Napredak čovječanstva uvelike je zaslužan za otkrića do kojih su došli genijalci. Jedan od njih je Blaise Pascal. Njegova kreativna biografija još jednom potvrđuje istinitost izričaja Liona Feuchtwangera "Talentirana osoba, talentirana u svemu". Sva znanstvena dostignuća ovog velikog znanstvenika teško je pobrojati. Među njima je i jedan od najelegantnijih izuma u svijetu matematike - Pascalov trokut.
Nekoliko riječi o geniju
Blaise Pascal umro je rano po modernim standardima, u dobi od 39 godina. Ipak, u svom kratkom životu istaknuo se kao izvanredan fizičar, matematičar, filozof i književnik. Zahvalni potomci jedinicu tlaka i popularni programski jezik nazvali su njemu u čast. Koristi se gotovo 60 godina za podučavanje pisanja raznih kodova. Na primjer, uz njegovu pomoć, svaki učenik može napisati program za izračunavanje površine trokuta u Pascalu, kao i istražiti svojstva kruga, okoo čemu će biti riječi u nastavku.
Djelatnost ovog znanstvenika s izvanrednim razmišljanjem obuhvaća širok raspon područja znanosti. Konkretno, Blaise Pascal jedan je od utemeljitelja hidrostatike, matematičke analize, nekih područja geometrije i teorije vjerojatnosti. Također, on:
- napravio mehanički kalkulator poznat kao Pascal kotačić;
- pružio eksperimentalni dokaz da zrak ima elastičnost i težinu;
- utvrđeno da se barometar može koristiti za predviđanje vremena;
- izmislio kolica;
- izmislio omnibus - konjske zaprege s fiksnim rutama, koje su kasnije postale prva vrsta redovnog javnog prijevoza, itd.
Pascalov aritmetički trokut
Kao što je već spomenuto, ovaj veliki francuski znanstvenik dao je ogroman doprinos matematičkoj znanosti. Jedno od njegovih apsolutnih znanstvenih remek-djela je "Traktat o aritmetičkom trokutu" koji se sastoji od binomnih koeficijenata raspoređenih određenim redoslijedom. Svojstva ove sheme zapanjuju svojom raznolikošću, a ona sama potvrđuje poslovicu "Sve je genijalno jednostavno!".
Malo povijesti
Da budemo pošteni, mora se reći da je zapravo Pascalov trokut bio poznat u Europi još početkom 16. stoljeća. Konkretno, njegova se slika može vidjeti na naslovnici aritmetičkog udžbenika poznatog astronoma Petera Apiana sa Sveučilišta Ingolstadt. Sličan trokut je također prikazan kao ilustracija.u knjizi kineskog matematičara Yang Huija, objavljenoj 1303. godine. Izvanredan perzijski pjesnik i filozof Omar Khayyam također je bio svjestan njegovih svojstava početkom 12. stoljeća. Štoviše, vjeruje se da ga je upoznao iz rasprava arapskih i indijskih znanstvenika napisanih ranije.
Opis
Prije nego istražite najzanimljivija svojstva Pascalovog trokuta, lijepog u svojoj savršenosti i jednostavnosti, vrijedi znati što je to.
Znanstveno govoreći, ova numerička shema je beskonačna trokutasta tablica formirana od binomnih koeficijenata raspoređenih određenim redoslijedom. Na njegovom vrhu i na stranama nalaze se brojevi 1. Preostale pozicije zauzimaju brojevi jednaki zbroju dva broja koja se nalaze iznad njih jedan do drugog. Štoviše, sve linije Pascalovog trokuta su simetrične oko njegove okomite osi.
Osnovne značajke
Pascalov trokut zadivljuje svojom savršenošću. Za bilo koji red s brojem n (n=0, 1, 2…) istina:
- prvi i zadnji broj su 1;
- drugi i pretposljednji - n;
- treći broj jednak je trokutastom broju (broj krugova koji se mogu poredati u jednakostranični trokut, tj. 1, 3, 6, 10): T -1 =n (n - 1) / 2.
- Četvrti broj je tetraedaran, tj. to je piramida s trokutom u osnovi.
Osim toga, relativno nedavno, 1972. godine, ustanovljeno je još jedno svojstvo Pascalovog trokuta. Kako bi za njegada biste saznali, trebate napisati elemente ove sheme u obliku tablice s pomakom reda za 2 pozicije. Zatim zabilježite brojeve djeljive brojem retka. Ispada da je broj stupca u kojem su svi brojevi istaknuti prost broj.
Isti trik se može izvesti i na drugi način. Da biste to učinili, u Pascalovom trokutu brojevi se zamjenjuju ostatcima njihovog dijeljenja brojem retka u tablici. Zatim su linije raspoređene u rezultirajući trokut tako da sljedeći počinje 2 stupca desno od prvog elementa prethodnog. Tada će se stupci s brojevima koji su prosti brojevi sastojati samo od nula, a oni sa složenim brojevima sadržavat će barem jednu nulu.
Veza s Newtonovim binomom
Kao što znate, ovo je naziv formule za proširenje u pojmove nenegativnog cjelobrojnog stupnja zbroja dviju varijabli, koji izgleda ovako:
Koeficijenti prisutni u njima jednaki su C m =n! / (m! (n - m)!), gdje je m redni broj u redu n Pascalovog trokuta. Drugim riječima, imajući ovu tablicu pri ruci, možete lako podići bilo koji broj na stepen, prethodno ih razloživši na dva pojma.
Dakle, Pascalov trokut i Newtonov binom su usko povezani.
Math Wonders
Pomno ispitivanje Pascalovog trokuta otkriva da:
- zbroj svih brojeva u retku saserijski broj n (računajući od 0) je 2;
- ako su linije poravnate lijevo, tada su zbroji brojeva koji se nalaze duž dijagonala Pascalovog trokuta, idući odozdo prema gore i slijeva nadesno, jednaki Fibonaccijevim brojevima;
- prva "dijagonala" sastoji se od prirodnih brojeva po redu;
- bilo koji element iz Pascalovog trokuta, smanjen za jedan, jednak je zbroju svih brojeva unutar paralelograma, koji je ograničen lijevom i desnom dijagonalom koje se sijeku na ovom broju;
- u svakom retku dijagrama, zbroj brojeva na parnim mjestima jednak je zbroju elemenata na neparnim mjestima.
Sierpinski trokut
Takva zanimljiva matematička shema, prilično obećavajuća u smislu rješavanja složenih problema, dobiva se bojenjem parnih brojeva Pascal slike u jednu boju, a neparnih u drugu.
Sierpinski trokut se može izgraditi na drugi način:
- u zasjenjenoj Pascal shemi, srednji trokut je prefarban u drugu boju, koja se formira spajanjem središnjih točaka strana originalnog trokuta;
- učinite potpuno isto s tri neobojena u kutovima;
- ako se postupak nastavi na neodređeno vrijeme, tada bi rezultat trebao biti dvobojni lik.
Najzanimljivije svojstvo trokuta Sierpinskog je njegova samosličnost, budući da se sastoji od 3 njegove kopije, koje su smanjene za 2 puta. Omogućuje nam da ovu shemu pripišemo fraktalnim krivuljama, a one, kao što je prikazano najnovijimistraživanje je najprikladnije za matematičko modeliranje oblaka, biljaka, riječnih delti i samog svemira.
Nekoliko zanimljivih zadataka
Gdje se koristi Pascalov trokut? Primjeri zadataka koji se mogu riješiti uz njegovu pomoć prilično su raznoliki i pripadaju raznim područjima znanosti. Pogledajmo neke od zanimljivijih.
Problem 1. Neki veliki grad okružen zidom tvrđave ima samo jedna ulazna vrata. Na prvom raskrižju glavna se cesta dijeli na dva dijela. Isto se događa na bilo kojem drugom. U grad ulazi 210 ljudi. Na svakom raskrižju koje susreću podijeljeni su na pola. Koliko će se ljudi naći na svakom raskrižju kada se više neće moći dijeliti. Njen odgovor je redak 10 Pascalovog trokuta (formula koeficijenta je prikazana gore), gdje se brojevi 210 nalaze s obje strane okomite osi.
Zadatak 2. Postoji 7 naziva boja. Morate napraviti buket od 3 cvijeta. Potrebno je saznati na koliko različitih načina se to može učiniti. Ovaj problem je iz područja kombinatorike. Da bismo ga riješili, ponovno koristimo Pascalov trokut i dobivamo na 7. retku na trećem mjestu (u oba slučaja numeriranje od 0) broj 35.
Sada znate što je izumio veliki francuski filozof i znanstvenik Blaise Pascal. Njegov poznati trokut, kada se pravilno koristi, može postati pravi spas za rješavanje mnogih problema, posebno s terenakombinatorika. Osim toga, može se koristiti za rješavanje brojnih misterija povezanih s fraktalima.
