Proučavanju polinoma drugog stupnja posvećuje se velika pozornost u tečaju algebre za osmi razred. Ako student slabo svlada ovo gradivo, tada su neizbježni problemi na ispitima OGE i Jedinstvenom državnom ispitu, kako na razini profila tako i na bazi. Obvezne vještine vezane uz kvadratne funkcije uključuju crtanje i analizu grafova, rješavanje jednadžbi.
Faktorizacija kvadratnog trinoma jedan je od standardnih školskih problema. Pomoćna je u rješavanju nejednakosti metodom intervala.
Pronalaženje korijena jednadžbe
Prva stvar za faktorizaciju polinoma je pronaći njegove korijene.
Korijeni su brojevi koji zbroj monoma u polinomu pretvaraju u nulu, što grafički izgleda kao sjecište s horizontalnom osi. Oni se određuju korištenjem diskriminanta ili Vietinog teorema.
Diskriminanta trinomske osi2 + bx + c izračunava se po formuli: D=b2m- 4ac.
U slučaju kada diskriminanta nije negativna,korijeni su izraženi kroz njega i polinomski koeficijenti:
x1 =1/2(-b + √D); x2 =1/2(-b - √D)
Ako je diskriminanta nula, x1 i x2 su isti.
Za rješavanje nekih trinoma prikladno je koristiti Vietin teorem:
x1 + x2 =-b: a; x1 × x2=c: a
Potrebna je određena količina matematičke intuicije za primjenu teorema. Suština je da, znajući zbroj i umnožak dviju nepoznanica, pokupite ove brojeve. Ako postoje, oni su jedinstveno pronađeni (do permutacije).
Možete provjeriti valjanost teorema izračunavanjem zbroja i proizvoda korijena u općim uvjetima. Formule za x1 i x2 također se provjeravaju izravnom zamjenom.
Pravilo faktoringa
Problem se može riješiti u realnim brojevima ako polinom ima korijen. Dekompozicija je određena formulom:
ax2 + bx + c=a(x - x1)(x - x2)
Primjeri
Problem: pronađite faktorizaciju kvadratnih trinoma.
a) x2 - 6x + 5
Rješenje: napišite koeficijente trinoma:
a=1; b=-6; c=5.
Upotreba Vieta teorema:
x1 + x2 =6;
x1 × x2=5.
Može se vidjeti da je x1 =1, x2 =5.
Ako, prema napisanim jednakostima teorema,moguće je brzo pronaći korijene, trebali biste odmah prijeći na izračun diskriminanta.
Nakon što se pronađu korijeni, trebate ih zamijeniti u formulu za proširenje:
x2 - 6x + 5=(x - 1)(x - 5)
Rezultat zabilježen u ovom obrascu može se smatrati konačnim.
b) 2x2 + x - 1
Rješenje:
a=2, b=1, c=-1.
Ako je vodeći koeficijent različit od 1, primjena Vietinog teorema obično traje više vremena nego rješavanje kroz diskriminantu, pa prijeđimo na njegovo izračunavanje.
D=1 - 4 × 2 × (-1)=9.
x1=1/2; x2=-1.
Formula je:
2x2 + x - 1=2(x - 1/2)(x + 1).
c)x2 - 8x + 16
Rješenje:
a=1; b=-8; c=16.
D=0.
Budući da je diskriminanta nula, imamo slučaj podudarnosti korijena:
x1 =x2 =4.
Ova se situacija, međutim, bitno ne razlikuje od onih koje smo ranije razmatrali.
x2 - 8x + 16=1(x - 4)(x - 4)
Rezultat se često piše kao: (x - 4)2.
d)x2 - 7x + 1
Rješenje:
a=1; b=-7; c=1.
D=45.
Ovaj primjer se razlikuje od prethodnih po tome što se racionalni korijen ne može izvući iz diskriminanta. To znači da su korijeni polinoma iracionalni.
x1 =-1/2(7 + √45); x2 =-1/2(7 - √45).
Ili ekvivalentno, x1=-3, 5 - 1/2√45; x2 =-3, 5 + 1/2√45.
Posljednja opcija je prikladnija za korištenje za proširenje pisanja. Izostavljajući viši koeficijent, koji je ovdje jednak 1, dobivamo:
x2- 7x + 1=(x + 3,5 + 1/2√45)(x + 3,5 - 1/2√45)
Za slučaj kada je diskriminant negativan, u okviru školskog programa dovoljan je sljedeći odgovor: trinom nema korijena i stoga se ne može faktorizirati. Takvi se trinomi također nazivaju nesvodljivim. Važno je razumjeti da govorimo samo o prisutnosti ili odsutnosti pravih korijena.
Ako se uzme u obzir polje kompleksnih brojeva, faktorizacija kvadratnog trinoma je moguća s bilo kojim diskriminantom.
Tipične greške
1) Na samom početku proučavanja polinoma mnogi ljudi pogrešno ispisuju koeficijente, na primjer, obraćaju pažnju na redoslijed monoma u zapisu.
Dakle, vodeći faktor a u jednadžbi 101 je 79x + 38x2je 38, a ne 101 kao što mislite.
Još jedna pogreška povezana s koeficijentima jednadžbe je takozvani "gubitak predznaka". U istom primjeru, koeficijent b=-79, a ne 79.
2) Naviknuvši se na korištenje Vietinog teorema za slučaj kada je a=1, školarci ponekad zaborave na njegovu punu formulaciju. U polinomu iz prvog stavka pogrešno je pretpostaviti da je zbroj korijena 79, budući da je prvi koeficijent različit od 1.
3) Računalne pogreške su najčešći problem za studente. U mnogim slučajevima provjera pomaže da ih se izbjegne.zamjena.
Polinomi trećeg stupnja i više
Polinomi višeg stupnja rijetko se razmatraju u školi, jer je problem pronalaženja korijena za polinome trećeg i višeg stupnja naporan. Postoje algoritmi visoke računske složenosti za proširenje polinoma trećeg i četvrtog stupnja. Za peti stupanj i iznad dokazan je teorem o nerješivosti jednadžbe u radikalima u općem obliku.
Posebni slučajevi ovih polinoma, koji se mogu razmatrati u srednjoj školi, karakteriziraju prisutnost racionalnih lako odabranih korijena. Broj potonjih ne može premašiti stupanj polinoma. Kada radite sa složenom ravninom, njihov broj je potpuno isti kao i najviši stupanj.
Polinomi neparnog stupnja uvijek imaju barem jedan pravi korijen. To je lako grafički prikazati - kontinuirana funkcija dana takvim polinomom ima pozitivne i negativne vrijednosti, što znači da prolazi kroz 0.
Svi korijeni dvaju polinoma podudaraju se ako i samo ako su njihovi koeficijenti proporcionalni.
Općenito, problem pronalaženja korijena i problem konstruiranja dekompozicije mogu se smatrati ekvivalentima.