Nemoguće je tvrditi da znate matematiku ako ne znate crtati grafove, crtati nejednakosti na koordinatnoj liniji i raditi s koordinatnim osi. Vizualna komponenta u znanosti je od vitalnog značaja, jer bez vizualnih primjera u formulama i izračunima ponekad se možete jako zbuniti. U ovom članku ćemo vidjeti kako raditi s koordinatnim osi i naučiti kako graditi jednostavne grafove funkcija.
Prijava
Koordinatna linija osnova je najjednostavnijih vrsta grafova s kojima se učenik susreće na svom obrazovnom putu. Koristi se u gotovo svim matematičkim temama: pri izračunavanju brzine i vremena, projekciji veličine objekata i izračunavanju njihove površine, u trigonometriji pri radu sa sinusima i kosinusima.
Glavna vrijednost takve izravne linije je vidljivost. Budući da je matematika znanost koja zahtijeva visoku razinu apstraktnog razmišljanja, grafovi pomažu u predstavljanju objekta u stvarnom svijetu. Kako se ponaša? U kojoj točki u prostoru će senekoliko sekundi, minuta, sati? Što se o njemu može reći u usporedbi s drugim objektima? Kolika je njegova brzina u slučajno odabranom vremenu? Kako okarakterizirati njegovo kretanje?
A o brzini govorimo s razlogom - često se prikazuje funkcionalnim grafovima. Također mogu prikazati promjene temperature ili tlaka unutar objekta, njegovu veličinu, orijentaciju u odnosu na horizont. Stoga je izgradnja koordinatnog pravca često potrebna i u fizici.
Jednodimenzionalni graf
Postoji koncept višedimenzionalnosti. U jednodimenzionalnom prostoru dovoljan je samo jedan broj za određivanje položaja točke. Upravo je to slučaj s korištenjem koordinatnog pravca. Ako je prostor dvodimenzionalan, tada su potrebna dva broja. Karte ove vrste koriste se mnogo češće, a svakako ćemo ih razmotriti malo kasnije u članku.
Što se može vidjeti uz pomoć točaka na osi, ako postoji samo jedna os? Možete vidjeti veličinu objekta, njegovu poziciju u prostoru u odnosu na neku "nulu", tj. točku odabranu kao referentnu točku.
Promjena parametara tijekom vremena neće biti vidljiva, jer će sva očitanja biti prikazana za jedan određeni trenutak. Međutim, odnekud morate početi! Pa počnimo.
Kako izgraditi koordinatnu os
Prvo, morate nacrtati vodoravnu liniju - to će biti naša os. S desne strane ga "naoštrite" tako da izgleda kao strelica. Tako ćemo naznačiti smjer u kojem će brojevi bitipovećati. U smjeru prema dolje, strelica se obično ne postavlja. Tradicionalno, os pokazuje udesno, pa ćemo samo slijediti ovo pravilo.
Postavimo nultu oznaku, koja će prikazati ishodište koordinata. To je upravo mjesto s kojeg se vodi odbrojavanje, bilo da se radi o veličini, težini, brzini ili bilo čemu drugom. Uz nulu, nužno moramo odrediti i tzv. cijenu podjele, tj. uvesti jedinični standard, u skladu s kojim ćemo na osi iscrtati određene količine. To se mora učiniti kako bi se mogla pronaći duljina segmenta na koordinatnoj liniji.
Na jednakoj udaljenosti jedna od druge, stavite točke ili "zareze" na crtu, a ispod njih upišite 1, 2, 3, i tako dalje. A sada, sve je spremno. Ali s rezultirajućim rasporedom, još uvijek morate naučiti kako raditi.
Vrste točaka na koordinatnoj liniji
Od prvog pogleda na crteže predložene u udžbenicima, postaje jasno: točke na osi mogu se popuniti ili ne ispuniti. Mislite li da je to slučajnost? Nikako! "Čvrsta" točka se koristi za nestrogu nejednakost - onu koja se čita kao "veće ili jednako". Ako trebamo strogo ograničiti interval (na primjer, "x" može uzeti vrijednosti od nule do jedan, ali ga ne uključuje), koristit ćemo "šuplju" točku, odnosno, zapravo, mali krug na osi. Treba napomenuti da studenti baš i ne vole stroge nejednakosti, jer je s njima teže raditi.
Ovisno o tome koje bodove imatekoristiti na grafikonu, također će se pozvati izgrađeni intervali. Ako nejednakost na obje strane nije stroga, tada dobivamo segment. Ako se s jedne strane pokaže da je "otvoreno", onda će se to nazvati poluintervalom. Konačno, ako je dio linije omeđen s obje strane šupljim točkama, to će se zvati interval.
Avion
Kad konstruiramo dvije ravne linije na koordinatnoj ravnini, već možemo razmotriti grafove funkcija. Recimo da je vodoravna crta vremenska os, a okomita je udaljenost. A sada smo u mogućnosti odrediti koju će udaljenost objekt prevladati za minutu ili sat putovanja. Dakle, rad s ravninom omogućuje praćenje promjene stanja objekta. Ovo je puno zanimljivije od istraživanja statičkog stanja.
Najjednostavniji graf na takvoj ravnini je ravna crta, on odražava funkciju Y(X)=aX + b. Savija li se linija? To znači da objekt mijenja svoje karakteristike tijekom proučavanja.
Zamislite da stojite na krovu zgrade držeći kamen u ispruženoj ruci. Kada ga pustite, poletjet će dolje, počevši se kretati od nulte brzine. Ali u sekundi će svladati 36 kilometara na sat. Kamen će nastaviti dalje ubrzavati, a da biste nacrtali njegovo kretanje na karti, morat ćete izmjeriti njegovu brzinu u nekoliko točaka vremena postavljanjem točaka na osi na odgovarajuća mjesta.
Oznake na horizontalnoj koordinatnoj liniji prema zadanim postavkama imaju nazive X1, X2, X3, a na okomitoj - Y1, Y2, Y3, redom. projiciranjeih na ravninu i pronalazeći sjecišta, nalazimo fragmente rezultirajućeg uzorka. Povezujući ih jednom linijom, dobivamo graf funkcije. U slučaju padajućeg kamena, kvadratna funkcija će izgledati ovako: Y(X)=aXX + bX + c.
Skala
Naravno, nije potrebno stavljati cjelobrojne vrijednosti pored dijeljenja ravnom crtom. Ako razmišljate o kretanju puža koji puže brzinom od 0,03 metra u minuti, postavite kao vrijednosti na koordinatnom razlomku. U tom slučaju postavite interval skale na 0,01 metar.
Posebno je prikladno izvoditi takve crteže u bilježnici u kavezu - ovdje možete odmah vidjeti ima li dovoljno mjesta na listu za vaš grafikon, ako pređete preko margina. Nije teško izračunati svoju snagu, jer je širina ćelije u takvoj bilježnici 0,5 centimetara. Trebalo je - smanjio sliku. Promjene u mjerilu grafikona neće uzrokovati njegovo gubljenje ili promjenu njegovih svojstava.
Koordinate točaka i segmenta
Kada se matematički zadatak daje u lekciji, on može sadržavati parametre raznih geometrijskih oblika, kako u obliku duljina stranica, opsega, površine, tako i u obliku koordinata. U ovom slučaju, možda ćete morati i izgraditi oblik i dobiti neke podatke povezane s njim. Postavlja se pitanje: kako pronaći tražene podatke na koordinatnoj liniji? A kako izgraditi oblik?
Na primjer, govorimo o točki. Tada će se u uvjetu zadatka pojaviti veliko slovo, a u zagradama će se pojaviti nekoliko brojeva, najčešće dva (to znači da ćemo računati u dvodimenzionalnom prostoru). Ako postoje tri broja u zagradama, odvojena točkom-zarezom ili zarezom, onda je ovo trodimenzionalni prostor. Svaka od vrijednosti je koordinata na odgovarajućoj osi: prvo duž horizontale (X), zatim duž vertikale (Y).
Sjećate li se kako nacrtati segment? Položio si ga na geometriji. Ako postoje dvije točke, onda se između njih može povući crta. Njihove koordinate su naznačene u zagradama ako se segment pojavljuje u problemu. Na primjer: A(15, 13) - B(1, 4). Da biste izgradili takvu liniju, morate pronaći i označiti točke na koordinatnoj ravnini, a zatim ih spojiti. To je to!
A bilo koji poligon, kao što znate, može se nacrtati pomoću segmenata. Problem riješen.
Izračuni
Recimo da postoji neki objekt čiji položaj duž osi X karakteriziraju dva broja: počinje u točki s koordinatama (-3) i završava na (+2). Ako želimo znati duljinu ovog objekta, onda moramo od većeg broja oduzeti manji broj. Imajte na umu da negativan broj apsorbira predznak oduzimanja, jer je "minus puta minus jednak plusu". Dakle, zbrajamo (2+3) i dobijemo 5. Ovo je traženi rezultat.
Još jedan primjer: dana nam je krajnja točka i duljina objekta, ali ne i početna točka (i moramo je pronaći). Neka je pozicija poznate točke (6), a veličina promatranog objekta (4). Oduzimanjem duljine od konačne koordinate, dobivamo odgovor. Ukupno: (6 - 4)=2.
Negativni brojevi
U praksi je često potrebno raditi s negativnim vrijednostima. U ovom slučaju hoćemopomaknuti ulijevo duž koordinatne osi. Na primjer, predmet visok 3 centimetra pluta u vodi. Jedna trećina je uronjena u tekućinu, dvije trećine u zrak. Zatim, odabirom površine vode kao osi, dobivamo dva broja pomoću najjednostavnijih aritmetičkih izračuna: gornja točka objekta ima koordinatu (+2), a donja - (-1) centimetar.
Lako je vidjeti da u slučaju ravnine imamo četiri četvrtine koordinatnog pravca. Svaki od njih ima svoj broj. U prvom (gornjem desnom) dijelu bit će točke koje imaju dvije pozitivne koordinate, u drugom - u gornjem lijevom kutu - vrijednosti osi X bit će negativne, a duž osi Y - pozitivne. Treći i četvrti broje se dalje u smjeru suprotnom od kazaljke na satu.
Važna nekretnina
Znate da se pravac može predstaviti kao beskonačan broj točaka. Možemo pažljivo promatrati koliko god želimo bilo koji broj vrijednosti u svakom smjeru osi, ali nećemo susresti one koje se ponavljaju. Čini se naivno i razumljivo, ali ta izjava proizlazi iz važne činjenice: svaki broj odgovara jednoj i samo jednoj točki na koordinatnoj liniji.
Zaključak
Zapamtite da sve osi, figure i, ako je moguće, grafike moraju biti izgrađene na ravnalu. Jedinice mjere nije čovjek izmislio slučajno - ako pogriješite prilikom crtanja, riskirate da vidite drugačiju sliku nego što je trebala biti.
Budite oprezni i točni u crtanju i izračunima. Kao i svaka znanost koja se proučava u školi, matematika voli točnost. Uložite malo truda i dobroevaluacije neće dugo čekati.
