Čak iu školi, svi učenici se upoznaju s konceptom "euklidske geometrije", čije su glavne odredbe usredotočene na nekoliko aksioma temeljenih na geometrijskim elementima kao što su točka, ravnina, pravac, gibanje. Svi oni zajedno čine ono što je odavno poznato pod pojmom "euklidski prostor".
Euklidski prostor, čija se definicija temelji na konceptu skalarnog množenja vektora, poseban je slučaj linearnog (afinnog) prostora koji zadovoljava niz zahtjeva. Prvo, skalarni proizvod vektora je apsolutno simetričan, odnosno vektor s koordinatama (x;y) je kvantitativno identičan vektoru s koordinatama (y;x), ali suprotnog smjera.
Drugo, ako se izvede skalarni proizvod vektora sa samim sobom, tada će rezultat ove akcije biti pozitivan. Jedina iznimka bit će slučaj kada su početne i konačne koordinate ovog vektora jednake nuli: u ovom slučaju, njegov proizvod sa samim sobom također će biti jednak nuli.
Treće, skalarni umnožak je distributivan, odnosno moguće je jednu njegovu koordinatu rastaviti u zbroj dviju vrijednosti, što neće za sobom povlačiti nikakve promjene u konačnom rezultatu skalarnog množenja vektora. Konačno, četvrto, kada se vektori pomnože s istim stvarnim brojem, njihov skalarni proizvod također će se povećati za isti faktor.
Ako su sva ova četiri uvjeta ispunjena, možemo s povjerenjem reći da imamo euklidski prostor.
Euklidski prostor s praktične točke gledišta može se okarakterizirati sljedećim konkretnim primjerima:
- Najjednostavniji slučaj je prisutnost skupa vektora sa skalarnim proizvodom definiranim prema osnovnim zakonima geometrije.
- Euklidski prostor također će se dobiti ako pod vektorima podrazumijevamo određeni konačni skup realnih brojeva s danom formulom koja opisuje njihov skalarni zbroj ili proizvod.
- Poseban slučaj euklidskog prostora je takozvani nulti prostor, koji se dobiva ako je skalarna duljina oba vektora jednaka nuli.
Euklidski prostor ima niz specifičnih svojstava. Prvo, skalarni faktor se može izvaditi iz zagrada i iz prvog i iz drugog faktora skalarnog umnoška, rezultat se neće promijeniti ni na koji način. Drugo, zajedno s distributivnošću prvog elementa skalaraproizvoda, djeluje i distributivnost drugog elementa. Osim toga, osim skalarnog zbroja vektora, distributivnost se odvija i u slučaju oduzimanja vektora. Konačno, treće, kada se vektor skalarno pomnoži s nulom, rezultat će također biti nula.
Dakle, euklidski prostor je najvažniji geometrijski koncept koji se koristi u rješavanju problema međusobnog rasporeda vektora jedan u odnosu na drugi, a karakterizira ga koncept kao što je skalarni proizvod.
