U školskom kolegiju geometrije, ogromna količina vremena posvećena je proučavanju trokuta. Učenici izračunavaju kutove, grade simetrale i visine, otkrivaju po čemu se oblici međusobno razlikuju i najlakše pronalaze njihovu površinu i opseg. Čini se da to ni na koji način nije korisno u životu, ali ponekad je ipak korisno znati, na primjer, kako odrediti da je trokut jednakostraničan ili tupokut. Kako to učiniti?
Vrste trokuta
Tri točke koje ne leže na istoj pravoj liniji i segmenti koji ih povezuju. Čini se da je ova brojka najjednostavnija. Kako mogu izgledati trokuti ako imaju samo tri strane? Zapravo, postoji prilično velik broj opcija, a nekima se pridaje posebna pozornost u sklopu školskog tečaja geometrije. Jednakostranični trokut je jednakostraničan, odnosno svi su mu kutovi i stranice jednaki. Ima niz izvanrednih svojstava, o kojima će biti riječi kasnije.
Izokrak ima samo dvije jednake strane, a također je vrlo zanimljiv. U pravokutnim i tupokutnim trokutima, kao što možete pretpostaviti, jedan od kutova je pravi ili tupokutni. Naovo mogu biti i jednakokračne.
Postoji i posebna vrsta trokuta koji se zove egipatski. Njegove strane su 3, 4 i 5 jedinica. Međutim, pravokutna je. Vjeruje se da su takav trokut aktivno koristili egipatski geodeti i arhitekti za izgradnju pravih kutova. Vjeruje se da su uz njegovu pomoć izgrađene poznate piramide.
A ipak, svi vrhovi trokuta mogu ležati na jednoj ravnoj liniji. U ovom slučaju će se zvati degeneriranim, dok se svi ostali nazivaju nedegeneriranim. Oni su jedan od predmeta proučavanja geometrije.
Jednakostranični trokut
Naravno, točne brojke su uvijek najzanimljivije. Djeluju savršenije, gracioznije. Formule za izračun njihovih karakteristika često su jednostavnije i kraće nego za obične figure. To vrijedi i za trokute. Nije iznenađujuće da im se pri proučavanju geometrije posvećuje velika pozornost: školarci se uče razlikovati pravilne figure od ostalih, a govore i o nekim njihovim zanimljivim karakteristikama.
Znakovi i svojstva
Kao što možete pogoditi iz imena, svaka strana jednakostraničnog trokuta jednaka je ostalim dvjema. Osim toga, ima niz značajki, zahvaljujući kojima je moguće odrediti je li brojka točna ili ne.
- svi kutovi su jednaki, njihova vrijednost je 60 stupnjeva;
- simetrale, visine i medijane povučene iz svakog vrha su iste;
- pravilni trokut ima 3 osi simetrije, itne mijenja se kada se zakrene za 120 stupnjeva.
- središte upisane kružnice također je središte opisane kružnice i točka presjeka medijana, simetrala, visina i okomitih simetrala.
Ako se promatra barem jedan od gore navedenih znakova, tada je trokut jednakostraničan. Za normalan broj, sve su gore navedene tvrdnje istinite.
Svi trokuti imaju niz izvanrednih svojstava. Prvo, srednja crta, odnosno segment koji dijeli dvije strane na pola i paralelan s trećom, jednaka je polovici baze. Drugo, zbroj svih kutova ove figure uvijek je jednak 180 stupnjeva. Osim toga, postoji još jedan zanimljiv odnos u trokutima. Dakle, nasuprot veće stranice leži veći kut i obrnuto. Ali to, naravno, nema nikakve veze s jednakostraničnim trokutom, jer su svi njegovi kutovi jednaki.
Upisani i opisani krugovi
Nije neuobičajeno da studenti na kolegiju geometrije također nauče kako oblici mogu međusobno djelovati. Posebno se proučavaju krugovi upisani u poligone ili opisani oko njih. O čemu se radi?
Upisana kružnica je kružnica kojoj su sve strane poligona tangente. Opisana - ona koja ima dodirne točke sa svim uglovima. Za svaki trokut uvijek je moguće konstruirati i prvi i drugi krug, ali samo jedan od svake vrste. Dokazi za ovo dvoje
dani su teoremiškolski tečaj geometrije.
Osim izračunavanja parametara samih trokuta, neki zadaci uključuju i izračunavanje polumjera ovih kružnica. A formule za jednakostranični trokut izgledaju ovako:
r=a/√ ̅3;
R=a/2√ ̅3;
gdje je r polumjer upisane kružnice, R je polumjer opisane kružnice, a je duljina stranice trokuta.
Izračunavanje visine, perimetra i površine
Glavni parametri, koje izračunavaju školarci dok studiraju geometriju, ostaju nepromijenjeni za gotovo svaku figuru. To su opseg, površina i visina. Radi lakšeg izračuna, postoje različite formule.
Dakle, opseg, odnosno duljina svih stranica, izračunava se na sljedeće načine:
P=3a=3√ ̅3R=6√ ̅3r, gdje je a stranica pravilnog trokuta, R je polumjer opisane kružnice, r je upisana kružnica.
Visina:
h=(√ ̅3/2)a, gdje je a duljina stranice.
Konačno, formula za površinu jednakostraničnog trokuta izvedena je iz standardne formule, odnosno umnožaka polovine baze i njegove visine.
S=(√ ̅3/4)a2, gdje je a duljina stranice.
Također, ova vrijednost se može izračunati kroz parametre opisane ili upisane kružnice. Za to postoje i posebne formule:
S=3√ ̅3r2=(3√ ̅3/4)R2, gdje su r i R redom radijusi upisane i opisane kružnice.
Zgrada
Još jedanZanimljiva vrsta zadatka, uključujući trokute, povezana je s potrebom crtanja jedne ili druge figure koristeći minimalni skup
alati: kompas i ravnalo bez podjela.
Potrebno je nekoliko koraka da se izgradi ispravan trokut samo s ovim alatima.
- Morate nacrtati krug s bilo kojim polumjerom i centriran u proizvoljnoj točki A. Mora biti označen.
- Dalje, trebate povući ravnu liniju kroz ovu točku.
- Sjecišta kružnice i ravne linije moraju biti označena kao B i C. Sve konstrukcije moraju biti izvedene s najvećom mogućom točnošću.
- Dalje, trebate izgraditi drugi krug s istim polumjerom i središtem u točki C ili luk s odgovarajućim parametrima. Raskrižja će biti označena kao D i F.
- Točke B, F, D moraju biti povezane segmentima. Konstruiran je jednakostranični trokut.
Rješavanje ovakvih problema obično je problem za školarce, ali ova vještina može biti korisna u svakodnevnom životu.
