Važan geometrijski objekt koji se proučava u ravnom prostoru je ravna linija. U trodimenzionalnom prostoru, osim ravne, postoji i ravnina. Oba objekta su prikladno definirana pomoću vektora smjera. Što je to, kako se ti vektori koriste za određivanje jednadžbi ravne i ravnine? Ova i druga pitanja obrađena su u članku.
Izravna linija i kako je definirati
Svaki učenik ima dobru ideju o kojem geometrijskom objektu govori. S gledišta matematike, pravac je skup točaka, koje u slučaju njihove proizvoljne parne veze vode do skupa paralelnih vektora. Ova definicija linije koristi se za pisanje jednadžbe za nju u dvije i tri dimenzije.
Za opisivanje razmatranog jednodimenzionalnog objekta koriste se različite vrste jednadžbi, koje su navedene na popisu ispod:
- opći pogled;
- parametrijski;
- vektor;
- kanonski ili simetrični;
- u segmentima.
Svaka od ovih vrsta ima neke prednosti u odnosu na druge. Na primjer, jednadžba u segmentima prikladna je za korištenje pri proučavanju ponašanja ravne u odnosu na koordinatne osi, opća je jednadžba prikladna za pronalaženje smjera okomitog na danu ravnu liniju, kao i pri izračunavanju kuta njezine sjecište s osi x (za ravno kućište).
Budući da je tema ovog članka povezana s usmjeravajućim vektorom ravne linije, dalje ćemo razmatrati samo jednadžbu gdje je ovaj vektor fundamentalan i sadržan je eksplicitno, odnosno vektorski izraz..
Određivanje ravne linije kroz vektor
Pretpostavimo da imamo neki vektor v¯ s poznatim koordinatama (a; b; c). Budući da postoje tri koordinate, vektor je zadan u prostoru. Kako ga prikazati u pravokutnom koordinatnom sustavu? To se radi vrlo jednostavno: na svakoj od tri osi iscrtava se segment čija je duljina jednaka odgovarajućoj koordinati vektora. Točka presjeka triju okomica vraćenih na ravnine xy, yz i xz bit će kraj vektora. Njegov početak je točka (0; 0; 0).
Unatoč tome, zadana pozicija vektora nije jedina. Slično, može se nacrtati v¯ postavljanjem njegovog ishodišta u proizvoljnu točku u prostoru. Ovi argumenti govore da je nemoguće postaviti određenu liniju pomoću vektora. Definira obitelj beskonačnog broja paralelnih linija.
Sadafiksirati neku točku P(x0; y0; z0) prostora. I postavljamo uvjet: ravna linija mora proći kroz P. U ovom slučaju vektor v¯ također mora sadržavati ovu točku. Posljednja činjenica znači da se jedna linija može definirati pomoću P i v¯. To će biti zapisano kao sljedeća jednadžba:
Q=P + λ × v¯
Ovdje Q je bilo koja točka koja pripada pravoj. Ova se točka može dobiti odabirom odgovarajućeg parametra λ. Napisana jednadžba naziva se vektorska jednadžba, a v¯ se naziva vektor smjera ravne linije. Ako ga rasporedimo tako da prolazi kroz P i promijenimo njegovu duljinu parametrom λ, dobivamo svaku točku Q kao ravnu liniju.
U koordinatnom obliku, jednadžba će biti napisana na sljedeći način:
(x; y; z)=(x0; y0; z0) + λ × (a; b; c)
I u eksplicitnom (parametarskom) obliku možete napisati:
x=x0+ λ × a;
y=y0+ λ × b;
z=z0+ λ × c
Ako izuzmemo treću koordinatu u gornjim izrazima, tada ćemo dobiti vektorske jednadžbe ravne linije na ravnini.
Za koje je zadatke korisno znati vektor smjera ?
U pravilu su to zadaci za određivanje paralelnosti i okomitosti pravaca. Također, izravni vektor koji određuje smjer koristi se pri izračunavanju udaljenosti između ravnih linija i točke i ravne linije, za opisivanje ponašanja ravne linije u odnosu na ravninu.
Dvapravci će biti paralelni ako su njihovi vektori smjera. Prema tome, okomitost pravaca dokazuje se pomoću okomitosti njihovih vektora. U ovakvim vrstama zadataka dovoljno je izračunati skalarni proizvod razmatranih vektora da dobijete odgovor.
U slučaju zadataka za izračunavanje udaljenosti između linija i točaka, vektor smjera je eksplicitno uključen u odgovarajuću formulu. Zapišimo:
d=|[P1P2¯ × v¯] | / |v¯|
Ovdje P1P2¯ - izgrađeno na točkama P1 i P 2 usmjeren segment. Točka P2 je proizvoljna, leži na pravoj s vektorom v¯, dok je točka P1 ona do koje treba udaljenost biti odlučan. Može biti neovisna ili pripadati drugoj liniji ili ravni.
Napominjemo da ima smisla izračunati udaljenost između linija samo kada su paralelne ili sijeku. Ako se sijeku, tada je d nula.
Gorenja formula za d također vrijedi za izračunavanje udaljenosti između ravnine i ravne linije koja joj je paralelna, samo u ovom slučaju P1treba pripadati ravnini.
Riješimo nekoliko problema kako bismo bolje pokazali kako koristiti razmatrani vektor.
Problem vektorske jednadžbe
Poznato je da se pravac opisuje sljedećom jednadžbom:
y=3 × x - 4
Trebali biste upisati odgovarajući izrazvektorski oblik.
Ovo je tipična jednadžba ravne linije, poznata svakom školarcu, napisana u općem obliku. Pokažimo kako to prepisati u vektorskom obliku.
Izraz se može predstaviti kao:
(x; y)=(x; 3 × x - 4)
Može se vidjeti da ako ga otvorite, dobivate izvornu jednakost. Sada dijelimo njegovu desnu stranu na dva vektora tako da samo jedan od njih sadrži x, imamo:
(x; y)=(x; 3 × x) + (0; -4)
Ostaje izvaditi x iz zagrada, označiti ga grčkim simbolom i zamijeniti vektori s desne strane:
(x; y)=(0; -4) + λ × (1; 3)
Dobili smo vektorski oblik izvornog izraza. Vektorske koordinate pravca su (1; 3).
Zadatak određivanja relativnog položaja linija
U razmaku su data dva retka:
(x; y; z)=(1; 0; -2) + λ × (-1; 3; 1);
(x; y; z)=(3; 2; 2) + γ × (1; 2; 0)
Jesu li paralelni, križaju se ili sijeku?
Vektori koji nisu nula (-1; 3; 1) i (1; 2; 0) bit će vodiči za ove linije. Izrazimo ove jednadžbe u parametarskom obliku i zamijenimo koordinate prve u drugu. Dobivamo:
x=1 - λ;
y=3 × λ;
z=-2 + λ;
x=3 + γ=1 - λ=>γ=-2 - λ;
y=2 + 2 × γ=3 × λ=> γ=3 / 2 × λ - 1;
z=2=-2 + λ=> λ=4
Zamijenite pronađeni parametar λ u dvije gornje jednadžbe, dobit ćemo:
γ=-2 - λ=-6;
γ=3 / 2 × λ - 1=5
Parametar γ ne može uzeti dvije različite vrijednosti u isto vrijeme. To znači da pravci nemaju niti jednu zajedničku točku, odnosno da se sijeku. Oni nisu paralelni, budući da vektori različiti od nule nisu međusobno paralelni (za njihov paralelizam mora postojati broj koji bi množenjem s jednim vektorom doveo do koordinata drugog).
Matematički opis aviona
Da bismo postavili ravninu u prostoru, dajemo opću jednadžbu:
A × x + B × y + C × z + D=0
Ovdje latinična velika slova predstavljaju određene brojeve. Prva tri od njih definiraju koordinate vektora normale ravnine. Ako je označeno s n¯, tada:
n¯=(A; B; C)
Ovaj vektor je okomit na ravninu, pa se naziva vodičem. Njegovo znanje, kao i poznate koordinate bilo koje točke koja pripada ravnini, jednoznačno određuju potonju.
Ako točka P(x1; y1; z1) pripada ravninu, tada se presjek D izračunava na sljedeći način:
D=-1 × (A × x1+ B × y1 + C × z1)
Riješimo nekoliko problema koristeći opću jednadžbu za ravninu.
Zadatak zapronalaženje vektora normale ravnine
Ravan je definiran na sljedeći način:
(y - 3) / 2 + (x + 1) / 3 - z / 4=1
Kako pronaći vektor smjera za nju?
Iz gornje teorije slijedi da su koordinate vektora normale n¯ koeficijenti ispred varijabli. U tom smislu, da bismo pronašli n¯, jednadžbu treba napisati u općem obliku. Imamo:
1 / 3 × x + 1 / 2 × y - 1 / 4 × z - 13 / 6=0
Tada je normalni vektor ravnine:
n¯=(1/3; 1/2; -1/4)
Problem sastavljanja jednadžbe ravnine
Date su koordinate tri točke:
M1(1; 0; 0);
M2(2; -1; 5);
M3(0; -2; -2)
Kako će izgledati jednadžba ravnine koja sadrži sve ove točke.
Kroz tri točke koje ne pripadaju istoj liniji može se povući samo jedna ravnina. Da bismo pronašli njegovu jednadžbu, prvo izračunamo vektor smjera ravnine n¯. Da bismo to učinili, postupimo na sljedeći način: pronađemo proizvoljna dva vektora koji pripadaju ravnini i izračunamo njihov vektorski umnožak. Dat će vektor koji će biti okomit na ovu ravninu, odnosno n¯. Imamo:
M1M2¯=(1; -1; 5); M1M3¯=(-1; -2; -2);
n¯=[M1M2¯ × M1M 3¯]=(12; -3; -3)
Uzmi točku M1za crtanjeravninski izrazi. Dobivamo:
D=-1 × (12 × 1 + (-3) × 0 + (-3) × 0)=-12;
12 × x - 3 × y - 3 × z - 12=0=>
4 × x - y - z - 4=0
Dobili smo opći izraz tipa za ravninu u prostoru tako što smo prvo definirali vektor smjera za nju.
Svojstvo unakrsnog proizvoda treba imati na umu kada rješavate probleme s ravninama, jer vam omogućuje da odredite koordinate normalnog vektora na jednostavan način.
