Sekunde, tangente - sve se to moglo čuti stotine puta na satovima geometrije. Ali matura je gotova, godine prolaze, a sva ta znanja se zaboravljaju. Što treba zapamtiti?
Essence
Izraz "tangenta na kružnicu" vjerojatno je svima poznat. Ali malo je vjerojatno da će svatko moći brzo formulirati njegovu definiciju. U međuvremenu, tangenta je takva ravna linija koja leži u istoj ravnini s kružnicom koja je siječe samo u jednoj točki. Možda ih postoji velika raznolikost, ali svi imaju ista svojstva, o kojima će biti riječi u nastavku. Kao što možete pretpostaviti, dodirna točka je mjesto gdje se sijeku kružnica i linija. U svakom slučaju, to je jedan, ali ako ih ima više, onda će to biti sekanta.
Povijest otkrića i proučavanja
Koncept tangente pojavio se u antici. Konstrukcija ovih ravnih linija, najprije do kružnice, a zatim do elipsa, parabola i hiperbole uz pomoć ravnala i šestara, izvedena je već u početnim fazama razvoja geometrije. Naravno, povijest nije sačuvala ime otkrića, aliočito je da su i u to vrijeme ljudi bili prilično svjesni svojstava tangente na kružnicu.
U modernim vremenima interes za ovaj fenomen ponovno je rasplamsao - započeo je novi krug proučavanja ovog koncepta, u kombinaciji s otkrivanjem novih krivulja. Dakle, Galileo je uveo pojam cikloide, a Fermat i Descartes su izgradili tangentu na nju. Što se tiče krugova, čini se da za drevne na ovim prostorima više nema tajni.
Svojstva
Polumjer nacrtan do točke presjeka bit će okomit na pravu. Ovo je
glavno, ali ne i jedino svojstvo koje ima tangenta na kružnicu. Još jedna važna značajka uključuje već dvije ravne linije. Dakle, kroz jednu točku koja leži izvan kružnice mogu se povući dvije tangente, dok će im segmenti biti jednaki. Postoji još jedan teorem o ovoj temi, ali se rijetko obrađuje u okviru standardnog školskog tečaja, iako je izuzetno prikladan za rješavanje nekih problema. Zvuči ovako. Iz jedne točke koja se nalazi izvan kružnice, na nju se povlače tangenta i sekansa. Nastaju segmenti AB, AC i AD. A je sjecište pravaca, B je dodirna točka, C i D su sjecišta. U ovom slučaju vrijedit će sljedeća jednakost: duljina tangente na kružnicu, na kvadrat, bit će jednaka umnošku segmenata AC i AD.
Iz navedenog proizlazi važna posljedica. Za svaku točku kružnice možete izgraditi tangentu, ali samo jednu. Dokaz za to je vrlo jednostavan: teoretski spuštajući na nju okomicu iz polumjera, saznajemo da je formiranatrokut ne može postojati. A to znači da je tangenta jedina.
Zgrada
Među ostalim problemima u geometriji, postoji posebna kategorija, u pravilu, a ne
vole učenici i studenti. Za rješavanje zadataka iz ove kategorije potrebni su vam samo šestar i ravnalo. To su građevinski zadaci. Postoje i metode za konstruiranje tangente.
Dakle, zadana je kružnica i točka koja leži izvan njegovih granica. I kroz njih je potrebno povući tangentu. Kako to učiniti? Prije svega, trebate nacrtati segment između središta kružnice O i zadane točke. Zatim ga pomoću šestara podijelite na pola. Da biste to učinili, trebate postaviti radijus - nešto više od polovice udaljenosti između središta izvorne kružnice i zadane točke. Nakon toga morate izgraditi dva luka koja se sijeku. Štoviše, polumjer kompasa nije potrebno mijenjati, a središte svakog dijela kruga bit će početna točka, odnosno O. Sjecišta lukova moraju biti povezana, što će segment podijeliti na pola. Postavite radijus na kompasu jednak ovoj udaljenosti. Zatim, sa središtem u točki raskrižja, nacrtajte još jedan krug. Na njoj će ležati i početna točka i O. U ovom slučaju bit će još dva sjecišta s kružnicom danom u zadatku. Oni će biti dodirne točke za početno danu točku.
Zanimljivo
Izgradnja tangenti na kružnicu dovela je do rođenja
diferencijalni račun. Prvi rad na ovu temu bio jeobjavio poznati njemački matematičar Leibniz. Predvidio je mogućnost pronalaženja maksimuma, minimuma i tangenta, bez obzira na frakcijske i iracionalne vrijednosti. Pa, sada se koristi i za mnoge druge izračune.
Osim toga, tangenta na kružnicu povezana je s geometrijskim značenjem tangente. Odatle dolazi i njegovo ime. U prijevodu s latinskog, tangens znači "tangenta". Dakle, ovaj koncept nije povezan samo s geometrijom i diferencijalnim računom, već i s trigonometrijom.
Dva kruga
Ne utječe uvijek tangenta na samo jedan oblik. Ako se u jedan krug može povući ogroman broj ravnih linija, zašto onda ne i obrnuto? Limenka. Ali zadatak je u ovom slučaju ozbiljno kompliciran, jer tangenta na dvije kružnice možda ne prolazi ni kroz jednu točku, a relativni položaj svih ovih figura može biti vrlo
drugačije.
Vrste i sorte
Kada su u pitanju dvije kružnice i jedna ili više linija, čak i ako se zna da su to tangente, ne postaje odmah jasno kako se sve te figure nalaze u međusobnom odnosu. Na temelju toga postoji nekoliko sorti. Dakle, kružnice mogu imati jednu ili dvije zajedničke točke ili ih uopće ne imati. U prvom slučaju će se križati, au drugom će se dodirivati. A ovdje postoje dvije varijante. Ako je jedan krug, takoreći, ugrađen u drugi, tada se dodir naziva unutarnjim, ako ne, onda vanjskim. razumjeti obostranoPoložaj figura je moguć ne samo na temelju crteža, već i na temelju podataka o zbroju njihovih polumjera i udaljenosti između njihovih središta. Ako su te dvije veličine jednake, krugovi se dodiruju. Ako je prvi veći, sijeku se, a ako je manji, onda nemaju zajedničkih točaka.
Isto s ravnim linijama. Za bilo koje dvije kružnice koje nemaju zajedničke točke, možete
konstruiraj četiri tangente. Dvije od njih će se križati između figura, nazivaju se unutarnjim. Nekoliko drugih su vanjski.
Ako govorimo o krugovima koji imaju jednu zajedničku točku, onda je zadatak uvelike pojednostavljen. Činjenica je da će za svaki međusobni raspored u ovom slučaju imati samo jednu tangentu. I proći će kroz točku njihova raskrižja. Dakle, konstrukcija poteškoća neće uzrokovati.
Ako figure imaju dvije točke presjeka, tada se za njih može konstruirati ravna linija, tangentna na kružnicu, i jednu i drugu, ali samo vanjsku. Rješenje ovog problema slično je onome što će biti razmotreno u nastavku.
Rješavanje problema
I unutarnje i vanjske tangente na dvije kružnice nije tako lako konstruirati, iako se ovaj problem može riješiti. Činjenica je da se za to koristi pomoćna figura, pa sami razmislite o ovoj metodi
prilično problematično. Dakle, zadane su dvije kružnice s različitim polumjerima i središtima O1 i O2. Za njih trebate izgraditi dva para tangenta.
Prije svega, blizu središta većegkrugove treba graditi pomoćne. U tom slučaju, razlika između polumjera dviju početnih figura mora se utvrditi na šestari. Tangente na pomoćnu kružnicu grade se iz središta manje kružnice. Nakon toga, iz O1 i O2, na te se prave povlače okomice dok se ne sijeku s izvornim likovima. Kao što slijedi iz glavnog svojstva tangente, tražene točke na obje kružnice su pronađene. Problem riješen, barem prvi dio.
Da biste konstruirali unutarnje tangente, morat ćete praktički riješiti
sličan zadatak. Opet je potrebna pomoćna figura, ali ovaj put će njezin polumjer biti jednak zbroju izvornih. Tangente se na njega konstruiraju iz središta jedne od zadanih kružnica. Daljnji tijek rješenja može se razumjeti iz prethodnog primjera.
Tangencija na kružnicu ili čak dvije ili više nije tako težak zadatak. Naravno, matematičari su odavno prestali rješavati takve probleme ručno i povjeravaju izračune posebnim programima. Ali nemojte misliti da sada nije potrebno to moći učiniti sami, jer da biste ispravno formulirali zadatak za računalo, morate puno učiniti i razumjeti. Nažalost, postoji bojazan da će nakon završnog prijelaza na testni oblik kontrole znanja, građevinski zadaci učenicima stvarati sve više poteškoća.
Što se tiče pronalaženja zajedničkih tangenti za više kružnica, to nije uvijek moguće, čak i ako leže u istoj ravnini. Ali u nekim slučajevima možete pronaći takvu ravnu liniju.
Životni primjeri
U praksi se često susreće zajednička tangenta na dvije kružnice, iako nije uvijek uočljiva. Transporteri, blok sustavi, remenice prijenosa remenica, napetost konca u šivaćem stroju, pa čak i samo lanac bicikla - sve su to primjeri iz života. Stoga nemojte misliti da geometrijski problemi ostaju samo u teoriji: u inženjerstvu, fizici, građevinarstvu i mnogim drugim područjima, oni nalaze praktičnu primjenu.
