Ozhegov objašnjavajući rječnik navodi da je pentagon geometrijski lik omeđen s pet ravnih linija koje se sijeku koje tvore pet unutarnjih kutova, kao i bilo koji objekt sličnog oblika. Ako dati poligon ima iste stranice i kutove, onda se naziva pravilnim (pentagon).
Što je zanimljivo kod pravilnog pentagona?
U tom obliku je izgrađena poznata zgrada Ministarstva obrane Sjedinjenih Država. Od voluminoznih pravilnih poliedara samo dodekaedar ima lica u obliku peterokuta. A u prirodi, kristali su potpuno odsutni, čija bi lica nalikovala pravilnom peterokutu. Osim toga, ova je slika poligon s minimalnim brojem kutova koji se ne može koristiti za popločavanje područja. Samo petokut ima isti broj dijagonala kao i njegove stranice. Slažem se, zanimljivo je!
Osnovna svojstva i formule
Upotreba formula zaproizvoljnog pravilnog poligona, možete odrediti sve potrebne parametre koje ima pentagon.
- Središnji kut α=360 / n=360/5=72°.
- Unutarnji kut β=180°(n-2)/n=180°3/5=108°. Prema tome, zbroj unutarnjih kutova je 540°.
- Omjer dijagonale prema strani je (1+√5) /2, odnosno "zlatni presjek" (približno 1, 618).
- Duljina stranice koju ima pravilan peterokut može se izračunati pomoću jedne od tri formule, ovisno o tome koji je parametar već poznat:
- ako je krug opisan oko njega i njegov polumjer R je poznat, tada je a=2Rsin (α/2)=2Rsin(72°/2) ≈1, 1756R;
- u slučaju kada je kružnica polumjera r upisana u pravilan peterokut, a=2rtg(α/2)=2rtg(α/2) ≈ 1, 453r;
- dešava se da je umjesto radijusa poznata vrijednost dijagonale D, tada se stranica određuje na sljedeći način: a ≈ D/1, 618.
- Površina pravilnog peterokuta određuje se, opet, ovisno o tome koji parametar znamo:
- ako postoji upisan ili opisan krug, tada se koristi jedna od dvije formule:
S=(nar)/2=2, 5ar ili S=(nR2sin α)/2 ≈ 2, 3776R2;
područje se također može odrediti znajući samo duljinu stranice a:
S=(5a2tg54°)/4 ≈ 1, 7205 a2.
Pravilan peterokut: konstrukcija
Ovaj geometrijski lik može se izgraditi na različite načine. Na primjer, upišite ga u krug zadanog polumjera ili ga izgradite na temelju zadane bočne strane. Slijed radnji opisan je u Euklidovim elementima oko 300. pr. U svakom slučaju, trebamo šestar i ravnalo. Razmotrimo metodu konstrukcije koristeći dani krug.
1. Odaberite proizvoljni radijus i nacrtajte krug, označavajući njegovo središte s O.
2. Na liniji kružnice odaberite točku koja će služiti kao jedan od vrhova našeg peterokuta. Neka je ovo točka A. Povežite točke O i A ravnom linijom.
3. Nacrtajte pravac kroz točku O okomitu na pravac OA. Označite sjecište ove linije s linijom kružnice kao točku B.
4. U sredini udaljenosti između točaka O i B, izgradite točku C.
5. Sada nacrtajte kružnicu čije će središte biti u točki C i koja će prolaziti kroz točku A. Mjesto njegovog sjecišta s linijom OB (ona će biti unutar prve kružnice) bit će točka D.
6. Konstruirajte kružnicu koja prolazi kroz D, čije će središte biti u A. Mjesta njegovog sjecišta s izvornom kružnicom moraju biti označena točkama E i F.
7. Sada konstruirajte kružnicu čije će središte biti u E. To trebate učiniti tako da prolazi kroz A. Njegovo drugo sjecište izvorne kružnice mora biti označeno točkom G.
8. Na kraju, nacrtajte kružnicu kroz A sa središtem u točki F. Označite još jedno sjecište izvorne kružnice točkom H.
9. Sada lijevosamo povežite vrhove A, E, G, H, F. Naš redovni pentagon bit će spreman!
