Aksiomatska metoda je način izgradnje znanstvenih teorija koje su već uspostavljene. Temelji se na argumentima, činjenicama, izjavama koje ne zahtijevaju dokaz ili pobijanje. Zapravo, ova verzija znanja predstavljena je u obliku deduktivne strukture, koja u početku uključuje logičku potkrepu sadržaja iz osnova - aksioma.
Ova metoda ne može biti otkriće, već je samo koncept klasifikacije. Prikladnije je za nastavu. Osnova sadrži početne odredbe, a ostali podaci slijede kao logična posljedica. Gdje je aksiomatska metoda izgradnje teorije? Leži u srži većine modernih i etabliranih znanosti.
Formiranje i razvoj koncepta aksiomatske metode, definicija riječi
Prije svega, ovaj koncept je nastao u staroj Grčkoj zahvaljujući Euklidu. Postao je utemeljitelj aksiomatske metode u geometriji. Danas je to uobičajeno u svim znanostima, ali najviše u matematici. Ova metoda se formira na temelju utvrđenih tvrdnji, a naknadne teorije izvedene su logičkom konstrukcijom.
Ovo se objašnjava na sljedeći način: postoje riječi i pojmovi kojidefiniran drugim pojmovima. Kao rezultat toga, istraživači su došli do zaključka da postoje elementarni zaključci koji su opravdani i konstantni - osnovni, odnosno aksiomi. Na primjer, kada dokazuju teorem, obično se oslanjaju na činjenice koje su već dobro utvrđene i ne zahtijevaju pobijanje.
Međutim, prije toga ih je trebalo potkrijepiti. U tom procesu ispada da se nerazumna izjava uzima kao aksiom. Na temelju skupa konstantnih koncepata dokazuju se i drugi teoremi. Oni čine osnovu planimetrije i logička su struktura geometrije. Utemeljeni aksiomi u ovoj znanosti definirani su kao objekti bilo koje prirode. Oni pak imaju svojstva koja su specificirana u konstantnim konceptima.
Daljnje istraživanje aksioma
Metoda se smatrala idealnom sve do devetnaestog stoljeća. Logička sredstva traženja osnovnih pojmova u to vrijeme nisu proučavana, ali se u Euklidovom sustavu može promatrati struktura dobivanja smislenih posljedica iz aksiomatske metode. Znanstveno istraživanje pokazalo je ideju kako doći do cjelovitog sustava geometrijskog znanja utemeljenog na čisto deduktivnom putu. Ponuđen im je relativno mali broj potvrđenih aksioma koji su dokazivo istiniti.
Zasluge starogrčkih umova
Euklid je dokazao mnoge koncepte, a neki od njih bili su opravdani. Međutim, većina te zasluge pripisuje Pitagori, Demokritu i Hipokratu. Potonji je sastavio potpuni tečaj geometrije. Istina, kasnije u Aleksandriji izašaozbirka "Početak", čiji je autor bio Euklid. Zatim je preimenovana u "Elementarna geometrija". Nakon nekog vremena počeli su ga kritizirati iz nekih razloga:
- sve vrijednosti izgrađene su samo s ravnalom i šestarom;
- geometrija i aritmetika su odvojene i dokazane valjanim brojevima i pojmovima;
- aksiomi, neki od njih, posebice peti postulat, predloženi su za brisanje s opće liste.
Kao rezultat toga, u 19. stoljeću pojavljuje se neeuklidska geometrija u kojoj nema objektivno istinitog postulata. Ova akcija dala je poticaj daljnjem razvoju geometrijskog sustava. Tako su matematički istraživači došli do deduktivnih metoda konstrukcije.
Razvoj matematičkog znanja na temelju aksioma
Kada se počeo razvijati novi sustav geometrije, promijenila se i aksiomatska metoda. U matematici su se sve češće počeli okretati čisto deduktivnoj teorijskoj konstrukciji. Kao rezultat toga, u modernoj numeričkoj logici nastao je cijeli sustav dokaza, koji je glavni dio cijele znanosti. U matematičkoj strukturi počeo je shvaćati potrebu za opravdanjem.
Tako su do kraja stoljeća formirani jasni zadaci i konstrukcija složenih pojmova koji su se iz složenog teorema sveli na najjednostavniji logički iskaz. Tako je neeuklidska geometrija potaknula čvrste temelje za daljnje postojanje aksiomatske metode, kao i za rješavanje problema opće prirode.matematičke konstrukcije:
- dosljednost;
- punina;
- nezavisnost.
U tom procesu pojavila se i uspješno razvijena metoda interpretacije. Ova metoda je opisana na sljedeći način: za svaki izlazni koncept u teoriji postavlja se matematički objekt čija se ukupnost naziva polje. Izjava o navedenim elementima može biti lažna ili istinita. Kao rezultat toga, izjave se imenuju ovisno o zaključcima.
Obilježja teorije interpretacije
U pravilu se polje i svojstva također razmatraju u matematičkom sustavu, a on zauzvrat može postati aksiomatičan. Tumačenje dokazuje tvrdnje u kojima postoji relativna dosljednost. Dodatna opcija je niz činjenica u kojima teorija postaje kontradiktorna.
Zapravo, uvjet je u nekim slučajevima ispunjen. Kao rezultat toga, ispada da ako postoje dva lažna ili istinita koncepta u izjavama jedne od izjava, onda se ona smatra negativnim ili pozitivnim. Ova metoda je korištena za dokazivanje konzistentnosti Euklidove geometrije. Interpretativnom metodom može se riješiti pitanje neovisnosti sustava aksioma. Ako trebate opovrgnuti bilo koju teoriju, onda je dovoljno dokazati da jedan od koncepata nije izveden iz drugog i da je pogrešan.
Međutim, uz uspješne izjave, metoda ima i slabosti. Konzistentnost i neovisnost sustava aksioma rješavaju se kao pitanja koja daju rezultate koji su relativni. Jedino važno postignuće interpretacije jeotkriće uloge aritmetike kao strukture u kojoj se pitanje konzistentnosti svodi na niz drugih znanosti.
Moderni razvoj aksiomatske matematike
Aksiomatska metoda počela se razvijati u Gilbertovom djelu. U njegovoj školi razjašnjen je sam pojam teorije i formalnog sustava. Kao rezultat toga, nastao je opći sustav, a matematički objekti postali su precizni. Osim toga, postalo je moguće riješiti pitanja opravdanosti. Dakle, formalni sustav je konstruiran pomoću točne klase, koja sadrži podsustave formula i teorema.
Da biste izgradili ovu strukturu, trebate se voditi samo tehničkom praktičnošću, jer nemaju semantičko opterećenje. Mogu biti ispisani znakovima, simbolima. Naime, sam sustav je izgrađen na način da se formalna teorija može adekvatno i u potpunosti primijeniti.
Kao rezultat toga, određeni matematički cilj ili zadatak se ulijeva u teoriju temeljenu na činjeničnom sadržaju ili deduktivnom zaključivanju. Jezik numeričke znanosti prenosi se u formalni sustav, pri čemu se svaki konkretan i smislen izraz određuje formulom.
Metoda formalizacije
U prirodnom stanju stvari, takva metoda će moći riješiti takva globalna pitanja kao što je dosljednost, kao i izgraditi pozitivnu bit matematičkih teorija prema izvedenim formulama. A u osnovi sve će se to riješiti formalnim sustavom temeljenim na provjerenim izjavama. Matematičke teorije stalno su se komplicirale opravdanjima, iGilbert je predložio istraživanje ove strukture korištenjem konačnih metoda. Ali ovaj program nije uspio. Gödelovi rezultati već u dvadesetom stoljeću doveli su do sljedećih zaključaka:
- prirodna dosljednost je nemoguća zbog činjenice da će formalizirana aritmetika ili druga slična znanost iz ovog sustava biti nepotpuna;
- pojavile su se nerješive formule;
- tvrdnje su nedokazive.
Istinite prosudbe i razumna konačna završna obrada smatraju se formalizacijskim. Imajući to na umu, aksiomatska metoda ima određene i jasne granice i mogućnosti unutar ove teorije.
Rezultati razvoja aksioma u djelima matematičara
Unatoč činjenici da su neki sudovi opovrgnuti i nisu pravilno razvijeni, metoda konstantnih pojmova igra značajnu ulogu u oblikovanju temelja matematike. Osim toga, interpretacija i aksiomatska metoda u znanosti otkrile su temeljne rezultate konzistentnosti, neovisnosti tvrdnji izbora i hipoteza u višestrukoj teoriji.
U rješavanju pitanja dosljednosti, glavna stvar je primijeniti ne samo utvrđene koncepte. Također ih je potrebno nadopuniti idejama, konceptima i sredstvima konačne dorade. U ovom slučaju razmatraju se različiti pogledi, metode, teorije, koje trebaju voditi računa o logičkom značenju i opravdanosti.
Dosljednost formalnog sustava ukazuje na sličan završetak aritmetike, koji se temelji na indukciji, brojanju, transfinitnom broju. U znanstvenom području najvažnija je aksiomatizacijaalat koji ima nepobitne koncepte i izjave koje se uzimaju kao osnova.
Suština početnih izjava i njihova uloga u teorijama
Evaluacija aksiomatske metode pokazuje da neka struktura leži u njenoj biti. Ovaj sustav je izgrađen od identifikacije temeljnog koncepta i temeljnih izjava koje su nedefinirane. Ista stvar se događa s teoremima koji se smatraju originalnim i prihvaćaju se bez dokaza. U prirodnim znanostima takve su tvrdnje potkrijepljene pravilima, pretpostavkama, zakonima.
Tada se odvija proces utvrđivanja utvrđenih osnova rasuđivanja. U pravilu se odmah naznačuje da se iz jedne pozicije izvodi drugi, a pritom izlaze ostali, koji se, u biti, poklapaju s deduktivnom metodom.
Značajke sustava u moderno doba
Aksiomatski sustav uključuje:
- logični zaključci;
- pojmovi i definicije;
- djelomično netočne izjave i koncepti.
U modernoj znanosti ova metoda je izgubila svoju apstraktnost. Euklidska geometrijska aksiomatizacija temeljila se na intuitivnim i istinitim propozicijama. A teorija je interpretirana na jedinstven, prirodan način. Danas je aksiom odredba koja je sama po sebi očigledna, a sporazum, i svaki sporazum, može djelovati kao početni koncept koji ne zahtijeva opravdanje. Kao rezultat toga, izvorne vrijednosti mogu biti daleko od opisnih. Ova metoda zahtijeva kreativnost, poznavanje odnosa i temeljne teorije.
Osnovni principi izvođenja zaključaka
Deduktivno aksiomatska metoda je znanstvena spoznaja, izgrađena prema određenoj shemi, koja se temelji na ispravno realiziranim hipotezama, izvodeći tvrdnje o empirijskim činjenicama. Takav zaključak se gradi na temelju logičkih struktura, tvrdim izvođenjem. Aksiomi su u početku nepobitne tvrdnje koje ne zahtijevaju dokaz.
Tijekom dedukcije, određeni zahtjevi se primjenjuju na početne pojmove: dosljednost, potpunost, neovisnost. Kao što praksa pokazuje, prvi uvjet temelji se na formalnom logičkom znanju. Odnosno, teorija ne bi trebala imati značenja istine i laži, jer više neće imati značenje i vrijednost.
Ako ovaj uvjet nije ispunjen, onda se smatra nespojivim i gubi se svako značenje u njemu, jer se gubi semantičko opterećenje između istine i laži. Deduktivno, aksiomatska metoda je način konstruiranja i potvrđivanja znanstvenog znanja.
Praktična primjena metode
Aksiomatska metoda konstruiranja znanstvenog znanja ima praktičnu primjenu. Zapravo, ovaj način utječe i ima globalni značaj za matematiku, iako je to znanje već doseglo svoj vrhunac. Primjeri aksiomatske metode su sljedeći:
- afine ravnine imaju tri izjave i definiciju;
- teorija ekvivalencije ima tri dokaza;
- binarni odnosi podijeljeni su u sustav definicija, pojmova i dodatnih vježbi.
Ako želite formulirati izvorno značenje, morate znati prirodu skupova i elemenata. U biti, aksiomatska metoda činila je osnovu raznih područja znanosti.
