Diferencijacija i integracija: definicija, koncept, oblici

2024 Autor: Angel Austin | [email protected]. Zadnja promjena: 2024-01-08 04:57

Diferencijacija i integracija su jednadžba koja sadrži derivacije. Potonji se, ako se držimo matematičkih svojstava, dijele na obične i privatne. Derivati predstavljaju stopu promjene, a diferencijalna jednadžba opisuje odnos između količine koja se stalno mijenja tijekom procesa rješenja, tvoreći nove varijable.

Sveučilišni profesor može lako upravljati složenim operacijama s integralima, pretvoriti ih u jednu cjelinu, a zatim dokazati račun inverznom metodom. Međutim, mogućnost brzog prisjećanja detalja složenih formula nije dostupna svima, stoga se preporučuje osvježenje pamćenja ili otkrivanje novog materijala.

Značenje i glavna upotreba

U znanstvenoj literaturi derivat je definiran kao stopa koja podliježe transformaciji funkcije na temelju jedne od njezinih varijabli. Diferencijacija je bit računa, koja se može usporediti s početkom traženja tangente na točku. Kao što znate, potonji ima različite vrste izahtijeva računske formule za pretraživanje. Pretpostavimo da trebate pronaći nagib tangente na graf u točki P. Kako to učiniti? Dovoljno je provući lučnu traku kroz označeni objekt i podići je dok ne dobijemo podijeljenu liniju.

Funkcija f na x naziva se diferencijabilnom u točki x=a ako derivacija f '(a) postoji na svakoj oznaci njezine domene. Pokažimo primjer:

f '(a)=lim (h=0) × f(a + h) – f(a)/h

Kako bi se jednadžba podvrgla diferencijaciji i integraciji funkcija tako da njezin položaj postane moguć u bilo kojoj točki x, ne smije se prekidati. Izgradnjom shematske slike unaprijed možete provjeriti valjanost izjave. Iz tog razloga je domena f'(x) definirana postojanjem svojih granica.

Pretpostavimo da je y=f(x) funkcija od x, tada je derivacija f(x) dana kao dy/dx. Također se definira kao linearna jednadžba, gdje je potrebno pronaći potrebne podatke o y.

Međutim, ako tražimo derivaciju od y u prvom slučaju, onda u sljedećem slučaju moramo pronaći f(x) od x.

d/dx × (f(x)) l_a ili df/dx l_a

Slijedom toga, oznaka brzine promjene funkcije f(x) u odnosu na x u točki a koja leži na njezinoj površini.

Ako znamo derivaciju f', koja je diferencibilna u svojoj domeni, tada možemo pronaći njezinu vrijednost f. U integralnom računu f nazivamo antiderivatom ili primitivom funkcije f'. Metoda njegovog izračuna poznata je kao antidiferencijacija.ili integracija.

Vrste i oblici

Jednadžba s jednim ili više pojmova koja uključuje derivate zavisne varijable u odnosu na nezavisnu poznata je kao diferencijal. Drugim riječima, sastoji se od skupa brojčanih vrijednosti, običnih ili privatnih, podložnih promjenama u procesu rješavanja.

Trenutno postoje sljedeće vrste diferencijalnih jednadžbi.

Obična. Jednostavna jednakost izravno ovisna o varijabli:

dy/dx + 5x=5y

Djelomične izvedenice:

dy/dx + dy/dt=x³-t³

d²y/dx² – c² × d² y/dt²

Najveći koeficijent. Ovu vrstu karakterizira sudjelovanje u redoslijedu diferencijalne jednadžbe, kao što je prikazano u primjeru ispod, gdje je jednako 3. Broj se smatra najvećim od prisutnih:

d³y/dx^{2 + 5 × dy/dx + y=√x}

Funkcije mogu imati nekoliko oblika, međutim, poželjno je koristiti jedan navodnik s karakterističnim formulama integracije i diferencijacije.

y’=dy/dx

y''=d²y/dx²

y'''=d³y/dx³

Linearno. Varijabla u jednadžbi diže se na stepen jedan. Graf ove vrste funkcije obično je ravna crta. Na primjer, (3x + 5), ali (x³ + 4x^{2) nije ove vrste jer zahtijeva drugačije rješenje.}

dy/dx + xy=5x

Nelinearno. Svaka integracija i diferencijacija nizova s dvojnim načinima dobivanja jednakosti - pogledajte razmatrani oblik:

d²y/dx^{2- ln y=10}

Metode za brzo dobivanje rezultata

Nije dovoljno pogledati obrazac da bi shvatili kako se snaći i primijeniti stečeno znanje u praksi. Trenutno postoji nekoliko načina za rješavanje diferencijalne jednadžbe.

Ovo je:

1. Razdvajanje varijable. Izvodi se kada se primjer može nacrtati kao dy / dx=f(y) g(x). Posebnost je u tome što su f i g funkcije koje pripadaju njihovim vrijednostima. Zbog toga problem treba transformirati: 1/ f(y) dy=g(x) dx. I tek tada prijeđite na sljedeću stavku.
2. Metoda integrirajućih faktora. Koristi se kada je primjer dy / dx + p(x) y=q(x), gdje su p i q funkcije samo od x.

Diferencijalni izračuni prvog reda izgledaju kao y'+ P(x) y=Q(x) jer sadrže potrebne funkcije i derivaciju od y. Naknadno povećanje imena djeluje na istom principu. Na primjer, izvedenice nepoznate funkcije mogu se pokazati kao privatne i obične.

Neodređeni integrali

Ako vam je data brzina vašeg bicikla kada idete na vožnju, ovisno o vremenu - možete li izračunati prijeđenu udaljenost koristeći potrošene minute? Ovaj zadatak izgleda kao ogroman teret, ali integralipomoći da se što učinkovitije nosite s tim svojstvima, postižući rezultat.

Znanstvena literatura naglašava da su oni naličje diferencijacije. Doista, integracija je metoda zbrajanja stvari. Povezuje čestice zajedno, stvarajući nešto novo – cjelinu. Glavna stvar u svakom sličnom primjeru je pronaći neodređene integrale i provjeriti rezultate integracije diferencijacijom. To će vam pomoći izbjeći nepotrebne pogreške.

Ako ćete pronaći područje bilo koje nasumične krivulje, na primjer, y=f(x), upotrijebite ovu metodu. Zapamtite da će vas samo pažnja spasiti od pogreške.

Formule za rješenje

Dakle, nakon što smo se upoznali s osnovnim konceptom diferencijacije i integracije - inverznim proračunom kroz funkcije, potrebno je ukratko osvrnuti se na neke od osnova. Oni su navedeni u nastavku.

Osnovna pravila izračuna

Integrirane funkcije kao što je f (x) lako se mogu prevesti u jednakost ako se jednadžba izrazi kao:

∫ f(x) dx=F(x) + C.

Ovdje se F (x) naziva antiderivativnim ili primitivnim. f(x) - integrand. dx - djeluje kao dodatni numerički agent. C je integrirana ili proizvoljna konstanta. x - djeluje ovisno o strani jednakosti.

Iz gornje tvrdnje možemo zaključiti da su integracija i diferencijacija nizova dva suprotna procesa. Zajedno djeluju kao jedna od vrsta operacija kojima je ciljdobivanje konačnog rezultata na samoj jednadžbi.

Sada kada znamo više o značajkama računa, preporuča se istaknuti primarne razlike potrebne za daljnje razumijevanje:

1. Diferencijacija i integracija mogu istovremeno zadovoljiti pravila linearnosti.
2. Operacije su usmjerene na pronalaženje najtočnijeg rješenja, međutim, podrazumijevaju ograničenja za njihovo određivanje.
3. Prilikom diferenciranja polinomskog primjera rezultat je 1 manji od stupnja funkcije, dok se u slučaju integracije dobiveni rezultat transformira u drugi, djelujući na suprotan način.
4. Dvije vrste rješenja, kao što je ranije spomenuto, suprotne su jedna drugoj. Izračunavaju se pomoću formula za integraciju i diferencijaciju.
5. Izvod bilo koje funkcije je jedinstven, ali, s druge strane, dva integrala, u jednom primjeru, mogu se razlikovati za konstantu. Upravo ovo pravilo predstavlja glavnu poteškoću tijekom izvršavanja zadataka.
6. Kada imamo posla s izvedenicama, možemo uzeti u obzir derivate u određenom trenutku. Slično kao integrali, oni pružaju funkcije u intervalu.
7. Geometrijski, derivacija opisuje brzinu promjene veličine u odnosu na drugu, dok neodređeni integral predstavlja krivulju. Položen je u paralelnom smjeru, a također ima tangente kada se nazubljene linije sijeku s drugim ortogonalnim na os koja predstavlja varijablu.

Načini zbrajanja

Ako imate problema s načinom na koji se zbrajanje primjenjuje namatematičke operacije diferencijacije integracije, trebali biste se pažljivo upoznati s osnovnim formulama. Oni su aksiom u nastavi, stoga se koriste posvuda. Imajte na umu, kada se primjenjuju na vaše vlastite primjere, formule su točne samo ako počinju s i=1.

Rješenje po komadu

Ponekad funkcija zahtijeva nestandardni pristup kako bi se došlo do konačnog rezultata i zadovoljile uvjete jednakosti. Terminska integracija i diferencijacija nizova temelji se na identitetu, koji se izražava sa: ∫ f(x) g'(x) dx=f (x) g(x) - ∫ f'(x) g(x) dx

Algoritam razmatrane tehnike izgleda ovako:

1. Izrazite integriranu funkciju kao proizvod dvaju izraza. Označimo jedan od njih f (x), drugi g' (x).
2. Sada nastavite identificirati dvije druge formule koje se mogu primijeniti u prvom odlomku. Linija će se promijeniti. Diferenciranjem transformiramo f '(x) kako bismo dobili izraze f(x). Prijeđimo na drugi dio – g (x) je integriran u g'(x). U ovom slučaju, dx ostaje u svom izvornom obliku i ne koristi se.
3. Primljene izraze ubacite u formulu po dijelovima. Time je postupak završen i sada možete pokušati procijeniti novi integral s desne strane, jer ga je postalo mnogo lakše razumjeti.

Ranije je ova metoda uključivala integraciju po dijelovima pomoću matrice. Metoda je bila uspješna, ali je oduzela dosta vremena, jer se trenutno koristi rjeđe, posebnoslučajevima u kojima je rješenje gotovo nemoguće pronaći. Da biste to učinili, samo stavite f i g' u prvi red i izračunajte f' i g u drugi.

Zašto nam je potrebna integracija po dijelovima?

Situacije se događaju drugačije. Ponekad su rješenja puno teža nego na prvi pogled. Stoga je potrebno izdvojiti glavne probleme koji se često susreću u integraciji pojam i diferencijaciji redova stepena. Uzmite u obzir dva osnovna pravila.

Prvo, dio koji namjeravamo integrirati, odnosno onaj koji smo odabrali za g '(x), moramo moći transformirati. Važno je to učiniti što je prije moguće. Stvar je u tome da složena integracija za g rijetko dovodi do poboljšanog integrala, povećavajući složenost. Sve to negativno utječe na slobodu našeg djelovanja tijekom donošenja odluka, a ovisi i o moćima, sinusima i kosinusima. Neka treba vremena da se pronađe pravi odgovor, ali vodi do pravog, a ne do zbunjujućeg.

Drugo, sve ostalo, odnosno dio koji namjeravamo razlikovati i označiti F, trebalo bi nakon transformacije osjetno istaknuti. Nakon jednostavnog postupka, primijetit ćemo da će novi integral biti pojednostavljen od svog prethodnika.

Dakle, kada kombiniramo dva pravila i koristimo ih za rješavanje, dobivamo priliku koristiti diferencijaciju i integraciju funkcija moći, što ima smisla razmotriti u dijelovima.

Postoji i način uklanjanja x, koji vam omogućuje učinkovito korištenje transformacija u raznimsituacije. Na primjer, možemo jednostavno integrirati množenjem funkcije polinomom, koji poništavamo diferencijacijom.

∫ x^{2 sin(3x) dx}

∫ x^{7 cos(x) dx}

∫x⁴ e^{4x dx}

Za f uzimamo stepen x (u općenitijem slučaju, polinom), a također koristimo g’. Očito, svaka diferencijacija smanjuje stupanj broja za jedan, stoga, ako je u primjeru dovoljno visok, primijenite integraciju pojam nekoliko puta. To će vam pomoći uštedjeti vrijeme.

Složenost nekih jednadžbi

U ovom slučaju govorimo o diferencijaciji i integraciji potencijskog niza. Funkcija se može smatrati kao da je x područje intervala konvergencije točaka. Istina, metoda nije prikladna za svakoga. Činjenica je da se bilo koja funkcija može izraziti kao niz stepena, pretvarajući se u linearnu strukturu i obrnuto.

Na primjer, s obzirom na e_{x. Možemo to izraziti kao jednadžbu, koja je zapravo samo beskonačan polinom. Niz snaga je lako vidjeti izračunavanjem, ali nije uvijek učinkovit.}

Određeni integral kao granica zbroja

Pogledajte sljedeću grafičku integraciju i diferencijaciju.

Da bismo lako razumjeli složenu funkciju, dovoljno ju je temeljito razumjeti. Procijenimo područje PRSQP između krivulje y=f (x), osi x i koordinata "x=a" i "x=b". Sada podijelite interval [a, b] na 'n' jednakih podintervala, označenih sljedećimovako:

[x₀, x₁], [x₁, x ₂], [x₂, x₃]…. [x_{n - 1}, x_].

Gdje je x₀=a, x₁=a + h, x₂=a + 2h, x₃=a + 3h….. x_r=a + rh i x =b=a + nh ili n=(b - a) / h. (jedan).

Napominjemo da kao n → ∞ h → 0.

Razmatrani PRSQP prostor je zbroj svih "n" poddomena, pri čemu je svaka definirana na određenoj osrednjosti [x_r-1, x_{r], r=1, 2, 3…n. Uz pravi pristup, ove se funkcije mogu razlikovati i integrirati za brzo rješenje.}

Sada pogledajte ABDM na slici. Na temelju toga, preporučljivo je napraviti sljedeće zapažanje o područjima: (ABLC) < (ABDCA) < (ABDM).

Također imajte na umu da kada h → 0 ili x_r - x_{r-1 → 0, sva tri područja postaju gotovo jednaka jedno drugom prijatelju. Dakle, imamo:}

s =h [f(x₀) + f(x₁) + f (x₂) + …. f(x_{n – 1})]=h _r=0∑^n–1 f(x r_{) (2)}

ili S =h [f(x₁) + f(x₂) + f(x₃) + …. f(x)]=h _r=1∑ f(x_{r) (3)}

U ovom slučaju, s i S označavaju zbroj površina svih donjih i gornjih pravokutnika podignutih iznad intervala [h _r–1, x_{r] za r=1, 2, 3, …, n. Da bismo ovo stavili u perspektivu, jednadžba (1) se može prepisati kaooblik:}

s < područje područja (PRSQP) < S_{… (4)}

Osim toga, pretpostavlja se da su granične vrijednosti (2) i (3) iste u oba slučaja, a zajednička je samo površina ispod krivulje. Kao rezultat, imamo:

lim_{n → ∞} S =lim_{n → ∞} s=PRSQP područja=∫_a^{b f(x) dx … (5)}

Površina je također granica prostora između pravokutnika ispod krivulje i iznad krivulje. Radi praktičnosti, obratite pažnju na visinu figure, jednaku krivulji na lijevom rubu svakog podintervala. Stoga se jednadžba prepisuje u konačnu verziju:

∫_a^b f(x) dx=lim _{→ ∞h [f(a) + f(a + h) + …. + f(a + {n - 1}h)}

ili ∫_a^b f(x) dx=(b – a) lim_{n → ∞(1/n) [f(a) + f(a + h) + …. + f(a + {n - 1}h)}

Zaključak

Diferencijacija i integracija međusobno se razlikuju po brojnim svojstvima, formulama i suprotnim promjenama. Jedno se ne može preobraziti u drugo bez pomoći. Ako diferencijacija pomaže u pronalaženju derivacije, tada integracija izvodi sasvim drugu radnju. Ona dodaje neke dijelove, može pomoći s diplomama smanjenjem ili poboljšati primjer pojednostavljivanjem.

Također se koristi za testiranje diferenciranih jednadžbi. Drugim riječima, djeluju kao jedna cjelina koja ne može koegzistirati odvojeno, budući da se međusobno nadopunjuju. Primjenjujući pravila, poznavajući mnoge tehnike, sada ćete zajamčeno riješitiizazovni zadaci.