Formula za srednju kvadratnu brzinu molekula idealnog plina. Primjer zadatka

2024 Autor: Angel Austin | [email protected]. Zadnja promjena: 2023-12-17 05:28

Molekularno-kinetička teorija omogućuje, analizom mikroskopskog ponašanja sustava i korištenjem metoda statističke mehanike, dobivanje važnih makroskopskih karakteristika termodinamičkog sustava. Jedna od mikroskopskih karakteristika, koja je povezana s temperaturom sustava, je srednja kvadratna brzina molekula plina. Dajemo formulu za to i razmatramo je u članku.

Idealni plin

Odmah napominjemo da će formula za kvadratnu prosječnu brzinu molekula plina biti dana posebno za idealni plin. Pod njim se u fizici razmatra takav sustav s više čestica u kojem čestice (atomi, molekule) ne djeluju jedna s drugom (njihova kinetička energija premašuje potencijalnu energiju interakcije za nekoliko redova veličine) i nemaju dimenzije, to jest, to su točke s konačnom masom (udaljenost između čestica nekoliko redova veličine veća od njihove veličine.linearni).

Svaki plin koji se sastoji od kemijski neutralnih molekula ili atoma, a koji je pod niskim tlakom i ima visoku temperaturu, može se smatrati idealnim. Na primjer, zrak je idealan plin, ali vodena para više nije takva (među molekulama vode djeluju jake vodikove veze).

Teorija molekularne kinetike (MKT)

Proučavajući idealni plin u okviru MKT-a, trebate obratiti pažnju na dva važna procesa:

1. Plin stvara pritisak prenoseći na stijenke posude koja ga sadrži, zamah kada se molekule i atomi sudaraju s njima. Takvi su sudari savršeno elastični.
2. Molekule i atomi plina kreću se nasumično u svim smjerovima s različitim brzinama, čija je distribucija podređena Maxwell-Boltzmannovoj statistici. Vjerojatnost sudara između čestica je izuzetno niska, zbog njihove zanemarive veličine i velikih udaljenosti između njih.

Unatoč činjenici da su pojedinačne brzine čestica plina vrlo različite jedna od druge, prosječna vrijednost ove vrijednosti ostaje konstantna tijekom vremena ako nema vanjskih utjecaja na sustav. Formula za srednju kvadratnu brzinu molekula plina može se dobiti razmatranjem odnosa između kinetičke energije i temperature. Pozabavit ćemo se ovim pitanjem u sljedećem odlomku članka.

Izvođenje formule za kvadratnu prosječnu brzinu molekula idealnog plina

Svaki student zna iz općeg kolegija fizike da se kinetička energija translacijskog gibanja tijela mase m izračunava na sljedeći način:

E_k=mv²/2

Gdje je v linearna brzina. S druge strane, kinetička energija čestice također se može odrediti u smislu apsolutne temperature T, koristeći faktor pretvorbe k_B (Boltzmannova konstanta). Budući da je naš prostor trodimenzionalan, E_k izračunava se na sljedeći način:

E_k=3/2k_BT.

Ekvivalentno objema jednakostima i izražavajući v iz njih, dobivamo formulu za prosječnu brzinu kvadratnog idealnog plina:

mv²/2=3/2k_BT=>

v=√(3k_BT/m).

U ovoj formuli, m - je masa čestice plina. Njegova vrijednost je nezgodna za korištenje u praktičnim proračunima, jer je mala (≈ 10^-27kg). Da bismo izbjegli ovu neugodnost, prisjetimo se univerzalne plinske konstante R i molarne mase M. Konstanta R s k_B povezana je jednakošću:

k_B=R/N_A.

Vrijednost M je definirana na sljedeći način:

M=mN_A.

Uzimajući u obzir obje jednakosti, dobivamo sljedeći izraz za srednju kvadratnu brzinu molekula:

v=√(3RT/M).

Dakle, srednja kvadratna brzina čestica plina izravno je proporcionalna kvadratnom korijenu apsolutne temperature i obrnuto proporcionalna kvadratnom korijenu molarne mase.

Primjer rješavanja problema

Svi znaju da je zrak koji udišemo 99% dušika i kisika. Potrebno je odrediti razlike u prosječnim brzinama molekula N₂ i O₂ na temperaturi od 15 ^o C.

Ovaj problem će biti riješen uzastopno. Prvo, prevedemo temperaturu u apsolutne jedinice, imamo:

T=273, 15 + 15=288, 15 K.

Sada napišite molarne mase za svaku razmatranu molekulu:

M_N2=0,028 kg/mol;

M_O2=0,032 kg/mol.

Budući da se vrijednosti molarne mase neznatno razlikuju, njihove bi prosječne brzine pri istoj temperaturi također trebale biti bliske. Koristeći formulu za v, dobivamo sljedeće vrijednosti za molekule dušika i kisika:

v (N₂)=√(38, 314288, 15/0, 028)=506,6 m/s;

v (O₂)=√(38, 314288, 15/0, 032)=473,9 m/s.

Budući da su molekule dušika nešto lakše od molekula kisika, kreću se brže. Prosječna razlika u brzini je:

v (N₂) - v (O₂)=506,6 - 473,9=32,7 m/s.

Rezultirajuća vrijednost je samo 6,5% prosječne brzine molekula dušika. Skrećemo pozornost na velike brzine molekula u plinovima, čak i pri niskim temperaturama.