upola manji od prethodnog? Pretpostavimo da ste dva metra od cilja, prvi korak vas dovodi bliže polovici, sljedeći do tri četvrtine, a nakon petog ćete preći gotovo 97 posto puta. Međutim, koliko god koraka napravili, nećete postići željeni cilj u strogom matematičkom smislu. Pomoću numeričkih izračuna može se dokazati da se na kraju može približiti koliko god hoće.mala određena udaljenost. Ovaj dokaz je ekvivalentan dokazivanju da će zbroj vrijednosti jedne polovice, jedne četvrtine itd. težiti jedan.
Pitanje konvergencije: Drugi dolazak, ili uređaj Lorda Kelvina
Ovo se pitanje opetovano postavljalo na kraju devetnaestog stoljeća, kada se pokušalo koristiti Fourierove serije za predviđanje intenziteta oseke i oseke. U to vrijeme, Lord Kelvin je izumio uređaj, koji je analogni računalni uređaj koji je mornarima vojne i trgovačke flote omogućio praćenje ovog prirodnog fenomena. Ovaj mehanizam određivao je skupove faza i amplituda iz tablice visina plime i oseke i njihovih odgovarajućih vremenskih trenutaka, pažljivo mjerenih u određenoj luci tijekom godine. Svaki parametar bio je sinusoidna komponenta izraza visine plime i bila je jedna od redovitih komponenti. Rezultati mjerenja uneseni su u kalkulator Lorda Kelvina koji je sintetizirao krivulju koja je predviđala visinu vode kao funkciju vremena za sljedeću godinu. Vrlo brzo su nacrtane slične krivulje za sve luke svijeta.
A ako je proces prekinut diskontinuiranom funkcijom?
U to se vrijeme činilo očitim da bi prediktor plimnih valova s velikim brojem elemenata za brojanje mogao izračunati veliki broj faza i amplituda i tako dati točnija predviđanja. Ipak, pokazalo se da se ta pravilnost ne uočava u slučajevima kada je plimni izraz, koji slijedisintetizirati, sadržavao je oštar skok, odnosno bio je diskontinuiran. U slučaju da se u uređaj unose podaci iz tablice vremenskih trenutaka, tada on izračunava nekoliko Fourierovih koeficijenata. Izvorna funkcija je obnovljena zahvaljujući sinusoidnim komponentama (prema pronađenim koeficijentima). Nesklad između izvornog i obnovljenog izraza može se izmjeriti u bilo kojoj točki. Kod ponovljenih proračuna i usporedbi može se vidjeti da se vrijednost najveće pogreške ne smanjuje. Međutim, oni su lokalizirani u području koje odgovara točki diskontinuiteta i teže nuli u bilo kojoj drugoj točki. Godine 1899., ovaj rezultat je teoretski potvrdio Joshua Willard Gibbs sa Sveučilišta Yale.
Konvergencija Fourierovih redova i razvoj matematike općenito
Fourierova analiza nije primjenjiva na izraze koji sadrže beskonačan broj rafala u određenom intervalu. Općenito, Fourierovi redovi, ako je izvorna funkcija rezultat stvarnog fizičkog mjerenja, uvijek konvergiraju. Pitanja konvergencije ovog procesa za specifične klase funkcija dovela su do pojave novih odjeljaka u matematici, na primjer, teorije generaliziranih funkcija. Povezuje se s takvim imenima kao što su L. Schwartz, J. Mikusinsky i J. Temple. U okviru ove teorije stvorena je jasna i precizna teorijska osnova za takve izraze kao što su Diracova delta funkcija (opisuje područje jednog područja koncentrirano u beskonačno malom susjedstvu točke) i Heaviside " korak". Zahvaljujući ovom radu, Fourierov niz postao je primjenjiv narješavanje jednadžbi i problema koji uključuju intuitivne koncepte: točkasti naboj, točkasta masa, magnetski dipoli, kao i koncentrirano opterećenje na snopu.
Fourierova metoda
Fourierovi redovi, u skladu s principima interferencije, počinju razlaganjem složenih oblika na jednostavnije. Na primjer, promjena toka topline objašnjava se njegovim prolaskom kroz razne prepreke od nepravilno oblikovanog toplinskoizolacijskog materijala ili promjenom površine zemlje - potresom, promjenom putanje nebeskog tijela - utjecajem planete. U pravilu se slične jednadžbe koje opisuju jednostavne klasične sustave elementarno rješavaju za svaki pojedini val. Fourier je pokazao da se jednostavna rješenja također mogu zbrojiti kako bi se dobila rješenja za složenije probleme. Jezikom matematike, Fourierov red je tehnika za predstavljanje izraza kao zbroj harmonika – kosinusa i sinusoida. Stoga je ova analiza poznata i kao "harmonička analiza".
Fourierova serija - idealna tehnika prije "kompjuterskog doba"
Prije stvaranja računalne tehnologije, Fourierova tehnika je bila najbolje oružje u arsenalu znanstvenika kada su radili s valnom prirodom našeg svijeta. Fourierov niz u složenom obliku omogućuje rješavanje ne samo jednostavnih problema koji se mogu izravno primijeniti na zakone Newtonove mehanike, već i temeljnih jednadžbi. Većina otkrića Newtonove znanosti u devetnaestom stoljeću bila je moguća samo Fourierovom tehnikom.
Fourierova serija danas
Razvoj računala Fourierove transformacijepodignuta na potpuno novu razinu. Ova tehnika je čvrsto ukorijenjena u gotovo svim područjima znanosti i tehnologije. Primjer je digitalni audio i video signal. Njegovo ostvarenje postalo je moguće samo zahvaljujući teoriji koju je razvio francuski matematičar početkom devetnaestog stoljeća. Dakle, Fourierov niz u složenom obliku omogućio je iskorak u proučavanju svemira. Osim toga, utjecao je na proučavanje fizike poluvodičkih materijala i plazme, mikrovalne akustike, oceanografije, radara, seizmologije.
Trigonometrijski Fourierov niz
U matematici, Fourierov niz je način predstavljanja proizvoljnih složenih funkcija kao zbroja jednostavnijih. U općim slučajevima, broj takvih izraza može biti beskonačan. Štoviše, što se njihov broj više uzima u obzir u izračunu, to je točniji konačni rezultat. Najčešće se kao najjednostavnije koriste trigonometrijske funkcije kosinusa ili sinusa. U ovom slučaju Fourierovi redovi se nazivaju trigonometrijski, a rješenje takvih izraza nazivamo proširenje harmonika. Ova metoda igra važnu ulogu u matematici. Prije svega, trigonometrijski niz pruža sredstvo za sliku, kao i proučavanje funkcija, glavni je aparat teorije. Osim toga, omogućuje rješavanje niza problema matematičke fizike. Konačno, ova teorija pridonijela je razvoju matematičke analize, iznjedrila niz vrlo važnih dijelova matematičke znanosti (teorija integrala, teorija periodičnih funkcija). Osim toga, poslužila je kao polazište za razvoj sljedećih teorija: skupovi, funkcijestvarna varijabla, funkcionalna analiza, a također je postavio temelj za harmonijsku analizu.
