Fourierova transformacija je transformacija koja uspoređuje funkcije neke stvarne varijable. Ova operacija se izvodi svaki put kada percipiramo različite zvukove. Uho obavlja automatsku "kalkulaciju", koju je naša svijest sposobna izvesti tek nakon proučavanja odgovarajućeg dijela više matematike. Ljudski organ sluha gradi transformaciju, uslijed koje se zvuk (oscilatorno gibanje uvjetnih čestica u elastičnom mediju koje se šire u obliku vala u čvrstom, tekućem ili plinovitom mediju) dobiva u obliku spektra uzastopnih vrijednosti. razine glasnoće tonova različitih visina. Nakon toga, mozak pretvara ovu informaciju u zvuk poznat svima.
Matematička Fourierova transformacija
Transformacija zvučnih valova ili drugih oscilatornih procesa (od svjetlosnog zračenja i oceanske plime do ciklusa zvjezdane ili sunčeve aktivnosti) također se može izvesti pomoću matematičkih metoda. Dakle, korištenjem ovih tehnika moguće je dekomponirati funkcije predstavljanjem oscilatornih procesa kao skup sinusoidnih komponenti, odnosno valovitih krivulja kojeići s niskog na visoko, pa natrag na nisko, kao morski val. Fourierova transformacija - transformacija čija funkcija opisuje fazu ili amplitudu svake sinusoide koja odgovara određenoj frekvenciji. Faza je početna točka krivulje, a amplituda njezina visina.
Fourierova transformacija (primjeri su prikazani na fotografiji) vrlo je moćan alat koji se koristi u raznim područjima znanosti. U nekim slučajevima se koristi kao sredstvo za rješavanje prilično složenih jednadžbi koje opisuju dinamičke procese koji se javljaju pod utjecajem svjetlosti, toplinske ili električne energije. U drugim slučajevima, omogućuje vam da odredite pravilne komponente u složenim oscilatornim signalima, zahvaljujući kojima možete ispravno interpretirati različita eksperimentalna opažanja u kemiji, medicini i astronomiji.
Povijesna pozadina
Prva osoba koja je primijenila ovu metodu bio je francuski matematičar Jean Baptiste Fourier. Transformacija, kasnije nazvana po njemu, izvorno je korištena za opisivanje mehanizma provođenja topline. Fourier je cijeli svoj odrasli život proveo proučavajući svojstva topline. Dao je ogroman doprinos matematičkoj teoriji određivanja korijena algebarskih jednadžbi. Fourier je bio profesor analize na Politehničkoj školi, tajnik Instituta za egiptologiju, bio je u carskoj službi, gdje se istaknuo tijekom izgradnje ceste za Torino (pod njegovim vodstvom više od 80 tisuća četvornih kilometara malarijemočvare). Međutim, sva ta energična aktivnost nije spriječila znanstvenika da se bavi matematičkom analizom. Godine 1802. izveo je jednadžbu koja opisuje širenje topline u čvrstim tvarima. Znanstvenik je 1807. otkrio metodu za rješavanje ove jednadžbe, koja se zvala "Fourierova transformacija".
Analiza toplinske vodljivosti
Znanstvenik je primijenio matematičku metodu da opiše mehanizam provođenja topline. Zgodan primjer, u kojem nema poteškoća u proračunu, je širenje toplinske energije kroz željezni prsten uronjen jednim dijelom u vatru. Za pokuse Fourier je zagrijao dio ovog prstena užareno i zakopao ga u fini pijesak. Nakon toga je izmjerio temperaturu na suprotnoj strani. U početku je distribucija topline nepravilna: dio prstena je hladan, a drugi vruć; između ovih zona može se uočiti oštar temperaturni gradijent. Međutim, u procesu širenja topline po cijeloj površini metala, postaje ujednačeniji. Dakle, uskoro ovaj proces poprima oblik sinusoida. U početku, graf se glatko povećava i također glatko smanjuje, točno prema zakonima promjene kosinusne ili sinusne funkcije. Val se postupno izravnava i kao rezultat toga temperatura postaje ista na cijeloj površini prstena.
Autor ove metode sugerirao je da se početna nepravilna distribucija može razložiti na nekoliko elementarnih sinusoida. Svaki od njih imat će svoju fazu (početni položaj) i svoju temperaturumaksimum. Štoviše, svaka takva komponenta mijenja se od minimuma do maksimuma i natrag na potpunoj revoluciji oko prstena cijeli broj puta. Komponenta s jednom točkom zvala se temeljni harmonik, a vrijednost s dvije ili više perioda zvala se druga i tako dalje. Dakle, matematička funkcija koja opisuje temperaturni maksimum, fazu ili položaj naziva se Fourierova transformacija funkcije distribucije. Znanstvenik je jednu komponentu, koju je teško matematički opisati, sveo na alat koji je jednostavan za korištenje - kosinusni i sinusni niz, koji se zbrajaju da bi dali izvornu distribuciju.
Suština analize
Primjenjujući ovu analizu na transformaciju širenja topline kroz čvrsti objekt koji ima prstenasti oblik, matematičar je zaključio da bi povećanje perioda sinusoidne komponente dovelo do njezina brzog raspada. To se jasno vidi u temeljnom i drugom harmoniku. U potonjem, temperatura doseže maksimalnu i minimalnu vrijednost dva puta u jednom prolazu, au prvom samo jednom. Ispada da će udaljenost koju pokriva toplina u drugom harmoniku biti upola manja u osnovnom. Osim toga, nagib u drugom će također biti dvostruko strmiji nego u prvom. Stoga, budući da intenzivniji toplinski tok putuje dvostruko kraću udaljenost, ovaj će se harmonik raspasti četiri puta brže od temeljnog kao funkcija vremena. U budućnosti će ovaj proces biti još brži. Matematičar je vjerovao da ova metoda omogućuje izračunavanje procesa početne raspodjele temperature tijekom vremena.
Izazov suvremenicima
Algoritam Fourierove transformacije doveo je u pitanje teorijske osnove matematike tog vremena. Početkom devetnaestog stoljeća većina istaknutih znanstvenika, uključujući Lagrangea, Laplacea, Poissona, Legendrea i Biota, nije prihvatila njegovu tvrdnju da se početna raspodjela temperature razlaže na komponente u obliku temeljnog harmonika i viših frekvencija. Međutim, Akademija znanosti nije mogla zanemariti rezultate matematičara, te mu je dodijelila nagradu za teoriju zakona provođenja topline, kao i usporedbu s fizičkim eksperimentima. U Fourierovom pristupu glavni je prigovor bio činjenica da je diskontinuirana funkcija predstavljena zbrojem nekoliko sinusoidnih funkcija koje su kontinuirane. Uostalom, oni opisuju rastrgane ravne i zakrivljene linije. Suvremenici znanstvenika nikada se nisu susreli sa sličnom situacijom, kada su diskontinuirane funkcije opisane kombinacijom kontinuiranih, kao što su kvadratne, linearne, sinusoidne ili eksponencijalne. U slučaju da je matematičar bio u pravu u svojim izjavama, onda zbroj beskonačnog niza trigonometrijske funkcije treba svesti na točan postupno. Tada se takva izjava činila apsurdnom. No, unatoč sumnjama, neki istraživači (npr. Claude Navier, Sophie Germain) proširili su opseg istraživanja i odveli ih dalje od analize raspodjele toplinske energije. U međuvremenu, matematičari su se nastavili boriti s pitanjem može li se zbroj nekoliko sinusoidnih funkcija svesti na točan prikaz jedne diskontinuirane.
200 godinapovijest
Ova teorija je evoluirala tijekom dva stoljeća, danas se konačno formirala. Uz njegovu pomoć, prostorne ili vremenske funkcije podijeljene su na sinusne komponente, koje imaju svoju frekvenciju, fazu i amplitudu. Ova se transformacija dobiva pomoću dvije različite matematičke metode. Prvi od njih se koristi kada je izvorna funkcija kontinuirana, a drugi - kada je predstavljena skupom diskretnih pojedinačnih promjena. Ako se izraz dobije iz vrijednosti koje su definirane diskretnim intervalima, onda se može podijeliti na nekoliko sinusoidnih izraza s diskretnim frekvencijama - od najniže, a zatim dvaput, tri puta i tako dalje od glavne. Takav zbroj naziva se Fourierov red. Ako se početnom izrazu zada vrijednost za svaki realni broj, onda se može rastaviti na nekoliko sinusoida svih mogućih frekvencija. Obično se naziva Fourierov integral, a rješenje podrazumijeva integralne transformacije funkcije. Bez obzira na to kako se pretvorba postiže, za svaku frekvenciju moraju biti navedena dva broja: amplituda i frekvencija. Ove vrijednosti su izražene kao jedan kompleksni broj. Teorija izraza složenih varijabli, zajedno s Fourierovom transformacijom, omogućila je izvođenje proračuna u projektiranju različitih električnih krugova, analizu mehaničkih vibracija, proučavanje mehanizma širenja valova i drugo.
Fourierova transformacija danas
Danas se proučavanje ovog procesa uglavnom svodi na pronalaženje učinkovitostimetode prijelaza iz funkcije u njezin transformirani oblik i obrnuto. Ovo rješenje naziva se izravna i inverzna Fourierova transformacija. Što to znači? Da bi se odredio integral i proizvela izravna Fourierova transformacija, mogu se koristiti matematičke ili analitičke metode. Unatoč činjenici da se pri njihovoj primjeni u praksi javljaju određene poteškoće, većina integrala je već pronađena i uključena u matematičke priručnike. Numeričke metode mogu se koristiti za izračunavanje izraza čiji se oblik temelji na eksperimentalnim podacima ili funkcija čiji integrali nisu dostupni u tablicama i teško ih je predstaviti u analitičkom obliku.
Prije pojave računala, izračuni ovakvih transformacija bili su vrlo zamorni, zahtijevali su ručno izvođenje velikog broja aritmetičkih operacija, koje su ovisile o broju točaka koje opisuju valnu funkciju. Kako bi se olakšali izračuni, danas postoje posebni programi koji su omogućili implementaciju novih analitičkih metoda. Tako su 1965. James Cooley i John Tukey stvorili softver koji je postao poznat kao "Fast Fourier Transform". Omogućuje vam uštedu vremena za izračune smanjenjem broja množenja u analizi krivulje. Metoda brze Fourierove transformacije temelji se na podjeli krivulje na veliki broj ujednačenih vrijednosti uzorka. Sukladno tome, broj množenja se prepolovi s istim smanjenjem broja bodova.
Primjena Fourierove transformacije
Ovoproces se koristi u raznim područjima znanosti: u teoriji brojeva, fizici, obradi signala, kombinatorici, teoriji vjerojatnosti, kriptografiji, statistici, oceanologiji, optici, akustici, geometriji i dr. Bogate mogućnosti njegove primjene temelje se na nizu korisnih svojstava, koje se nazivaju "svojstva Fourierove transformacije". Razmotrite ih.
1. Transformacija funkcije je linearni operator i, uz odgovarajuću normalizaciju, je unitarna. Ovo svojstvo poznato je kao Parsevalov teorem, ili općenito Plancherelov teorem, ili Pontryaginov dualizam.
2. Transformacija je reverzibilna. Štoviše, obrnuti rezultat ima gotovo isti oblik kao u izravnom rješenju.
3. Sinusoidni bazni izrazi su vlastite diferencirane funkcije. To znači da takav prikaz mijenja linearne jednadžbe s konstantnim koeficijentom u obične algebarske.
4. Prema teoremu "konvolucije", ovaj proces pretvara složenu operaciju u elementarno množenje.
5. Diskretna Fourierova transformacija može se brzo izračunati na računalu korištenjem "brze" metode.
Varieti Fourierove transformacije
1. Najčešće se ovaj izraz koristi za označavanje kontinuirane transformacije koja daje bilo koji kvadratno integribilni izraz kao zbroj složenih eksponencijalnih izraza s određenim kutnim frekvencijama i amplitudama. Ova vrsta ima nekoliko različitih oblika, koji mogurazlikuju po konstantnim koeficijentima. Kontinuirana metoda uključuje tablicu pretvorbe koja se može naći u matematičkim referencama. Generalizirani slučaj je frakcijska transformacija, pomoću koje se zadani proces može podići na traženu stvarnu snagu.
2. Kontinuirani način rada je generalizacija rane tehnike Fourierovih redova definiranih za različite periodične funkcije ili izraze koji postoje u ograničenom području i predstavljaju ih kao niz sinusoida.
3. Diskretna Fourierova transformacija. Ova metoda se koristi u računalnoj tehnologiji za znanstvene izračune i za digitalnu obradu signala. Za izvođenje ove vrste proračuna potrebno je imati funkcije koje definiraju pojedinačne točke, periodična ili ograničena područja na diskretnom skupu umjesto kontinuiranih Fourierovih integrala. Transformacija signala u ovom slučaju je predstavljena kao zbroj sinusoida. Istodobno, korištenje "brze" metode omogućuje primjenu diskretnih rješenja na sve praktične probleme.
4. Fourierova transformacija s prozorima je generalizirani oblik klasične metode. Za razliku od standardnog rješenja, kada se koristi spektar signala, koji se uzima u punom rasponu postojanja dane varijable, ovdje je od posebnog interesa samo lokalna frekvencijska raspodjela, pod uvjetom da je sačuvana izvorna varijabla (vrijeme)..
5. Dvodimenzionalna Fourierova transformacija. Ova metoda se koristi za rad s dvodimenzionalnim nizovima podataka. U ovom slučaju, prvo se transformacija izvodi u jednom smjeru, a zatim uostalo.
Zaključak
Danas je Fourierova metoda čvrsto ukorijenjena u raznim područjima znanosti. Na primjer, 1962. godine otkriven je oblik dvostruke spirale DNK korištenjem Fourierove analize u kombinaciji s rendgenskom difrakcijom. Potonji su bili fokusirani na kristale DNA vlakana, pa je slika dobivena difrakcijom zračenja snimljena na film. Ova slika je dala informaciju o vrijednosti amplitude kada se koristi Fourierova transformacija za danu kristalnu strukturu. Fazni podaci dobiveni su usporedbom difrakcijske karte DNA s mapama dobivenim analizom sličnih kemijskih struktura. Kao rezultat toga, biolozi su obnovili kristalnu strukturu - izvornu funkciju.
Fourierove transformacije igraju veliku ulogu u proučavanju svemira, fizike poluvodiča i plazme, mikrovalne akustike, oceanografije, radara, seizmologije i medicinskih istraživanja.
