Cilindar je jedna od jednostavnih trodimenzionalnih figura koja se izučava u školskom kolegiju geometrije (odjeljak geometrija tijela). U tom slučaju često se javljaju problemi u izračunavanju volumena i mase cilindra, kao i pri određivanju njegove površine. Odgovori na označena pitanja dati su u ovom članku.
Što je cilindar?
Prije nego pređemo na odgovor na pitanje kolika je masa cilindra i njegov volumen, vrijedno je razmisliti što je to prostorna figura. Odmah treba napomenuti da je cilindar trodimenzionalni objekt. To jest, u prostoru možete izmjeriti tri njegova parametra duž svake od osi u kartezijanskom pravokutnom koordinatnom sustavu. Zapravo, da bi se nedvosmisleno odredile dimenzije cilindra, dovoljno je znati samo dva njegova parametra.
Cilindar je trodimenzionalni lik formiran od dva kruga i cilindrične površine. Da bismo jasnije predstavili ovaj objekt, dovoljno je uzeti pravokutnik i početi ga rotirati oko bilo koje njegove strane, što će biti os rotacije. U ovom slučaju, rotirajući pravokutnik će opisati oblikrotacija - cilindar.
Dvije okrugle površine nazivaju se bazama cilindra, karakterizira ih određeni polumjer. Udaljenost između baza naziva se visina. Dvije baze su međusobno povezane cilindričnom površinom. Pravac koji prolazi kroz središta obiju kružnica naziva se os cilindra.
Zapremina i površina
Kao što možete vidjeti iz gore navedenog, cilindar je definiran s dva parametra: visinom h i polumjerom njegove baze r. Poznavajući ove parametre, moguće je izračunati sve ostale karakteristike razmatranog tijela. Ispod su glavni:
- Površina baza. Ova vrijednost se izračunava po formuli: S1=2pir2, gdje je pi jednako pi jednako 3, 14. Brojka 2 u formuli se pojavljuje jer cilindar ima dvije identične baze.
- Cilindrična površina. Može se izračunati ovako: S2=2pirh. Lako je razumjeti ovu formulu: ako se cilindrična površina izreže okomito s jedne baze na drugu i proširi, tada će se dobiti pravokutnik čija će visina biti jednaka visini cilindra, a širina će odgovarati opseg baze trodimenzionalne figure. Budući da je površina rezultirajućeg pravokutnika umnožak njegovih stranica koje su jednake h i 2pir, dobiva se gornja formula.
- Površina cilindra. Jednako je zbroju površina S1 i S2, dobivamo: S3=S 1 + S2=2pir2 + 2pir h=2pi r(r+h).
- Volume. Ovu vrijednost je lako pronaći, samo trebate pomnožiti površinu jedne baze s visinom figure: V=(S1/2)h=pir 2 h.
Određivanje mase cilindra
Napokon, vrijedi prijeći izravno na temu članka. Kako odrediti masu cilindra? Da biste to učinili, morate znati njegov volumen, formulu za izračun koja je prikazana gore. I gustoća tvari od koje se sastoji. Masa se određuje jednostavnom formulom: m=ρV, gdje je ρ gustoća materijala koji tvori predmet o kojem je riječ.
Koncept gustoće karakterizira masu tvari koja se nalazi u jedinici volumena prostora. Na primjer. Poznato je da željezo ima veću gustoću od drveta. To znači da će u slučaju jednakih količina željeza i drva, prvi imati puno veću masu od drugog (otprilike 16 puta).
Izračunavanje mase bakrenog cilindra
Razmotrite jednostavan problem. Potrebno je pronaći masu cilindra od bakra. Za sigurno, neka cilindar ima promjer od 20 cm i visinu od 10 cm.
Prije nego počnete rješavati problem, trebali biste se pozabaviti izvornim podacima. Polumjer cilindra jednak je polovici njegovog promjera, što znači r=20/2=10 cm, dok je visina h=10 cm. Budući da je cilindar koji se razmatra u zadatku izrađen od bakra, onda, pozivajući se na referentne podatke ispisujemo vrijednost gustoće ovog materijala: ρ=8, 96 g/cm3 (za temperaturu 20 °C).
Sada možete početi rješavati problem. Prvo izračunajmo volumen: V=pir2h=3, 14(10)210=3140 cm3. Tada će masa cilindra biti: m=ρV=8,963140=28134 grama ili približno 28 kilograma.
Treba obratiti pažnju na dimenzije jedinica tijekom njihove uporabe u odgovarajućim formulama. Dakle, u zadatku su svi parametri prikazani u centimetrima i gramima.
Homogeni i šuplji cilindri
Iz prethodno dobivenog rezultata može se vidjeti da bakreni cilindar relativno malih dimenzija (10 cm) ima veliku masu (28 kg). To je zbog ne samo činjenice da je izrađen od teškog materijala, već i činjenice da je homogen. Ovu činjenicu je važno razumjeti, budući da se gornja formula za izračun mase može koristiti samo ako je cilindar u potpunosti (iznutra i izvana) izrađen od istog materijala, odnosno homogen.
U praksi se često koriste šuplji cilindri (na primjer, cilindrične bačve za vodu). Odnosno, napravljeni su od tankih listova nekog materijala, ali iznutra su prazni. Za šuplji cilindar, navedena formula za izračunavanje mase ne može se koristiti.
Izračunavanje mase šupljeg cilindra
Zanimljivo je izračunati koliku će masu imati bakreni cilindar ako je unutra prazan. Na primjer, neka bude izrađen od tankog bakrenog lima debljine samo d=2 mm.
Da biste riješili ovaj problem, morate pronaći volumen samog bakra od kojeg je predmet napravljen. Ne volumen cilindra. Budući da je debljinalim je mali u usporedbi s dimenzijama cilindra (d=2 mm i r=10 cm), tada se volumen bakra od kojeg je predmet izrađen može naći množenjem cijele površine cilindra s debljine bakrenog lima, dobivamo: V=dS 3=d2pir(r+h). Zamjenom podataka iz prethodnog zadatka dobivamo: V=0,223, 1410(10+10)=251,2 cm3. Masa šupljeg cilindra može se dobiti množenjem dobivenog volumena bakra, koji je bio potreban za njegovu proizvodnju, gustoćom bakra: m \u003d 251,28,96 \u003d 2251 g ili 2,3 kg. To jest, razmatrani šuplji cilindar teži 12 (28, 1/2, 3) puta manje od homogenog.
