Paralelizam ravnina je koncept koji se prvi put pojavio u euklidskoj geometriji prije više od dvije tisuće godina.
Glavne karakteristike klasične geometrije
Rođenje ove znanstvene discipline povezuje se s poznatim djelom starogrčkog mislioca Euklida, koji je napisao pamflet "Počeci" u trećem stoljeću prije Krista. Podijeljeni u trinaest knjiga, Elementi su bili najviše dostignuće sve drevne matematike i postavili su temeljne postulate povezane sa svojstvima ravnih figura.
Klasični uvjet za paralelnost ravnina formuliran je na sljedeći način: dvije ravnine se mogu nazvati paralelnim ako nemaju zajedničke točke jedna s drugom. Ovo je bio peti postulat Euklidskog rada.
Svojstva paralelnih ravnina
U euklidskoj geometriji obično ih je pet:
Prvo svojstvo (opisuje paralelizam ravnina i njihovu jedinstvenost). Kroz jednu točku koja leži izvan određene zadane ravnine, možemo povući jednu i samo jednu ravninu paralelnu s njom
- Drugo svojstvo (također se naziva svojstvo tri paralele). Kad su dva avionaparalelni s trećim, također su paralelni jedan s drugim.
Treće svojstvo (drugim riječima, zove se svojstvo ravne linije koja siječe paralelizam ravnina). Ako jedna ravna linija siječe jednu od ovih paralelnih ravnina, tada će presijecati drugu
Četvrto svojstvo (svojstvo ravnih linija rezanih na ravninama paralelnim jedna s drugom). Kada se dvije paralelne ravnine sijeku s trećom (pod bilo kojim kutom), njihove su presječne linije također paralelne
Peto svojstvo (svojstvo koje opisuje segmente različitih paralelnih linija koje su zatvorene između ravnina paralelnih jedna s drugom). Segmenti tih paralelnih pravaca koji su zatvoreni između dvije paralelne ravnine nužno su jednaki
Paralelizam ravnina u neeuklidskim geometrijama
Takvi pristupi su, posebno, geometrija Lobačevskog i Riemanna. Ako je Euklidova geometrija ostvarena na ravnim prostorima, onda je geometrija Lobačevskog ostvarena u negativno zakrivljenim prostorima (jednostavno zakrivljenim), a u Riemannovoj nalazi svoju realizaciju u pozitivno zakrivljenim prostorima (drugim riječima, sferama). Postoji vrlo uobičajeno stereotipno mišljenje da se paralelne ravnine Lobačevskog (i prave) sijeku.
Međutim, to nije točno. Doista, rođenje hiperboličke geometrije bilo je povezano s dokazom Euklidova petog postulata i promjenomgledišta na to, međutim, sama definicija paralelnih ravnina i pravaca implicira da se one ne mogu križati ni kod Lobačevskog ni kod Riemanna, bez obzira u kojim se prostorima realiziraju. A promjena pogleda i formulacija bila je sljedeća. Postulat da se samo jedna paralelna ravnina može povući kroz točku koja ne leži na danoj ravnini zamijenjena je drugom formulacijom: kroz točku koja ne leži na određenoj ravnini, najmanje dvije prave koje leže u istu ravninu kao zadanu i ne sijeku je.
