Jedno od karakterističnih svojstava bilo kojeg vala je njegova sposobnost difrakcije na preprekama, čija je veličina usporediva s valnom duljinom ovog vala. Ovo svojstvo koristi se u takozvanim difrakcijskim rešetkama. Što su oni i kako se mogu koristiti za analizu spektra emisije i apsorpcije različitih materijala, raspravlja se u članku.
Fenomen difrakcije
Ovaj fenomen se sastoji u promjeni putanje pravocrtnog širenja vala kada se na njegovom putu pojavi prepreka. Za razliku od refrakcije i refleksije, difrakcija je uočljiva samo na vrlo malim preprekama čije su geometrijske dimenzije reda valne duljine. Postoje dvije vrste difrakcije:
- val koji se savija oko objekta kada je valna duljina mnogo veća od veličine ovog objekta;
- raspršenje vala pri prolasku kroz rupe različitih geometrijskih oblika, kada su dimenzije rupa manje od valne duljine.
Fenomen difrakcije karakterističan je za zvučne, morske i elektromagnetske valove. Dalje u članku razmatrat ćemo difrakcijsku rešetku samo za svjetlost.
Fenomen interferencije
Difrakcijski uzorci koji se pojavljuju na raznim preprekama (okrugle rupe, utori i rešetke) rezultat su ne samo difrakcije, već i interferencije. Bit potonjeg je superpozicija valova jedni na druge, koje emitiraju različiti izvori. Ako ovi izvori zrače valove dok održavaju faznu razliku između sebe (svojstvo koherencije), tada se može promatrati stabilan interferentni uzorak u vremenu.
Položaj maksimuma (svijetla područja) i minimuma (tamne zone) objašnjava se na sljedeći način: ako dva vala stignu u danu točku u antifazi (jedan s maksimumom, a drugi s minimalnom apsolutnom amplitudom), tada se međusobno "uništavaju", a na točki se promatra minimum. Naprotiv, ako dva vala dođu u istoj fazi do točke, tada će se međusobno pojačati (maksimalno).
Obje pojave je prvi opisao Englez Thomas Young 1801. godine, kada je proučavao difrakciju na dva proreza. Međutim, Talijan Grimaldi prvi je uočio ovaj fenomen 1648. godine, kada je proučavao difrakcijski uzorak koji daje sunčeva svjetlost koja prolazi kroz malu rupu. Grimaldi nije mogao objasniti rezultate svojih eksperimenata.
Matematička metoda korištena za proučavanje difrakcije
Ova metoda se naziva Huygens-Fresnelov princip. Sastoji se u tvrdnji da se u procesuširenja fronte vala, svaka njegova točka je izvor sekundarnih valova, čija interferencija određuje rezultirajuću oscilaciju u proizvoljnoj točki koja se razmatra.
Opisani princip razvio je Augustin Fresnel u prvoj polovici 19. stoljeća. U isto vrijeme, Fresnel je polazio od ideja valne teorije Christiana Huygensa.
Iako Huygens-Fresnelov princip nije teoretski rigorozan, uspješno se koristio za matematički opisivanje eksperimenata s difrakcijom i interferencijom.
Difrakcija u bližem i daljem polju
Difrakcija je prilično složen fenomen, za čije točno matematičko rješenje je potrebno razmotriti Maxwellovu teoriju elektromagnetizma. Stoga se u praksi razmatraju samo posebni slučajevi ovog fenomena, koristeći različite aproksimacije. Ako je valna fronta koja upada na prepreku ravna, tada se razlikuju dvije vrste difrakcije:
- u bliskom polju, ili Fresnelova difrakcija;
- u dalekom polju, ili Fraunhoferova difrakcija.
Riječi "daleko i blisko polje" znače udaljenost do zaslona na kojoj se promatra uzorak difrakcije.
Prijelaz između Fraunhoferove i Fresnelove difrakcije može se procijeniti izračunavanjem Fresnelovog broja za određeni slučaj. Ovaj broj je definiran na sljedeći način:
F=a2/(Dλ).
Ovdje λ je valna duljina svjetlosti, D je udaljenost do zaslona, a je veličina objekta na kojem se javlja difrakcija.
Ako je F<1, razmisliteveć aproksimacije bliskog polja.
Mnogi praktični slučajevi, uključujući korištenje difrakcijske rešetke, razmatraju se u aproksimaciji dalekog polja.
Koncept rešetke na kojoj se valovi lome
Ova rešetka je mali plosnati objekt, na koji je na neki način primijenjena periodična struktura, poput pruga ili žljebova. Važan parametar takve rešetke je broj traka po jedinici duljine (obično 1 mm). Ovaj parametar se naziva konstanta rešetke. Nadalje, označit ćemo ga simbolom N. Recipročna vrijednost N određuje udaljenost između susjednih traka. Označimo ga slovom d, a zatim:
d=1/N.
Kada ravni val padne na takvu rešetku, doživljava periodične perturbacije. Potonji se prikazuju na ekranu u obliku određene slike, koja je rezultat interferencije valova.
Vrste rešetki
Postoje dvije vrste difrakcijskih rešetki:
- prolazno ili transparentno;
- reflektirajuće.
Prvi se izrađuju primjenom neprozirnih poteza na staklu. S takvim pločama rade u laboratorijima, koriste se u spektroskopima.
Drugi tip, odnosno reflektirajuće rešetke, izrađuju se primjenom povremenih žljebova na polirani materijal. Upečatljiv svakodnevni primjer takve rešetke je plastični CD ili DVD disk.
rešetkasta jednadžba
S obzirom na Fraunhoferovu difrakciju na rešetki, za intenzitet svjetlosti u uzorku difrakcije može se napisati sljedeći izraz:
I(θ)=I0(sin(β)/β)2[sin(Nα) /sin(α)]2, gdje je
α=pid/λ(sin(θ)-sin(θ0));
β=pia/λ(sin(θ)-sin(θ0)).
Parametar a je širina jednog utora, a parametar d je udaljenost između njih. Važna karakteristika u izrazu za I(θ) je kut θ. Ovo je kut između središnje okomice na ravninu rešetke i određene točke u uzorku difrakcije. U eksperimentima se mjeri pomoću goniometra.
U prikazanoj formuli, izraz u zagradama određuje difrakciju od jednog proreza, a izraz u uglastim zagradama rezultat je interferencije valova. Analizirajući ga za uvjet maksimuma interferencije, možemo doći do sljedeće formule:
sin(θm)-sin(θ0)=mλ/d.
Ugao θ0 karakterizira upadni val na rešetku. Ako je front vala paralelan s njim, tada je θ0=0, a posljednji izraz postaje:
sin(θm)=mλ/d.
Ova formula se zove jednadžba difrakcijske rešetke. Vrijednost m poprima sve cijele brojeve, uključujući negativne i nulu, naziva se red difrakcije.
Analiza jednadžbe rešetke
U prethodnom odlomku saznali smoda je položaj glavnih maksimuma opisan jednadžbom:
sin(θm)=mλ/d.
Kako se to može provesti u praksi? Uglavnom se koristi kada se svjetlost koja upada na difrakcijsku rešetku s periodom d razloži na pojedinačne boje. Što je valna duljina λ duža, to će biti veća kutna udaljenost do maksimuma koji joj odgovara. Mjerenje odgovarajućeg θm za svaki val omogućuje vam da izračunate njegovu duljinu, a time i odredite cijeli spektar zrači objekta. Uspoređujući ovaj spektar s podacima iz poznate baze podataka, možemo reći koji su ga kemijski elementi emitirali.
Navedeni proces se koristi u spektrometrima.
rezolucija mreže
Podrazumijeva se takva razlika između dvije valne duljine koje se pojavljuju u difrakcijskom uzorku kao zasebne linije. Činjenica je da svaka linija ima određenu debljinu, kada se dva vala s bliskim vrijednostima λ i λ + Δλ difraktiraju, tada se linije koje im odgovaraju na slici mogu spojiti u jednu. U potonjem slučaju, kaže se da je rezolucija rešetke manja od Δλ.
Izostavljajući argumente u vezi s izvođenjem formule za rezoluciju rešetke, predstavljamo njen konačni oblik:
Δλ>λ/(mN).
Ova mala formula omogućuje nam da zaključimo: pomoću rešetke možete odvojiti bliže valne duljine (Δλ), što je valna duljina svjetlosti λ duža, to je veći broj udaraca po jedinici duljine(konstanta rešetke N), a što je veći red difrakcije. Zadržimo se na posljednjem.
Ako pogledate difrakcijski uzorak, onda s povećanjem m, stvarno dolazi do povećanja udaljenosti između susjednih valnih duljina. Međutim, da bi se koristili visoki difrakcijski redovi, potrebno je da intenzitet svjetlosti na njima bude dovoljan za mjerenja. Na konvencionalnoj difrakcijskoj rešetki brzo pada s povećanjem m. Stoga se u te svrhe koriste posebne rešetke koje su izrađene na način da preraspodijele intenzitet svjetlosti u korist velikih m. U pravilu su to reflektirajuće rešetke na kojima se difrakcijski uzorak dobiva za velike θ0.
Dalje, razmislite o korištenju jednadžbe rešetke za rješavanje nekoliko problema.
Zadaci za određivanje kutova difrakcije, reda difrakcije i konstante rešetke
Dajmo primjere rješavanja nekoliko problema:
Da bi se odredio period difrakcijske rešetke, provodi se sljedeći pokus: uzima se monokromatski izvor svjetlosti čija je valna duljina poznata vrijednost. Uz pomoć leća nastaje paralelna valna fronta, odnosno stvaraju se uvjeti za Fraunhoferovu difrakciju. Tada se ova fronta usmjerava na difrakcijsku rešetku čiji je period nepoznat. Na dobivenoj slici kutovi za različite redoslijede mjere se goniometrom. Tada formula izračunava vrijednost nepoznatog razdoblja. Provedimo ovaj izračun na konkretnom primjeru
Neka valna duljina svjetlosti bude 500 nm, a kut za prvi red difrakcije 21o. Na temelju ovih podataka potrebno je odrediti period difrakcijske rešetke d.
Upotrebom jednadžbe rešetke izrazite d i uključite podatke:
d=mλ/sin(θm)=150010-9/sin(21 o) ≈ 1,4 µm.
Tada je konstanta rešetke N:
N=1/d ≈ 714 redaka po 1 mm.
Svjetlost normalno pada na difrakcijsku rešetku s periodom od 5 mikrona. Znajući da je valna duljina λ=600 nm, potrebno je pronaći kutove pod kojima će se pojaviti maksimumi prvog i drugog reda
Za prvi maksimum dobivamo:
sin(θ1)=λ/d=>θ1=arcsin(λ/d) ≈ 6, 9 o.
Drugi maksimum će se pojaviti za kut θ2:
θ2=arcsin(2λ/d) ≈ 13, 9o.
Monokromatsko svjetlo pada na difrakcijsku rešetku s periodom od 2 mikrona. Njegova valna duljina je 550 nm. Potrebno je pronaći koliko će se redoslijeda difrakcije pojaviti u rezultirajućoj slici na ekranu
Ova vrsta problema rješava se na sljedeći način: prvo treba odrediti ovisnost kuta θm o redoslijedu difrakcije za uvjete problema. Nakon toga, bit će potrebno uzeti u obzir da funkcija sinusa ne može imati vrijednosti veće od jedan. Posljednja činjenica omogućit će nam da odgovorimo na ovaj problem. Izvršimo opisane radnje:
sin(θm)=mλ/d=0, 275m.
Ova jednakost pokazuje da kada je m=4, izraz na desnoj strani postaje jednak 1,1, a pri m=3 bit će jednako 0,825. To znači da korištenjem difrakcijske rešetke s periodom od 2 μm na valnoj duljini od 550 nm možete dobiti maksimalan 3. red difrakcije.
Problem izračunavanja rezolucije rešetke
Pretpostavimo da će za eksperiment koristiti difrakcijsku rešetku s periodom od 10 mikrona. Potrebno je izračunati za koju se minimalnu valnu duljinu valovi u blizini λ=580 nm mogu razlikovati tako da se na ekranu pojavljuju kao zasebni maksimumi.
Odgovor na ovaj problem povezan je s određivanjem rezolucije razmatrane rešetke za danu valnu duljinu. Dakle, dva vala se mogu razlikovati za Δλ>λ/(mN). Budući da je konstanta rešetke obrnuto proporcionalna periodu d, ovaj izraz se može napisati na sljedeći način:
Δλ>λd/m.
Sada za valnu duljinu λ=580 nm pišemo jednadžbu rešetke:
sin(θm)=mλ/d=0, 058m.
Tamo gdje dobivamo da će maksimalni red m biti 17. Zamjenom ovog broja u formulu za Δλ, imamo:
Δλ>58010-91010-6/17=3, 410- 13 ili 0,00034 nm.
Dobili smo vrlo visoku rezoluciju kada je period difrakcijske rešetke 10 mikrona. U praksi se to u pravilu ne postiže zbog niskih intenziteta maksimuma visokih difrakcijskih redova.
