Krug je glavna figura u geometriji, čija se svojstva razmatraju u školi u 8. razredu. Jedan od tipičnih problema povezanih s krugom je pronaći površinu nekog njegovog dijela, koji se naziva kružni sektor. Članak daje formule za područje sektora i duljinu njegova luka, kao i primjer njihove upotrebe za rješavanje određenog problema.
Koncept kruga i kruga
Prije nego što damo formulu za površinu sektora kružnice, razmotrimo koja je označena brojka. Prema matematičkoj definiciji, krug se podrazumijeva kao takav lik na ravnini čije su sve točke jednako udaljene od neke jedne točke (centra).
Kada se razmatra krug, koristi se sljedeća terminologija:
- Radijus - segment koji je povučen od središnje točke do krivulje kružnice. Obično se označava slovom R.
- Promjer je segment koji spaja dvije točke kružnice, ali također prolazi kroz središte figure. Obično se označava slovom D.
- Luk je dio zakrivljenog kruga. Mjeri se ili u jedinicama duljine ili pomoću kutova.
Krug je još jedna važna geometrijska figura, to je zbirka točaka koja je omeđena zakrivljenim krugom.
Oblast i opseg kruga
Vrijednosti navedene u naslovu stavke izračunate su pomoću dvije jednostavne formule. Oni su navedeni u nastavku:
- Okrug: L=2piR.
- Površina kruga: S=piR2.
U ovim formulama, pi je neka konstanta koja se zove Pi. Iracionalan je, odnosno ne može se točno izraziti kao prosti razlomak. Pi je približno 3,1416.
Kao što možete vidjeti iz gornjih izraza, za izračunavanje površine i dužine dovoljno je znati samo polumjer kružnice.
Površina sektora kruga i duljina njegova luka
Prije razmatranja odgovarajućih formula, podsjećamo da se kut u geometriji obično izražava na dva glavna načina:
- u seksagezimalnim stupnjevima, a puna rotacija oko svoje osi je 360o;
- u radijanima, izraženo kao razlomci pi i povezani sa stupnjevima sljedećom jednadžbom: 2pi=360o.
Sektor kružnice je lik omeđen s tri linije: lukom kružnice i dva polumjera koja se nalaze na krajevima ovog luka. Primjer kružnog sektora prikazan je na fotografiji ispod.
Lako je dobiti ideju o tome što je sektor za krugrazumjeti kako izračunati njegovu površinu i duljinu odgovarajućeg luka. Iz gornje slike može se vidjeti da luk sektora odgovara kutu θ. Znamo da puni krug odgovara radijanima 2pi, pa će formula za površinu kružnog sektora imati oblik: S1=Sθ/(2 pi)=piR 2θ/(2pi)=θR2/2. Ovdje se kut θ izražava u radijanima. Slična formula za područje sektora, ako se kut θ mjeri u stupnjevima, izgledat će ovako: S1=piθR2 /360.
Duljina luka koji tvori sektor izračunava se po formuli: L1=θ2piR/(2pi)=θR. A ako je θ poznato u stupnjevima, onda: L1=piθR/180.
Primjer rješavanja problema
Upotrijebimo primjer jednostavnog problema da pokažemo kako koristiti formule za područje sektora kružnice i duljinu njegova luka.
Poznato je da kotač ima 12 žbica. Kada kotač napravi jedan potpuni okret, prelazi udaljenost od 1,5 metara. Kolika je površina zatvorena između dva susjedna kraka kotača i kolika je duljina luka između njih?
Kao što možete vidjeti iz odgovarajućih formula, da biste ih koristili, trebate znati dvije veličine: polumjer kružnice i kut luka. Polumjer se može izračunati iz poznavanja opsega kotača, budući da udaljenost koju on prijeđe u jednom okretu točno mu odgovara. Imamo: 2Rpi=1,5, odakle je: R=1,5/(2pi)=0,2387 metara. Kut između najbližih žbica može se odrediti znajući njihov broj. Uz pretpostavku da svih 12 žbica ravnomjerno dijele krug na jednake sektore, dobivamo 12 identičnih sektora. Prema tome, kutna mjera luka između dva kraka je: θ=2pi/12=pi/6=0,5236 radijana.
Pronašli smo sve potrebne vrijednosti, sada ih možemo zamijeniti u formule i izračunati vrijednosti koje zahtijeva uvjet problema. Dobivamo: S1=0,5236(0,2387)2/2=0,0149 m2, ili 149 cm2; L1=0,52360,2387=0,125 m ili 12,5 cm.
