Inverzne trigonometrijske funkcije tradicionalno uzrokuju poteškoće školarcima. Sposobnost izračunavanja arc tangenta broja može biti potrebna u zadacima USE u planimetriji i stereometriji. Da biste uspješno riješili jednadžbu i problem s parametrom, morate razumjeti svojstva funkcije tangente luka.
Definicija
Lučna tangenta broja x je broj y čiji je tangent x. Ovo je matematička definicija.
Funkcija arktangenta je zapisana kao y=arctg x.
Općenitije: y=Carctg (kx + a).
Izračun
Da biste razumjeli kako funkcionira inverzna trigonometrijska funkcija arktangensa, prvo se morate sjetiti kako se određuje vrijednost tangente broja. Pogledajmo pobliže.
Tangens od x je omjer sinusa od x i kosinusa od x. Ako je poznata barem jedna od ove dvije veličine, tada se modul druge može dobiti iz osnovnog trigonometrijskog identiteta:
sin2 x + cos2 x=1.
Doduše, bit će potrebna procjena za otključavanje modula.
Akopoznat je sam broj, a ne njegove trigonometrijske karakteristike, tada je u većini slučajeva potrebno približno procijeniti tangens broja pozivajući se na Bradisovu tablicu.
Iznimke su takozvane standardne vrijednosti.
Oni su predstavljeni u sljedećoj tablici:
Pored navedenog, standardne se mogu smatrati sve vrijednosti dobivene iz podataka dodavanjem broja u obliku ½πk (k - bilo koji cijeli broj, π=3, 14).
Sasvim isto vrijedi i za tangentu luka: najčešće se približna vrijednost može vidjeti iz tablice, ali samo nekoliko vrijednosti je sigurno poznato:
U praksi, pri rješavanju zadataka iz školske matematike, uobičajeno je da se odgovor daje u obliku izraza koji sadrži tangentu luka, a ne njegovu približnu procjenu. Na primjer, arctg 6, arctg (-¼).
Izrada grafikona
Budući da tangenta može uzeti bilo koju vrijednost, domena arktangentne funkcije je cijeli brojevni pravac. Objasnimo detaljnije.
Ista tangenta odgovara beskonačnom broju argumenata. Na primjer, ne samo da je tangent nule jednak nuli, već i tangent bilo kojeg broja oblika π k, gdje je k cijeli broj. Stoga su se matematičari složili odabrati vrijednosti za tangente luka iz intervala od -½ π do ½ π. To se mora shvatiti na ovaj način. Raspon funkcije arktangenta je interval (-½ π; ½ π). Krajevi praznine nisu uključeni, jer tangente -½p i ½p ne postoje.
U navedenom intervalu tangenta je kontinuiranapovećava. To znači da se inverzna funkcija tangente luka također kontinuirano povećava na cijeloj brojevnoj liniji, ali ograničena odozgo i odozdo. Kao rezultat, ima dvije horizontalne asimptote: y=-½ π i y=½ π.
U ovom slučaju, tg 0=0, ostale točke presjeka s osi apscise, osim (0;0), graf ne može imati zbog povećanja.
Kao što slijedi iz pariteta tangentne funkcije, arktangent ima slično svojstvo.
Da biste izgradili graf, uzmite nekoliko točaka između standardnih vrijednosti:
Izvod funkcije y=arctg x u bilo kojoj točki izračunava se po formuli:
Imajte na umu da je njegov derivat posvuda pozitivan. To je u skladu s ranije donesenim zaključkom o kontinuiranom povećanju funkcije.
Drugi izvod arktangenta nestaje u točki 0, negativan je za pozitivne vrijednosti argumenta, i obrnuto.
To znači da graf funkcije tangente luka ima točku pregiba na nuli i da je konveksan prema dolje na intervalu (-∞; 0] i prema gore konveksan na intervalu [0; +∞).
