Još u starom Egiptu pojavila se znanost uz pomoć koje je bilo moguće mjeriti volumene, površine i druge veličine. Poticaj za to bila je izgradnja piramida. To je uključivalo značajan broj složenih izračuna. A osim gradnje, bilo je važno pravilno izmjeriti zemljište. Stoga je znanost o "geometriji" nastala od grčkih riječi "geos" - zemlja i "metrio" - mjerim.
Proučavanje geometrijskih oblika olakšano je promatranjem astronomskih fenomena. A već u 17. stoljeću pr. e. pronađene su početne metode za izračunavanje površine kruga, volumena lopte, a najvažnije otkriće bio je Pitagorin teorem.
Izjava teorema o kružnici upisanoj u trokut je sljedeća:
U trokut se može upisati samo jedan krug.
S ovim rasporedom, kružnica je upisana, a trokut je opisan u blizini kružnice.
Izjava teorema o središtu kružnice upisane u trokut je sljedeća:
Središnja točka upisane kružnicetrokuta, postoji točka presjeka simetrala ovog trokuta.
Kružnica upisana u jednakokračni trokut
Kružnica se smatra upisanom u trokut ako dodiruje sve njegove strane s barem jednom točkom.
Fotografija ispod prikazuje krug unutar jednakokračnog trokuta. Uvjet teorema o kružnici upisanoj u trokut je ispunjen - dodiruje sve strane trokuta AB, BC i CA u točkama R, S, Q, redom.
Jedno od svojstava jednakokračnog trokuta je da upisana kružnica prepolovi bazu točkom dodira (BS=SC), a polumjer upisane kružnice je jedna trećina visine ovog trokuta (SP=AS/3).
Svojstva teorema o trokutu upisanoj kružnici:
- Segmenti koji dolaze od jednog vrha trokuta do točaka dodira s kružnicom su jednaki. Na slici AR=AQ, BR=BS, CS=CQ.
- Polumjer kružnice (upisan) je površina podijeljena s polovicom perimetra trokuta. Kao primjer, trebate nacrtati jednakokračni trokut s istim slovnim oznakama kao na slici, sljedećih dimenzija: dobiju se baza BC \u003d 3 cm, visina AS \u003d 2 cm, stranice AB \u003d BC po 2,5 cm svaki. Iz svakog kuta povlačimo simetralu i označavamo mjesto njihova sjecišta kao P. Upisujemo kružnicu polumjera PS čiju duljinu treba pronaći. Možete saznati površinu trokuta množenjem 1/2 baze s visinom: S=1/2DCAS=1/232=3 cm2 . Poluperimetartrokut je jednak 1/2 zbroja svih strana: P=(AB + BC + SA) / 2=(2,5 + 3 + 2,5) / 2=4 cm; PS=S/P=3/4=0,75 cm2, što je potpuno točno kada se mjeri ravnalom. Prema tome, svojstvo teorema o kružnici upisanoj u trokut je istinito.
Kružnica upisana u pravokutni trokut
Za trokut s pravim kutom vrijede svojstva teorema o upisanoj kružnici trokuta. I, uz to, dodaje se sposobnost rješavanja problema s postulatima Pitagorinog teorema.
Polumjer upisane kružnice u pravokutnom trokutu može se odrediti na sljedeći način: zbrojite duljine kateta, oduzmite vrijednost hipotenuze i dobivenu vrijednost podijelite s 2.
Postoji dobra formula koja će vam pomoći da izračunate površinu trokuta - pomnožite opseg s polumjerom kružnice upisane u ovaj trokut.
Formulacija teorema o incircle
Teoremi o upisanim i opisanim figurama važni su u planimetriji. Jedan od njih zvuči ovako:
Središte kružnice upisane u trokut je presjek simetrala povučenih iz njegovih kutova.
Slika ispod pokazuje dokaz ovog teorema. Prikazana je jednakost kutova, a prema tome i jednakost susjednih trokuta.
Teorem o središtu kružnice upisane u trokut
Polumjeri kružnice upisane u trokut,povučene na dodirne točke su okomite na stranice trokuta.
Zadatak "formulirati teorem o kružnici upisanoj u trokut" ne bi trebao biti iznenađen jer je ovo jedno od temeljnih i najjednostavnijih znanja u geometriji koje morate u potpunosti savladati da biste riješili mnoge praktične probleme u pravi život.
