Tema "aritmetička progresija" izučava se u općem tečaju algebre u školama u 9. razredu. Ova je tema važna za daljnje dublje proučavanje matematike brojevnih nizova. U ovom članku ćemo se upoznati s aritmetičkom progresijom, njenom razlikom, kao i s tipičnim zadacima s kojima se školarci mogu suočiti.
Koncept algebarske progresije
Numerička progresija je niz brojeva u kojem se svaki sljedeći element može dobiti iz prethodnog, ako se primijeni neki matematički zakon. Postoje dvije jednostavne vrste progresije: geometrijska i aritmetička, koja se također naziva algebarska. Zaustavimo se na tome detaljnije.
Zamislimo neki racionalni broj, označimo ga simbolom a1, gdje indeks označava njegov redni broj u nizu koji se razmatra. Dodajmo neki drugi broj a1 , označimo ga d. Zatim drugielement serije može se reflektirati na sljedeći način: a2=a1+d. Sada ponovno dodajte d, dobivamo: a3=a2+d. Nastavljajući ovu matematičku operaciju, možete dobiti cijeli niz brojeva, koji će se zvati aritmetička progresija.
Kao što se može razumjeti iz gore navedenog, da biste pronašli n-ti element ovog niza, morate koristiti formulu: a =a1+ (n -1)d. Doista, zamjenom n=1 u izraz, dobivamo a1=a1, ako je n=2, tada formula implicira: a2=a1 + 1d, i tako dalje.
Na primjer, ako je razlika aritmetičke progresije 5, a a1=1, to znači da brojčani niz dotične vrste izgleda ovako: 1, 6, 11, 16, 21, … Kao što vidite, svaki njegov član veći je od prethodnog za 5.
Formule za razliku aritmetičke progresije
Iz gornje definicije razmatranog niza brojeva proizlazi da da biste ga odredili, morate znati dva broja: a1 i d. Potonje se zove razlika ove progresije. Jedinstveno određuje ponašanje cijele serije. Doista, ako je d pozitivan, tada će se niz brojeva stalno povećavati, naprotiv, u slučaju negativnog d, brojevi u nizu će se povećavati samo po modulu, dok će njihova apsolutna vrijednost opadati s povećanjem broja n.
Koja je razlika u aritmetičkoj progresiji? Razmotrite dvije glavne formule koje se koriste za izračunavanje ove vrijednosti:
- d=an+1-a , ova formula izravno slijedi iz definicije dotičnog brojevnog niza.
- d=(-a1+a)/(n-1), ovaj izraz se dobiva izražavanjem d iz dane formule u prethodnom stavku članka. Imajte na umu da ovaj izraz postaje neodređen (0/0) ako je n=1. To je zbog činjenice da je potrebno poznavati barem 2 elementa niza kako bi se utvrdila njegova razlika.
Ove dvije osnovne formule koriste se za rješavanje bilo kojeg problema pronalaženja razlike u progresiji. Međutim, postoji još jedna formula koju također trebate znati.
Zbroj prvih elemenata
Formulu koja se može koristiti za određivanje zbroja bilo kojeg broja članova algebarske progresije, prema povijesnim dokazima, prvi je dobio "princ" matematike iz 18. stoljeća, Carl Gauss. Njemački znanstvenik, dok je još bio dječak u osnovnim razredima seoske škole, primijetio je da za zbrajanje prirodnih brojeva u nizu od 1 do 100 prvo morate zbrojiti prvi i zadnji element (rezultirajuća vrijednost će biti jednaka na zbroj pretposljednjeg i drugog, pretposljednjeg i trećeg elementa i tako dalje), a zatim ovaj broj treba pomnožiti s brojem ovih iznosa, odnosno s 50.
Formula koja odražava navedeni rezultat na određenom primjeru može se generalizirati na proizvoljan slučaj. Izgledat će ovako: S =n/2(a +a1). Imajte na umu da za pronalaženje navedene vrijednosti nije potrebno poznavanje razlike d,ako su poznata dva pojma napredovanja (a i a1).
Primjer 1. Odredite razliku, znajući dva člana niza a1 i an
Pokažimo kako primijeniti formule spomenute gore u članku. Navedimo jednostavan primjer: razlika aritmetičke progresije je nepoznata, potrebno je odrediti čemu će biti jednaka ako je a13=-5, 6 i a1 =-12, 1.
Budući da znamo vrijednosti dvaju elemenata brojevnog niza, a jedan od njih je prvi broj, možemo koristiti formulu br. 2 da odredimo razliku d. Imamo: d=(-1(-12, 1)+(-5, 6))/12=0. 54167. U izrazu smo koristili vrijednost n=13, budući da je član s ovim rednim brojem poznato.
Rezultirajuća razlika ukazuje da se progresija povećava, unatoč činjenici da elementi navedeni u uvjetu problema imaju negativnu vrijednost. Može se vidjeti da a13>a1, iako |a13|<|a 1 |.
Primjer 2. Pozitivni članovi progresije u primjeru 1
Upotrijebimo rezultat dobiven u prethodnom primjeru za rješavanje novog problema. Formulira se na sljedeći način: od kojeg rednog broja elementi progresije u primjeru 1 počinju uzimati pozitivne vrijednosti?
Kao što je prikazano, progresija u kojoj je a1=-12, 1 i d=0. 54167 raste, pa će od nekog broja brojevi početi dobivati samo pozitivne vrijednosti. Da bi se odredio ovaj broj n, potrebno je riješiti jednostavnu nejednakost, koja jematematički zapisano na sljedeći način: a >0 ili, koristeći odgovarajuću formulu, prepisujemo nejednakost: a1 + (n-1)d>0. Potrebno je pronaći nepoznato n, izrazimo to: n>-1a1/d + 1. Sada ostaje zamijeniti poznate vrijednosti razlike i prvog člana niza. Dobivamo: n>-1(-12, 1) /0, 54167 + 1=23, 338 ili n>23, 338. Budući da n može poprimiti samo cjelobrojne vrijednosti, iz rezultirajuće nejednakosti slijedi da bilo koji član niza koji će imati broj veći od 23 bit će pozitivan.
Provjerite svoj odgovor korištenjem gornje formule za izračunavanje 23. i 24. elementa ove aritmetičke progresije. Imamo: a23=-12, 1 + 220, 54167=-0, 18326 (negativan broj); a24=-12, 1 + 230. 54167=0,3584 (pozitivna vrijednost). Dakle, dobiveni rezultat je točan: počevši od n=24, svi članovi niza brojeva bit će veći od nule.
Primjer 3. Koliko će trupaca stati?
Dajmo jedan zanimljiv problem: tijekom sječe odlučeno je slagati piljene trupce jedno na drugo kao što je prikazano na donjoj slici. Koliko se trupaca može složiti na ovaj način, znajući da će ukupno stati 10 redaka?
U ovakvom načinu slaganja trupaca može se primijetiti jedna zanimljivost: svaki sljedeći red će sadržavati jedan dnevnik manje od prethodnog, odnosno postoji algebarska progresija čija je razlika d=1. Uz pretpostavku da je broj dnevnika u svakom retku član ove progresije,i također s obzirom da je a1=1 (samo jedan dnevnik stane na sam vrh), nalazimo broj a10. Imamo: a10=1 + 1(10-1)=10. To jest, u 10. redu, koji leži na tlu, bit će 10 trupaca.
Ukupni iznos ove "piramidalne" konstrukcije može se dobiti pomoću Gaussove formule. Dobivamo: S10=10/2(10+1)=55 trupaca.
