Kinematika je dio fizike koji razmatra zakone gibanja tijela. Njegova razlika od dinamike je u tome što ne uzima u obzir sile koje djeluju na tijelo koje se kreće. Ovaj članak je posvećen pitanju kinematike rotacijskog gibanja.
Rotacijsko gibanje i njegova razlika od gibanja naprijed
Ako obratite pažnju na okolne pokretne objekte, možete vidjeti da se kreću pravocrtno (automobil vozi cestom, avion leti nebom) ili u krug (isti automobil ulazi u zavoj, rotacija kotača). Složenije vrste kretanja objekata mogu se svesti, kao prva aproksimacija, na kombinaciju dva navedena tipa.
Progresivno kretanje uključuje promjenu prostornih koordinata tijela. U ovom slučaju, često se smatra materijalnom točkom (geometrijske dimenzije se ne uzimaju u obzir).
Rotacijsko kretanje je vrsta kretanja u kojojsustav se kreće kružno oko neke osi. Štoviše, objekt se u ovom slučaju rijetko smatra materijalnom točkom, najčešće se koristi druga aproksimacija - apsolutno kruto tijelo. Potonje znači da se zanemaruju elastične sile koje djeluju između atoma tijela te se pretpostavlja da se geometrijske dimenzije sustava ne mijenjaju tijekom rotacije. Najjednostavniji slučaj je fiksna osovina.
Kinematika translacijskog i rotacijskog gibanja pokorava se istim Newtonovim zakonima. Slične fizičke veličine koriste se za opisivanje obje vrste kretanja.
Koje količine opisuju kretanje u fizici?
Kinematika rotacijskog i translacijskog gibanja koristi tri osnovne veličine:
- Putani put. Označit ćemo ga slovom L za translacijsko i θ - za rotacijsko gibanje.
- Brzina. Za linearni slučaj obično se piše latiničnim slovom v, za kretanje po kružnoj stazi - grčkim slovom ω.
- Ubrzanje. Za linearnu i kružnu putanju koriste se simboli a i α, redom.
Koncept putanje također se često koristi. Ali za vrste kretanja predmeta koji se razmatraju, ovaj koncept postaje trivijalan, budući da je translacijsko kretanje karakterizirano linearnom putanjom, a rotacijsko - kružnicom.
Linearne i kutne brzine
Počnimo s kinematikom rotacijskog gibanja materijalne točkepromatrano iz koncepta brzine. Poznato je da za translacijsko kretanje tijela ova vrijednost opisuje koji put će se prevladati u jedinici vremena, odnosno:
v=L / t
V se mjeri u metrima u sekundi. Za rotaciju je nezgodno uzeti u obzir ovu linearnu brzinu, jer ovisi o udaljenosti do osi rotacije. Uvodi se malo drugačija karakteristika:
ω=θ / t
Ovo je jedna od glavnih formula kinematike rotacijskog gibanja. Pokazuje pod kojim će se kutom θ cijeli sustav okrenuti oko fiksne osi za vrijeme t.
Obje gornje formule odražavaju isti fizički proces brzine kretanja. Samo je za linearni slučaj važna udaljenost, a za kružno kut rotacije.
Obje formule međusobno djeluju. Shvatimo ovu vezu. Ako izrazimo θ u radijanima, tada će materijalna točka koja rotira na udaljenosti R od osi, nakon što je napravila jedan okret, proći put L=2piR. Izraz za linearnu brzinu imat će oblik:
v=L / t=2piR / t
Ali omjer 2pi radijana i vremena t nije ništa drugo nego kutna brzina. Tada dobivamo:
v=ωR
Odavde se može vidjeti da što je veća linearna brzina v i manji polumjer rotacije R, to je veća kutna brzina ω.
Linearno i kutno ubrzanje
Još jedna važna karakteristika u kinematici rotacijskog gibanja materijalne točke je kutno ubrzanje. Prije nego ga upoznamo, hajdemoformula za sličnu linearnu vrijednost:
1) a=dv / dt
2) a=Δv / Δt
Prvi izraz odražava trenutno ubrzanje (dt ->0), dok je druga formula prikladna ako se brzina ravnomjerno mijenja tijekom vremena Δt. Ubrzanje dobiveno u drugoj varijanti naziva se prosječno.
S obzirom na sličnost veličina koje opisuju linearno i rotacijsko gibanje, za kutno ubrzanje možemo napisati:
1) α=dω / dt
2) α=Δω / Δt
Tumačenje ovih formula je potpuno isto kao i za linearni slučaj. Jedina razlika je u tome što a pokazuje koliko se metara u sekundi mijenja brzina u jedinici vremena, a α pokazuje koliko se radijana u sekundi mijenja kutna brzina tijekom istog vremenskog razdoblja.
Pronađimo vezu između ovih ubrzanja. Zamjenom vrijednosti za v, izraženu u terminima ω, u bilo koju od dvije jednakosti za α, dobivamo:
α=Δω / Δt=Δv / Δt1 / R=a / R
Slijedi da što je manji polumjer rotacije i veće linearno ubrzanje, to je veća vrijednost α.
Prijeđena udaljenost i kut zaokreta
Ostaje dati formule za posljednju od tri osnovne veličine u kinematici rotacijskog gibanja oko fiksne osi - za kut rotacije. Kao i u prethodnim paragrafima, prvo zapisujemo formulu za jednoliko ubrzano pravocrtno kretanje, imamo:
L=v0 t + a t2 / 2
Puna analogija s rotacijskim kretanjem vodi do sljedeće formule:
θ=ω0 t + αt2 / 2
Zadnji izraz vam omogućuje da dobijete kut rotacije za bilo koje vrijeme t. Imajte na umu da je opseg 2pi radijana (≈ 6,3 radijana). Ako je, kao rezultat rješavanja problema, vrijednost θ veća od navedene vrijednosti, tada je tijelo napravilo više od jednog okreta oko osi.
Formula za odnos između L i θ dobiva se zamjenom odgovarajućih vrijednosti za ω0 i α kroz linearne karakteristike:
θ=v0 t / R + at2 / (2R)=L /R
Rezultirajući izraz odražava značenje samog kuta θ u radijanima. Ako je θ=1 rad, onda je L=R, to jest, kut od jednog radijana počiva na luku duljine jedan radijus.
Primjer rješavanja problema
Riješimo sljedeći problem kinematike rotacije: znamo da se automobil kreće brzinom od 70 km/h. Znajući da je promjer njegovog kotača D=0,4 metra, potrebno je odrediti vrijednost ω za njega, kao i broj okretaja koji će napraviti kada automobil prijeđe udaljenost od 1 kilometra.
Da bismo pronašli kutnu brzinu, dovoljno je zamijeniti poznate podatke u formulu za povezivanje s linearnom brzinom, dobivamo:
ω=v / R=7104 / 3600 / 0, 2=97, 222 rad/s.
Slično za kut θ do kojeg će se kotač okrenuti nakon prolaska1 km, dobivamo:
θ=L / R=1000 / 0, 2=5000 rad.
S obzirom da je jedan okret 6,2832 radiana, dobivamo broj okretaja kotača koji odgovara ovom kutu:
n=θ / 6, 2832=5000 / 6, 2832=795, 77 okreta.
Odgovorili smo na pitanja koristeći formule u članku. Problem je bilo moguće riješiti i na drugačiji način: izračunati vrijeme za koje će automobil prijeći 1 km, te ga zamijeniti u formulu za kut rotacije, iz koje možemo dobiti kutnu brzinu ω. Odgovor pronađen.
