Proučavanje zakona translacijskog gibanja na Atwoodovom stroju: formule i objašnjenja

2024 Autor: Angel Austin | [email protected]. Zadnja promjena: 2024-01-02 17:48

Upotreba jednostavnih mehanizama u fizici omogućuje vam proučavanje različitih prirodnih procesa i zakona. Jedan od tih mehanizama je Atwood stroj. Razmotrimo u članku što je to, za što se koristi i koje formule opisuju princip njegova rada.

Što je Atwoodov stroj?

Nazvani stroj je jednostavan mehanizam koji se sastoji od dva utega, koji su povezani koncem (užetom) prebačenim preko fiksnog bloka. U ovoj definiciji treba istaknuti nekoliko točaka. Prvo, mase tereta su općenito različite, što osigurava njihovo ubrzanje pod djelovanjem gravitacije. Drugo, navoj koji povezuje terete smatra se bestežinskim i nerastegljivim. Ove pretpostavke uvelike olakšavaju naknadne proračune jednadžbi gibanja. Konačno, treće, nepomični blok kroz koji se nit baca također se smatra bestežinskim. Osim toga, tijekom njegove rotacije, sila trenja se zanemaruje. Shematski dijagram ispod prikazuje ovaj stroj.

Atwoodov stroj je izmišljenEngleski fizičar George Atwood krajem 18. stoljeća. Služi za proučavanje zakona translacijskog gibanja, precizno određivanje akceleracije slobodnog pada i eksperimentalno potvrđivanje Newtonovog drugog zakona.

Dinamičke jednadžbe

Svaki školarac zna da tijela ubrzavaju samo ako na njih djeluju vanjske sile. Ovu činjenicu utvrdio je Isaac Newton u 17. stoljeću. Znanstvenik je to izrazio u sljedećem matematičkom obliku:

F=ma.

Gdje je m inercijska masa tijela, a je akceleracija.

Proučavanje zakona translacijskog gibanja na Atwoodovom stroju zahtijeva poznavanje odgovarajućih jednadžbi dinamike za njega. Pretpostavimo da su mase dviju utega m₁ i m₂, gdje je m₁>m2_{. U ovom slučaju, prvi uteg će se pomaknuti prema dolje pod silom gravitacije, a drugi uteg će se pomaknuti prema gore pod zatezanjem niti.}

Razmotrimo koje sile djeluju na prvo opterećenje. Dvije su od njih: gravitacija F_{1 i sila napetosti niti T. Sile su usmjerene u različitim smjerovima. Uzimajući u obzir predznak ubrzanja a, kojim se teret giba, za njega dobivamo sljedeću jednadžbu gibanja:}

F₁– T=m_1a.

Što se tiče drugog opterećenja, na njega utječu sile iste prirode kao i na prvo. Budući da se drugo opterećenje kreće uzlaznim ubrzanjem a, dinamička jednadžba za njega ima oblik:

T – F₂=m_2a.

Dakle, napisali smo dvije jednadžbe koje sadrže dvije nepoznate veličine (a i T). To znači da sustav ima jedinstveno rješenje, koje će se dobiti kasnije u članku.

Proračun jednadžbi dinamike za jednoliko ubrzano kretanje

Kao što smo vidjeli iz gornjih jednadžbi, rezultantna sila koja djeluje na svako opterećenje ostaje nepromijenjena tijekom cijelog kretanja. Masa svakog tereta se također ne mijenja. To znači da će ubrzanje a biti konstantno. Takvo kretanje naziva se jednoliko ubrzano.

Proučavanje jednoliko ubrzanog gibanja na Atwoodovom stroju treba odrediti ovo ubrzanje. Zapišimo opet sustav dinamičkih jednadžbi:

F₁– T=m_1a;

T – F₂=m_2a.

Da bismo izrazili vrijednost ubrzanja a, zbrajamo obje jednakosti, dobivamo:

F₁– F₂=a(m₁+ m _2)=>

a=(F₁ – F₂)/(m₁ + m 2_).

Zamjenom eksplicitne vrijednosti gravitacije za svako opterećenje, dobivamo konačnu formulu za određivanje ubrzanja:

a=g(m₁– m₂)/(m₁ + m_2).

Omjer razlike mase i njihovog zbroja naziva se Atwoodov broj. Označimo ga n_{a, tada dobivamo:}

a=n_ag.

Provjera rješenja jednadžbi dinamike

Iznad smo definirali formulu za ubrzanje automobilaAtwood. Vrijedi samo ako vrijedi sam Newtonov zakon. Ovu činjenicu možete provjeriti u praksi ako izvršite laboratorijski rad na mjerenju nekih količina.

Laboratorijski rad s Atwoodovim strojem prilično je jednostavan. Njegova je bit sljedeća: čim se otpuste tereti koji su na istoj razini s površine, potrebno je štopericom detektirati vrijeme kretanja robe, a zatim izmjeriti udaljenost koju ima bilo koji teret. pomaknuto. Pretpostavimo da su odgovarajuće vrijeme i udaljenost t i h. Tada možete zapisati kinematičku jednadžbu jednoliko ubrzanog gibanja:

h=at2/2.

Gdje je ubrzanje jedinstveno određeno:

a=2h/t2.

Napominjemo da kako bi se povećala točnost određivanja vrijednosti a, potrebno je provesti nekoliko eksperimenata za mjerenje h_i i t_{i, gdje je i mjerni broj. Nakon izračunavanja vrijednosti a}i_{, trebali biste izračunati prosječnu vrijednost a}cp _{iz izraza:}

a_cp=∑_i=1^ma_{i /m.}

Gdje je m broj mjerenja.

Ekvivalentno ovoj jednakosti i onoj ranije dobivenoj, dolazimo do sljedećeg izraza:

a_cp=n_ag.

Ako se ovaj izraz pokaže istinitim, bit će točan i Newtonov drugi zakon.

Izračun gravitacije

Iznad smo pretpostavili da nam je poznata vrijednost ubrzanja slobodnog pada g. Međutim, pomoću Atwoodovog stroja, određivanje silemoguća je i gravitacija. Da bismo to učinili, umjesto ubrzanja a iz jednadžbi dinamike, treba izraziti vrijednost g, imamo:

g=a/n_a.

Da biste pronašli g, trebali biste znati koje je translacijsko ubrzanje. U gornjem odlomku već smo pokazali kako ga eksperimentalno pronaći iz jednadžbe kinematike. Zamjenom formule za a u jednakost za g, imamo:

g=2h/(t²n_a).

Izračunavajući vrijednost g, lako je odrediti silu gravitacije. Na primjer, za prvo učitavanje, njegova će vrijednost biti:

F₁=2hm₁/(t²n _a).

Određivanje napetosti niti

Sila T napetosti niti jedan je od nepoznatih parametara sustava dinamičkih jednadžbi. Napišimo opet ove jednadžbe:

F₁– T=m_1a;

T – F₂=m_2a.

Ako u svakoj jednakosti izrazimo a i izjednačimo oba izraza, dobivamo:

(F₁– T)/m₁ =(T – F₂)/ m_2=>

T=(m₂F₁+ m₁F ₂)/(m₁ + m_2).

Zamjenom eksplicitnih vrijednosti sila gravitacije opterećenja, dolazimo do konačne formule za silu napetosti niti T:

T=2m₁m₂g/(m₁ + m_2).

Atwoodov stroj ima više od samo teorijske korisnosti. Dakle, dizalo (lift) u svom radu koristi protuuteg kako bipodizanje do visine tereta. Ovaj dizajn uvelike olakšava rad motora.