Algebarske nejednakosti ili njihovi sustavi s racionalnim koeficijentima čija se rješenja traže u integralnim ili cijelim brojevima. U pravilu je broj nepoznanica u Diofantovim jednadžbama veći. Stoga su poznate i kao neodređene nejednakosti. U modernoj matematici, gornji koncept se primjenjuje na algebarske jednadžbe čija se rješenja traže u algebarskim cijelim brojevima nekog proširenja polja Q-racionalnih varijabli, polja p-adičnih varijabli, itd.
Porijeklo ovih nejednakosti
Proučavanje Diofantovih jednadžbi nalazi se na granici između teorije brojeva i algebarske geometrije. Pronalaženje rješenja u cjelobrojnim varijablama jedan je od najstarijih matematičkih problema. Već početkom drugog tisućljeća pr. stari Babilonci uspjeli su riješiti sustave jednadžbi s dvije nepoznanice. Ova grana matematike najviše je cvjetala u staroj Grčkoj. Diofantova aritmetika (oko 3. st. poslije Krista) značajan je i glavni izvor koji sadrži različite vrste i sustave jednadžbi.
U ovoj knjizi Diofant je predvidio brojne metode za proučavanje nejednakosti druge i trećestupnja koji su se u potpunosti razvili u 19. stoljeću. Stvaranje teorije racionalnih brojeva od strane ovog istraživača antičke Grčke dovelo je do analize logičkih rješenja neodređenih sustava, koja se sustavno prate u njegovoj knjizi. Iako njegov rad sadrži rješenja specifičnih Diofantovih jednadžbi, postoji razlog vjerovati da je također bio upoznat s nekoliko općih metoda.
Proučavanje ovih nejednakosti obično je povezano s ozbiljnim poteškoćama. Zbog činjenice da sadrže polinome s cjelobrojnim koeficijentima F (x, y1, …, y). Na temelju toga doneseni su zaključci da ne postoji jedinstveni algoritam koji bi se mogao koristiti za određivanje za bilo koji dani x je li jednadžba F (x, y1, …., y ). Situacija je rješiva za y1, …, y . Primjeri takvih polinoma mogu se napisati.
Najjednostavnija nejednakost
ax + by=1, gdje su a i b relativno cijeli i prosti brojevi, ima ogroman broj izvršenja (ako je x0, y0 formira se rezultat, tada se formira par varijabli x=x0 + b i y=y0 -an, gdje je n proizvoljan, također će se smatrati nejednakošću). Drugi primjer Diofantovih jednadžbi je x2 + y2 =z2. Pozitivna integralna rješenja ove nejednadžbe su duljine malih stranica x, y i pravokutnih trokuta, kao i hipotenuza z s cjelobrojnim dimenzijama stranica. Ovi brojevi su poznati kao Pitagorini brojevi. Navedene su sve trojke s obzirom na prostgornje varijable su dane sa x=m2 – n2, y=2mn, z=m2+ n2, gdje su m i n cijeli brojevi i prosti brojevi (m>n>0).
Diofant u svojoj Aritmetici traži racionalna (ne nužno integralna) rješenja posebnih vrsta svojih nejednakosti. Opću teoriju za rješavanje diofantovih jednadžbi prvog stupnja razvio je C. G. Baschet u 17. stoljeću. Drugi znanstvenici početkom 19. stoljeća uglavnom su proučavali slične nejednakosti poput ax2 +bxy + cy2 + dx +ey +f=0, gdje su a, b, c, d, e i f općeniti, heterogeni, s dvije nepoznanice drugog stupnja. Lagrange je u svojoj studiji koristio kontinuirane razlomke. Gauss je za kvadratne oblike razvio opću teoriju koja leži u osnovi nekih vrsta rješenja.
U proučavanju ovih nejednakosti drugog stupnja značajan napredak postignut je tek u 20. stoljeću. A. Thue je otkrio da je Diofantova jednadžba a0x + a1xn- 1 y +…+a y =c, gdje je n≧3, a0, …, a , c su cijeli brojevi, a a0tn + …+ a ne može imati beskonačan broj cjelobrojnih rješenja. Međutim, Thueova metoda nije bila pravilno razvijena. A. Baker je stvorio učinkovite teoreme koji daju procjene performansi nekih jednadžbi ove vrste. BN Delaunay je predložio drugu metodu istraživanja primjenjivu na uži razred ovih nejednakosti. Konkretno, oblik ax3 + y3 =1 potpuno je razrješiv na ovaj način.
Diofantove jednadžbe: metode rješenja
Diofantova teorija ima mnogo smjerova. Dakle, dobro poznati problem u ovom sustavu je hipoteza da ne postoji netrivijalno rješenje Diofantovih jednadžbi xn + y =z n ako je n ≧ 3 (Fermatovo pitanje). Proučavanje cjelobrojnih ispunjenja nejednakosti prirodna je generalizacija problema Pitagorinih trojki. Euler je dobio pozitivno rješenje Fermatovog problema za n=4. Na temelju ovog rezultata, on se odnosi na dokaz nedostajućeg cijelog broja, različitog od nule studija jednadžbe ako je n neparan prost broj.
Studija o odluci nije dovršena. Poteškoće s njegovom provedbom povezane su s činjenicom da jednostavna faktorizacija u prstenu algebarskih cijelih brojeva nije jedinstvena. Teorija djelitelja u ovom sustavu za mnoge klase prostih eksponenata n omogućuje potvrdu valjanosti Fermatovog teorema. Dakle, linearna diofantova jednadžba s dvije nepoznanice ispunjena je postojećim metodama i načinima.
Vrste i vrste opisanih zadataka
Aritmetika prstenova algebarskih cijelih brojeva također se koristi u mnogim drugim problemima i rješenjima Diofantovih jednadžbi. Na primjer, takve metode su primijenjene kada su ispunjene nejednakosti oblika N(a1 x1 +…+ a x)=m, gdje je N(a) norma a, a x1, …, xn Pronađene su integralne racionalne varijable. Ova klasa uključuje Pellovu jednadžbu x2–dy2=1.
Vrijednosti a1, …, a koje se pojavljuju, ove su jednadžbe podijeljene u dvije vrste. Prvi tip - tzv. potpuni oblici - uključuju jednadžbe u kojima među a ima m linearno neovisnih brojeva nad poljem racionalnih varijabli Q, gdje je m=[Q(a1, …, a):Q], u kojem postoji stupanj algebarskih eksponenata Q (a1, …, a ) nad Q. Nepotpune vrste su one u čiji je maksimalni broj a i manji od m.
Puni obrasci su jednostavniji, njihovo proučavanje je dovršeno, a sva rješenja se mogu opisati. Druga vrsta, nepotpuna vrsta, je složenija, a razvoj takve teorije još nije dovršen. Takve se jednadžbe proučavaju korištenjem Diofantovih aproksimacija, koje uključuju nejednakost F(x, y)=C, gdje je F (x, y) nesvodljivi, homogeni polinom stupnja n≧3. Dakle, možemo pretpostaviti da je yi→∞. Prema tome, ako je yi dovoljno velik, tada će nejednakost biti u suprotnosti s teoremom Thuea, Siegela i Rotha, iz čega slijedi da je F(x, y)=C, gdje je F oblik trećeg ili višeg stupnja, nesvodivo ne može imati beskonačan broj rješenja.
Kako riješiti Diofantovu jednadžbu?
Ovaj primjer je prilično uska klasa među svima. Na primjer, unatoč njihovoj jednostavnosti, x3 + y3 + z3=N, i x2 +y 2 +z2 +u2 =N nisu uključeni u ovaj razred. Proučavanje rješenja je prilično pažljivo proučavana grana Diofantovih jednadžbi, gdje je osnova prikaz kvadratnim oblicima brojeva. Lagrangeastvorio teorem koji kaže da ispunjenje postoji za sve prirodne N. Svaki prirodni broj može se predstaviti kao zbroj tri kvadrata (Gaussov teorem), ali ne bi trebao biti oblika 4a (8K- 1), gdje su a i k nenegativni cjelobrojni eksponenti.
Racionalna ili integralna rješenja sustava Diofantove jednadžbe tipa F (x1, …, x)=a, gdje je F (x 1, …, x) je kvadratni oblik s cjelobrojnim koeficijentima. Dakle, prema Minkowski-Hasse teoremu, nejednakost ∑aijxixj=b iji b je racionalan, ima integralno rješenje u realnim i p-adnim brojevima za svaki prosti broj p samo ako je rješiv u ovoj strukturi.
Zbog inherentnih poteškoća, proučavanje brojeva s proizvoljnim oblicima trećeg stupnja i više proučavano je u manjoj mjeri. Glavna metoda izvršenja je metoda trigonometrijskih zbroja. U ovom slučaju, broj rješenja jednadžbe je eksplicitno zapisan u terminima Fourierovog integrala. Nakon toga se metodom okoline izražava broj ispunjenja nejednakosti odgovarajućih podudarnosti. Metoda trigonometrijskih zbroja ovisi o algebarskim značajkama nejednadžbi. Postoji veliki broj elementarnih metoda za rješavanje linearnih Diofantovih jednadžbi.
Diofantska analiza
Odsjek za matematiku čiji je predmet proučavanje integralnih i racionalnih rješenja sustava jednadžbi algebre metodama geometrije, iz istesfere. U drugoj polovici 19. stoljeća, pojava ove teorije brojeva dovela je do proučavanja Diofantovih jednadžbi iz proizvoljnog polja s koeficijentima, a rješenja su razmatrana ili u njemu ili u njegovim prstenovima. Sustav algebarskih funkcija razvijao se paralelno s brojevima. Osnovna analogija između njih dvoje, koju su istaknuli D. Hilbert i, posebno, L. Kronecker, dovela je do ujednačene konstrukcije različitih aritmetičkih koncepata, koji se obično nazivaju globalnim.
Ovo je posebno uočljivo ako su algebarske funkcije koje se proučavaju nad konačnim poljem konstanti jedna varijabla. Koncepti kao što su teorija polja klasa, djelitelj i grananje i rezultati dobra su ilustracija gore navedenog. To je stajalište tek kasnije usvojeno u sustavu Diofantovih nejednakosti, a sustavna istraživanja ne samo s brojčanim koeficijentima, već i s koeficijentima koji su funkcije, započela su tek 1950-ih godina. Jedan od odlučujućih čimbenika u ovom pristupu bio je razvoj algebarske geometrije. Istodobno proučavanje polja brojeva i funkcija, koji nastaju kao dva jednako važna aspekta istog predmeta, ne samo da je dalo elegantne i uvjerljive rezultate, već je dovelo do međusobnog obogaćivanja dviju tema.
U algebarskoj geometriji pojam varijeteta zamjenjuje se neinvarijantnim skupom nejednakosti nad danim poljem K, a njihova rješenja zamjenjuju se racionalnim točkama s vrijednostima u K ili u njegovom konačnom proširenju. U skladu s tim može se reći da je temeljni problem diofantske geometrije proučavanje racionalnih točakaalgebarskog skupa X(K), dok su X određeni brojevi u polju K. Cjelobrojno izvršavanje ima geometrijsko značenje u linearnim Diofantovim jednadžbama.
Studije nejednakosti i opcije izvršenja
Prilikom proučavanja racionalnih (ili integralnih) točaka na algebarskim varijetetima, javlja se prvi problem, a to je njihovo postojanje. Hilbertov deseti problem formuliran je kao problem pronalaženja opće metode za rješavanje ovog problema. U procesu izrade točne definicije algoritma i nakon što je dokazano da takvih izvođenja nema za veliki broj problema, problem je dobio očito negativan rezultat, a najzanimljivije je pitanje definicija klasa diofantovskih jednadžbi. za koje postoji gornji sustav. Najprirodniji pristup, s algebarske točke gledišta, je takozvani Hasseov princip: početno polje K proučava se zajedno s njegovim dovršenjima Kv preko svih mogućih procjena. Budući da je X(K)=X(Kv) nužan uvjet za postojanje, a točka K uzima u obzir da je skup X(Kv) nije prazan za sve v.
Važnost leži u činjenici da spaja dva problema. Drugi je puno jednostavniji, rješiv je poznatim algoritmom. U posebnom slučaju kada je varijanta X projektivna, Hanselova lema i njezine generalizacije omogućuju daljnju redukciju: problem se može svesti na proučavanje racionalnih točaka nad konačnim poljem. Zatim odlučuje izgraditi koncept ili kroz dosljedno istraživanje ili učinkovitije metode.
Zadnjevažno razmatranje je da skupovi X(Kv) nisu prazni za sve osim za konačan broj v, tako da je broj uvjeta uvijek konačan i mogu se učinkovito testirati. Međutim, Hasseov princip ne vrijedi za krivulje stupnjeva. Na primjer, 3x3 + 4y3=5 ima bodove u svim poljima p-adičnih brojeva i u sustavu realnih brojeva, ali nema racionalnih točaka.
Ova metoda poslužila je kao početna točka za konstruiranje koncepta koji opisuje klase glavnih homogenih prostora Abelovih varijeteta kako bi se izvršilo "odstupanje" od Hasseovog principa. Opisuje se u smislu posebne strukture koja se može povezati sa svakom mnogostrukošću (Tate-Shafarevich grupa). Glavna poteškoća teorije leži u činjenici da je metode za izračunavanje skupina teško dobiti. Ovaj koncept je također proširen na druge klase algebarskih varijeteta.
Tražite algoritam za ispunjavanje nejednakosti
Još jedna heuristička ideja korištena u proučavanju Diofantovih jednadžbi je da ako je broj varijabli uključenih u skup nejednakosti velik, tada sustav obično ima rješenje. Međutim, to je vrlo teško dokazati za svaki pojedini slučaj. Opći pristup problemima ovog tipa koristi se analitičkom teorijom brojeva i temelji se na procjenama za trigonometrijske zbrojeve. Ova metoda je izvorno primijenjena na posebne vrste jednadžbi.
Međutim, kasnije je uz njegovu pomoć dokazano da ako je oblik neparnog stupnja F, u di n varijabli i s racionalnim koeficijentima, tada je n dovoljno veliko u usporedbi s d, pa projektivna hiperpovršina F=0 ima racionalnu točku. Prema Artinovoj pretpostavci, ovaj rezultat je istinit čak i ako je n > d2. To je dokazano samo za kvadratne oblike. Slični problemi mogu se postaviti i za druga područja. Središnji problem diofantske geometrije je struktura skupa cjelobrojnih ili racionalnih točaka i njihovo proučavanje, a prvo pitanje koje treba razjasniti je je li taj skup konačan. U ovom problemu situacija obično ima konačan broj izvršenja ako je stupanj sustava mnogo veći od broja varijabli. Ovo je osnovna pretpostavka.
Nejednakosti na linijama i krivuljama
Grupa X(K) može se predstaviti kao izravni zbroj slobodne strukture ranga r i konačne grupe reda n. Od 1930-ih proučava se pitanje jesu li ti brojevi omeđeni na skupu svih eliptičkih krivulja nad danim poljem K. Ograničenost torzije n pokazana je sedamdesetih godina. U funkcionalnom slučaju postoje krivulje proizvoljno visokog ranga. U brojčanom slučaju još uvijek nema odgovora na ovo pitanje.
Konačno, Mordellova pretpostavka kaže da je broj integralnih točaka konačan za krivulju roda g>1. U funkcionalnom slučaju, ovaj koncept je demonstrirao Yu. I. Manin 1963. godine. Glavni alat koji se koristi u dokazivanju teorema konačnosti u diofantovoj geometriji je visina. Od algebarskih varijeteta, dimenzije iznad jedne su abelovemnogostrukosti, koji su višedimenzionalni analozi eliptičkih krivulja, najtemeljitije su proučavani.
A. Weil je generalizirao teorem o konačnosti broja generatora grupe racionalnih točaka na Abelove varijetete bilo koje dimenzije (Mordell-Weilov koncept), proširivši ga. Šezdesetih godina 20. stoljeća pojavila se pretpostavka Bircha i Swinnerton-Dyera, koja je poboljšala ovu i skupinu i zeta funkcije mnogostrukosti. Brojčani dokazi podržavaju ovu hipotezu.
Problem rješivosti
Problem pronalaženja algoritma koji se može koristiti za određivanje ima li bilo koja Diofantova jednadžba rješenje. Bitna značajka postavljenog problema je potraga za univerzalnom metodom koja bi bila prikladna za svaku nejednakost. Takva metoda bi također omogućila rješavanje navedenih sustava, budući da je ekvivalentna P21+⋯+P2k=0.p1=0, …, PK=0p=0, …, pK=0 ili p21+ ⋯ + P2K=0. n12+⋯+pK2=0. Problem pronalaženja takvog univerzalnog načina pronalaženja rješenja za linearne nejednakosti u cijelim brojevima postavio je D. Gilbert.
Početkom 1950-ih pojavile su se prve studije s ciljem dokazivanja nepostojanja algoritma za rješavanje Diofantovih jednadžbi. U to se vrijeme pojavila Davisova pretpostavka, koja je govorila da svaki nabrojiv skup također pripada grčkom znanstveniku. Budući da su primjeri algoritamski neodlučivih skupova poznati, ali su rekurzivno nabrojivi. Iz toga slijedi da je Davisova pretpostavka istinita i problem rješivosti ovih jednadžbiima negativno izvršenje.
Nakon toga, za Davisovu pretpostavku, ostaje dokazati da postoji metoda za transformaciju nejednakosti koja također (ili nije) u isto vrijeme ima rješenje. Pokazalo se da je takva promjena Diofantove jednadžbe moguća ako ima gornja dva svojstva: 1) u bilo kojem rješenju ove vrste v ≦ uu; 2) za bilo koji k, postoji izvršenje s eksponencijalnim rastom.
Primjer linearne Diofantove jednadžbe ove klase dovršio je dokaz. Problem postojanja algoritma za rješivost i prepoznavanje ovih nejednakosti u racionalnim brojevima još uvijek se smatra važnim i otvorenim pitanjem koje nije dovoljno proučeno.
