U školskom tečaju geometrije čvrstog tijela, jedna od najjednostavnijih figura koja ima dimenzije različite od nule duž tri prostorne osi je četverokutna prizma. Razmotrite u članku kakva je to figura, od kojih se elemenata sastoji, kao i kako izračunati njegovu površinu i volumen.
Koncept prizme
U geometriji, prizma je prostorna figura, koju tvore dvije identične baze i bočne plohe koje povezuju stranice ovih baza. Imajte na umu da se obje baze transformiraju jedna u drugu operacijom paralelnog prevođenja nekim vektorom. Ova dodjela prizme dovodi do činjenice da su sve njezine strane uvijek paralelogrami.
Broj stranica baze može biti proizvoljan, počevši od tri. Kada ovaj broj teži beskonačnosti, prizma se glatko pretvara u cilindar, budući da njena baza postaje kružnica, a bočni paralelogrami, spajajući se, tvore cilindričnu površinu.
Kao i svaki poliedar, prizmu karakterizirastranice (ravnine koje omeđuju lik), bridove (segmente duž kojih se sijeku bilo koje dvije strane) i vrhove (točke susreta triju strana, za prizmu dvije su bočne, a treća je baza). Količine tri navedena elementa na slici međusobno su povezane sljedećim izrazom:
P=C + B - 2
Ovdje su P, C i B broj bridova, stranica i vrhova, redom. Ovaj izraz je matematički zapis Eulerovog teorema.
Slika iznad prikazuje dvije prizme. U bazi jednog od njih (A) leži pravilan šesterokut, a bočne stranice su okomite na baze. Slika B prikazuje drugu prizmu. Njegove stranice više nisu okomite na baze, a baza je pravilan peterokut.
Što je četverokutna prizma?
Kao što je jasno iz gornjeg opisa, tip prizme prvenstveno je određen vrstom poligona koji čini bazu (obje baze su iste, pa možemo govoriti o jednoj od njih). Ako je ovaj poligon paralelogram, onda dobivamo četverokutnu prizmu. Dakle, sve strane ove vrste prizme su paralelogrami. Četverokutna prizma ima svoje ime - paralelepiped.
Broj stranica paralelepipeda je šest, a svaka strana ima sličnu paralelu. Budući da su baze kutije dvije strane, preostale četiri su bočne.
Broj vrhova paralelepipeda je osam, što je lako vidjeti ako se sjetimo da su vrhovi prizme formirani samo na vrhovima osnovnih poligona (4x2=8). Primjenom Eulerovog teorema dobivamo broj bridova:
P=C + B - 2=6 + 8 - 2=12
Od 12 rebara, samo 4 se formiraju neovisno sa strane. Preostalih 8 leže u ravninama osnova figure.
Dalje u članku ćemo govoriti samo o četverokutnim prizmama.
Vrste paralelepipeda
Prva vrsta klasifikacije su značajke paralelograma koji leži u osnovi. Može izgledati ovako:
- pravilan, čiji kutovi nisu jednaki 90o;
- pravokutnik;
- kvadrat je pravilan četverokut.
Drugi tip klasifikacije je kut pod kojim strana prelazi bazu. Ovdje su moguća dva različita slučaja:
- ovaj kut nije ravan, tada se prizma naziva kosom ili kosom;
- kut je 90o, tada je takva prizma pravokutna ili samo ravna.
Treći tip klasifikacije povezan je s visinom prizme. Ako je prizma pravokutna, a baza je kvadrat ili pravokutnik, tada se naziva kockast. Ako je u osnovi kvadrat, prizma je pravokutna, a visina joj je jednaka duljini stranice kvadrata, tada dobivamo dobro poznati lik kocke.
Površina i površina prizme
Skup svih točaka koje leže na dvije baze prizme(paralelogrami) i na njegovim stranicama (četiri paralelograma) tvore površinu lika. Površina ove površine može se izračunati izračunavanjem površine baze i ove vrijednosti za bočnu površinu. Tada će njihov zbroj dati željenu vrijednost. Matematički, ovo se piše na sljedeći način:
S=2So+ Sb
Ovdje So i Sb su površina baze i bočne površine, respektivno. Broj 2 prije So pojavljuje se jer postoje dvije baze.
Imajte na umu da napisana formula vrijedi za bilo koju prizmu, a ne samo za područje četverokutne prizme.
Korisno je podsjetiti da se površina paralelograma Sp izračunava po formuli:
Sp=ah
Gdje simboli a i h označavaju duljinu jedne od njezinih stranica i visinu povučenu na ovu stranu, respektivno.
Površina pravokutne prizme s kvadratnom bazom
U pravilnoj četverokutnoj prizmi baza je kvadrat. Radi određenosti njegovu stranu označavamo slovom a. Da biste izračunali površinu pravilne četverokutne prizme, trebali biste znati njezinu visinu. Prema definiciji za ovu veličinu, jednaka je duljini okomice spuštene s jedne baze na drugu, odnosno jednaka je udaljenosti između njih. Označimo ga slovom h. Budući da su sve bočne strane okomite na baze za tip prizme koji se razmatra, visina pravilne četverokutne prizme bit će jednaka duljini njenog bočnog ruba.
BOpća formula za površinu prizme je dva pojma. Površina baze u ovom slučaju je lako izračunati, jednaka je:
So=a2
Da bismo izračunali površinu bočne površine, tvrdimo kako slijedi: ovu površinu čine 4 identična pravokutnika. Štoviše, stranice svake od njih jednake su a i h. To znači da će površina Sb biti jednaka:
Sb=4ah
Imajte na umu da je proizvod 4a opseg kvadratne baze. Ako generaliziramo ovaj izraz na slučaj proizvoljne baze, tada se za pravokutnu prizmu bočna površina može izračunati na sljedeći način:
Sb=Poh
Gdje je Po opseg baze.
Vraćajući se na problem izračunavanja površine pravilne četverokutne prizme, možemo napisati konačnu formulu:
S=2So+ Sb=2a2+ 4 ah=2a(a+2h)
Površina kosog paralelepipeda
Izračunavanje je nešto teže nego za pravokutni. U ovom slučaju, površina baze četverokutne prizme izračunava se pomoću iste formule kao i za paralelogram. Promjene se odnose na način na koji se određuje bočna površina.
Da biste to učinili, koristite istu formulu kroz perimetar kao što je navedeno u gornjem odlomku. Samo što će sada imati malo drugačije množitelje. Opća formula za Sb u slučaju kose prizme je:
Sb=Psrc
Ovdje c je duljina bočnog ruba figure. Vrijednost Psr je opseg pravokutnog odsječka. Ovaj okoliš se gradi na sljedeći način: potrebno je presjeći sve bočne strane ravninom tako da bude okomita na sve njih. Rezultirajući pravokutnik bit će željeni rez.
Slika iznad prikazuje primjer kosog okvira. Njegov šrafirani presjek tvori prave kutove sa stranicama. Opseg presjeka je Psr. Tvore ga četiri visine bočnih paralelograma. Za ovu četverokutnu prizmu, površina bočne površine izračunava se pomoću gornje formule.
Duljina dijagonale kvadra
Diagonala paralelepipeda je segment koji spaja dva vrha koji nemaju zajedničke stranice koje ih tvore. U svakoj četverokutnoj prizmi postoje samo četiri dijagonale. Za kockast s pravokutnikom u osnovi, duljine svih dijagonala su međusobno jednake.
Slika ispod prikazuje odgovarajuću brojku. Crveni segment je njegova dijagonala.
Izračunavanje njegove duljine je vrlo jednostavno, ako se sjećate Pitagorinog teorema. Svaki učenik može dobiti željenu formulu. Ima sljedeći oblik:
D=√(A2+ B2 + C2)
Ovdje je D duljina dijagonale. Preostali znakovi su duljine stranica kutije.
Mnogi ljudi brkaju dijagonalu paralelepipeda s dijagonalama njegovih stranica. Ispod je slika gdje je u bojisegmenti predstavljaju dijagonale stranica figure.
Dužina svakog od njih također je određena Pitagorinim teoremom i jednaka je kvadratnom korijenu zbroja kvadrata odgovarajućih duljina stranica.
volumen prizme
Osim površine pravilne četverokutne prizme ili drugih vrsta prizmi, da biste riješili neke geometrijske probleme, trebali biste znati i njihov volumen. Ova vrijednost za apsolutno bilo koju prizmu izračunava se sljedećom formulom:
V=Soh
Ako je prizma pravokutna, tada je dovoljno izračunati površinu njezine baze i pomnožiti je s duljinom ruba stranice da dobijete volumen figure.
Ako je prizma pravilna četverokutna prizma, tada će njezin volumen biti:
V=a2h.
Lako je vidjeti da se ova formula pretvara u izraz za volumen kocke ako je duljina bočnog ruba h jednaka stranici baze a.
Problem s kvadarom
Za konsolidaciju proučavanog materijala riješit ćemo sljedeći problem: postoji pravokutni paralelepiped čije su stranice 3 cm, 4 cm i 5 cm. Potrebno je izračunati njegovu površinu, duljinu dijagonale i volumen.
Radi određenosti, pretpostavit ćemo da je osnova figure pravokutnik sa stranicama od 3 cm i 4 cm. Tada je njegova površina 12 cm2, a period je 14 cm. Koristeći formulu za površinu prizme, dobivamo:
S=2So+ Sb=212 + 514=24 + 70=94 cm2
Da biste odredili duljinu dijagonale i volumen figure, možete izravno koristiti gornje izraze:
D=√(32+42+52)=7 071 cm;
V=345=60 cm3.
Problem s kosim paralelepipedom
Slika ispod prikazuje kosu prizmu. Njegove stranice su jednake: a=10 cm, b=8 cm, c=12 cm. Trebate pronaći površinu ove figure.
Prvo, odredimo površinu baze. Slika pokazuje da je oštar kut 50o. Tada je njegova površina:
So=ha=sin(50o)ba
Da biste odredili površinu bočne površine, trebali biste pronaći opseg zasjenjenog pravokutnika. Stranice ovog pravokutnika su asin(45o) i bsin(60o). Tada je opseg ovog pravokutnika:
Psr=2(asin(45o)+bsin(60o))
Ukupna površina ove kutije je:
S=2So+ Sb=2(sin(50o)ba + acsin(45o) + bcsin(60o))
Podatkom iz uvjeta problema zamjenjujemo duljine stranica figure, dobivamo odgovor:
S=458, 5496 cm3
Iz rješenja ovog problema može se vidjeti da se trigonometrijske funkcije koriste za određivanje područja kosih likova.
