Kvadrične jednadžbe često se pojavljuju u brojnim problemima iz matematike i fizike, pa bi ih svaki učenik trebao znati riješiti. Ovaj članak opisuje glavne metode za rješavanje kvadratnih jednadžbi, a također daje primjere njihove upotrebe.
Koja se jednadžba zove kvadratna
Prije svega, odgovorit ćemo na pitanje iz ovog odlomka kako bismo bolje razumjeli o čemu će članak biti. Dakle, kvadratna jednadžba ima sljedeći opći oblik: c + bx+ax2=0, gdje su a, b, c neki brojevi, koji se nazivaju koeficijenti. Ovdje je a≠0 obavezan uvjet, inače se navedena jednadžba degenerira u linearnu. Preostali koeficijenti (b, c) mogu imati apsolutno sve vrijednosti, uključujući nulu. Dakle, izrazi poput ax2=0, gdje je b=0 i c=0, ili c+ax2=0, gdje je b=0, ili bx+ax2=0, gdje su c=0 također kvadratne jednadžbe, koje se nazivaju nepotpune, jer je linearni koeficijent b u njima nula ili nulaje slobodan pojam c, ili oba nestaju.
Jednadžba u kojoj je a=1 naziva se reduciranom, odnosno ima oblik: x2 + s/a + (b/a)x=0.
Rješenje kvadratne jednadžbe je pronaći takve x vrijednosti koje zadovoljavaju njezinu jednakost. Ove vrijednosti se nazivaju korijeni. Budući da je jednadžba koja se razmatra izraz drugog stupnja, to znači da maksimalni broj njezinih korijena ne može biti veći od dva.
Koje metode za rješavanje kvadratnih jednadžbi postoje
Općenito, postoje 4 metode rješenja. Njihova imena su navedena ispod:
- faktoring.
- Dodatak na kvadrat.
- Upotrebom poznate formule (putem diskriminanta).
- Metoda rješenja je geometrijska.
Kao što možete vidjeti iz gornjeg popisa, prve tri metode su algebarske, pa se koriste češće od posljednje, što uključuje crtanje funkcije.
Postoji još jedan način rješavanja kvadratnih jednadžbi pomoću Vietinog teorema. Mogao bi biti uključen na 5. na popisu iznad, međutim, to nije učinjeno, budući da je Vietin teorem jednostavna posljedica treće metode.
Kasnije u članku ćemo detaljnije razmotriti imenovane metode rješenja, a također ćemo dati primjere njihove upotrebe za pronalaženje korijena specifičnih jednadžbi.
Metoda 1. Faktoring
Za ovu metodu u matematici kvadratnih jednadžbi postoji lijepanaziv: faktorizacija. Bit ove metode je sljedeća: potrebno je kvadratnu jednadžbu prikazati kao umnožak dvaju članova (izraza), koji moraju biti jednaki nuli. Nakon takvog prikaza, možete koristiti svojstvo proizvoda, koje će biti jednako nuli samo kada su jedan ili više (svih) njegovih članova jednaki nuli.
Sada razmotrite slijed specifičnih radnji koje je potrebno izvesti da biste pronašli korijene jednadžbe:
- Premjestite sve članove u jedan dio izraza (na primjer, ulijevo) tako da u njegovom drugom dijelu (desno) ostane samo 0.
- Predstavi zbroj članova u jednom dijelu jednadžbe kao umnožak dviju linearnih jednadžbi.
- Postavite svaki od linearnih izraza na nulu i riješite ih.
Kao što vidite, algoritam faktorizacije je prilično jednostavan, međutim, većina učenika ima poteškoća tijekom implementacije 2. točke, pa ćemo to detaljnije objasniti.
Da pogodite koja će 2 linearna izraza, kada se pomnože jedan s drugim, dati željenu kvadratnu jednadžbu, morate zapamtiti dva jednostavna pravila:
- Linearni koeficijenti dvaju linearnih izraza, kada se pomnože jedan s drugim, trebali bi dati prvi koeficijent kvadratne jednadžbe, odnosno broj a.
- Slobodni izrazi linearnih izraza, kada se pomnože, trebali bi dati broj c željene jednadžbe.
Nakon što su svi brojevi faktora odabrani, treba ih pomnožiti, a ako daju željenu jednadžbu, idite na korak 3 ugornji algoritam, inače biste trebali promijeniti množitelje, ali to morate učiniti tako da se gornja pravila uvijek poštuju.
Primjer rješenja metodom faktorizacije
Pokažimo jasno kako je algoritam za rješavanje kvadratne jednadžbe sastavljanje i pronalaženje nepoznatih korijena. Neka je dan proizvoljan izraz, na primjer, 2x-5+5x2-2x2=x2+2+x2+1. Prijeđimo na njegovo rješenje, promatrajući slijed točaka od 1 do 3, koje su navedene u prethodnom odlomku članka.
Stavka 1. Pomaknite sve pojmove na lijevu stranu i rasporedite ih u klasičan niz za kvadratnu jednadžbu. Imamo sljedeću jednakost: 2x+(-8)+x2=0.
Stavka 2. Razbijamo ga u proizvod linearnih jednadžbi. Budući da je a=1, a c=-8, tada ćemo odabrati, na primjer, takav proizvod (x-2)(x+4). Zadovoljava pravila za pronalaženje očekivanih čimbenika navedena u gornjem stavku. Ako otvorimo zagrade, dobivamo: -8+2x+x2, odnosno dobivamo potpuno isti izraz kao na lijevoj strani jednadžbe. To znači da smo ispravno pogodili množitelje i možemo prijeći na 3. korak algoritma.
Stavka 3. Izjednačite svaki faktor s nulom, dobivamo: x=-4 i x=2.
Ako postoji bilo kakva sumnja u rezultat, preporuča se provjeriti zamjenom pronađenih korijena u izvornu jednadžbu. U ovom slučaju imamo: 22+22-8=0 i 2(-4)+(-4)2 -8=0. Ispravno pronađeni korijeni.
Tako smo metodom faktorizacije otkrili da data jednadžba ima dva različita korijenaima: 2 i -4.
Metoda 2. Dopuna punom kvadratu
U algebri kvadratnih jednadžbi, metoda množenja ne može se uvijek koristiti, jer u slučaju razlomaka koeficijenata kvadratne jednadžbe nastaju poteškoće u implementaciji stavka 2. algoritma.
Metoda punog kvadrata je zauzvrat univerzalna i može se primijeniti na kvadratne jednadžbe bilo koje vrste. Njegova je bit izvođenje sljedećih operacija:
- Uvjeti jednadžbe koja sadrži koeficijente a i b moraju se prenijeti u jedan dio jednadžbe, a slobodni član c u drugi.
- Dalje, dijelove jednakosti (desno i lijevo) treba podijeliti s koeficijentom a, odnosno prikazati jednadžbu u reduciranom obliku (a=1).
- Zbrojite članove s koeficijentima a i b kako biste ih predstavili kao kvadrat linearne jednadžbe. Budući da je \u003d 1, tada će linearni koeficijent biti jednak 1, što se tiče slobodnog člana linearne jednadžbe, tada bi trebao biti jednak polovici linearnog koeficijenta smanjene kvadratne jednadžbe. Nakon što je kvadrat linearnog izraza nacrtan, potrebno je na desnu stranu jednakosti, gdje se nalazi slobodni član, dodati odgovarajući broj, koji se dobiva proširenjem kvadrata.
- Uzmite kvadratni korijen sa znakovima "+" i "-" i riješite već dobivenu linearnu jednadžbu.
Opisani algoritam se na prvi pogled može doživjeti kao prilično kompliciran, međutim, u praksi ga je lakše implementirati od metode faktorizacije.
Primjer rješenja pomoću punog kvadratnog komplementa
Dajmo primjer kvadratne jednadžbe za treniranje njenog rješenja metodom opisanom u prethodnom odlomku. Neka je dana kvadratna jednadžba -10 - 6x+5x2=0. Počinjemo je rješavati slijedeći algoritam opisan gore.
Stavka 1. Koristimo metodu prijenosa kada rješavamo kvadratne jednadžbe, dobivamo: - 6x+5x2=10.
Točka 2. Svedeni oblik ove jednadžbe dobiva se dijeljenjem s brojem 5 svakog od njezinih članova (ako se oba dijela podijele ili pomnože s istim brojem, tada će jednakost biti sačuvana). Kao rezultat transformacija, dobivamo: x2 - 6/5x=2.
Stavka 3. Polovica koeficijenta - 6/5 je -6/10=-3/5, koristite ovaj broj da dovršite kvadrat, dobivamo: (-3/5+x) 2 . Proširujemo ga i dobiveni slobodni član treba oduzeti od lijeve strane jednakosti kako bi se zadovoljio izvorni oblik kvadratne jednadžbe, što je ekvivalentno zbrajanju na desnu stranu. Kao rezultat, dobivamo: (-3/5+x)2=59/25.
Stavka 4. Izračunajte kvadratni korijen s pozitivnim i negativnim predznacima i pronađite korijene: x=3/5±√59/5=(3±√59)/5. Dva pronađena korijena imaju sljedeće vrijednosti: x1=(√59+3)/5 i x1=(3-√59)/5.
Budući da su izvršeni izračuni povezani s korijenima, postoji velika vjerojatnost pogreške. Stoga se preporuča provjeriti ispravnost korijena x2 i x1. Dobivamo za x1: 5((3+√59)/5)2-6(3+√59)/5 - 10=(9+59+6√59)/5 - 18/5 - 6√59/5-10=68/5-68/5=0. Zamijeni sadax2: 5((3-√59)/5)2-6(3-√59)/5 - 10=(9+59-6√59)/5 - 18/5 + 6√59/5-10=68/5-68/5=0.
Tako smo pokazali da su pronađeni korijeni jednadžbe istiniti.
Metoda 3. Primjena dobro poznate formule
Ova metoda rješavanja kvadratnih jednadžbi je možda najjednostavnija, jer se sastoji u zamjeni koeficijenata u poznatu formulu. Da biste ga koristili, ne morate razmišljati o sastavljanju algoritama rješenja, dovoljno je zapamtiti samo jednu formulu. To je prikazano na gornjoj slici.
U ovoj formuli, radikalni izraz (b2-4ac) naziva se diskriminant (D). Od njegove vrijednosti ovisi o tome koji su korijeni dobiveni. Postoje 3 slučaja:
- D>0, tada jednadžba korijen dva ima stvarne i različite.
- D=0, tada se dobiva korijen koji se može izračunati iz izraza x=-b/(a2).
- D<0, tada ćete dobiti dva različita imaginarna korijena, koji su predstavljeni kao kompleksni brojevi. Na primjer, broj 3-5i je složen, dok imaginarna jedinica i zadovoljava svojstvo: i2=-1.
Primjer rješenja izračunavanjem diskriminanta
Dajmo primjer kvadratne jednadžbe za vježbanje koristeći gornju formulu. Pronađite korijene za -3x2-6+3x+4x=0. Prvo izračunajte vrijednost diskriminanta, dobivamo: D=b 2 -4ac=72-4(-3)(-6)=-23.
Budući da je dobiven D<0, to znači da su korijeni razmatrane jednadžbe kompleksni brojevi. Pronađimo ih zamjenom pronađene vrijednosti D u formulu danu u prethodnom odlomku (također je prikazana na gornjoj fotografiji). Dobivamo: x=7/6±√(-23)/(-6)=(7±i√23)/6.
Metoda 4. Korištenje grafa funkcija
Zove se i grafička metoda za rješavanje kvadratnih jednadžbi. Treba reći da se u pravilu ne koristi za kvantitativnu, već za kvalitativnu analizu razmatrane jednadžbe.
Suština metode je da se nacrta kvadratna funkcija y=f(x), koja je parabola. Zatim, potrebno je odrediti u kojim točkama parabola siječe x-os (X), oni će biti korijeni odgovarajuće jednadžbe.
Da bismo znali hoće li parabola presjeći os X, dovoljno je znati položaj njezina minimuma (maksimuma) i smjer njezinih grana (mogu se povećati ili smanjiti). Postoje dva svojstva ove krivulje koja treba zapamtiti:
- Ako su a>0 - parabole grane usmjerene su prema gore, naprotiv, ako je a<0, onda se spuštaju.
- Minimalna (maksimalna) koordinata parabole je uvijek x=-b/(2a).
Na primjer, trebate odrediti ima li jednadžba -4x+5x2+10=0. Odgovarajuća parabola će biti usmjerena prema gore, budući da=5>0. Njegov ekstrem ima koordinate: x=4/10=2/5, y=-42/5+5(2/5)2+10=9, 2. Budući da minimum krivulje leži iznad x-ose (y=9, 2), tada ne siječe potonju ni za jednux vrijednosti. To jest, data jednadžba nema pravi korijen.
Vietin teorem
Kao što je gore navedeno, ovaj teorem je posljedica metode br. 3, koja se temelji na primjeni formule s diskriminantom. Bit Vietinog teorema je da vam omogućuje da povežete koeficijente jednadžbe i njezine korijene u jednakost. Dobijmo odgovarajuće jednakosti.
Upotrijebimo formulu za izračunavanje korijena kroz diskriminant. Dodajte dva korijena, dobivamo: x1+x2=-b/a. Sada pomnožimo korijene jedan s drugim: x1x2, nakon niza pojednostavljenja dobivamo broj c/a.
Dakle, za rješavanje kvadratnih jednadžbi po Vietinom teoremu, možete koristiti dobivene dvije jednakosti. Ako su poznata sva tri koeficijenta jednadžbe, tada se korijeni mogu pronaći rješavanjem odgovarajućeg sustava ove dvije jednadžbe.
Primjer korištenja Vietinog teorema
Morate napisati kvadratnu jednadžbu ako znate da ima oblik x2+c=-bx, a njezini korijeni su 3 i -4.
Budući da je a=1 u jednadžbi koja se razmatra, Vieta formule će izgledati ovako: x2+x1=-b i x2x1=str. Zamjenom poznatih vrijednosti korijena dobivamo: b=1 i c=-12. Kao rezultat toga, obnovljena kvadratna reducirana jednadžba će izgledati ovako: x2-12=-1x. Možete zamijeniti vrijednost korijena u njega i osigurati da jednakost vrijedi.
Obratna primjena Vietinog teorema, odnosno izračunavanje korijena popoznati oblik jednadžbe, omogućuje malim cijelim brojevima a, b i c da brzo (intuitivno) pronađu rješenja.
