Proučavanje svojstava plinovitog agregatnog stanja tvari jedno je od važnih područja moderne fizike. Uzimajući u obzir plinove u mikroskopskoj skali, mogu se dobiti svi makroskopski parametri sustava. Ovaj će članak otkriti važno pitanje molekularne kinetičke teorije plinova: kakva je Maxwellova raspodjela molekula u smislu brzina.
Povijesna pozadina
Ideja o plinu kao sustavu mikroskopskih pokretnih čestica nastala je u staroj Grčkoj. Znanost je trebala više od 1700 godina da ga razvije.
Osnivač moderne molekularno-kinetičke teorije (MKT) plina pošteno je uzeti u obzir Daniila Bernoullija. Godine 1738. objavio je djelo pod nazivom "Hidrodinamika". U njemu je Bernoulli iznio ideje MKT-a koje se koriste do danas. Dakle, znanstvenik je vjerovao da se plinovi sastoje od čestica koje se nasumično kreću u svim smjerovima. Brojni sudaričestice sa stijenkama posuda percipiraju se kao prisutnost tlaka u plinovima. Brzine čestica usko su povezane s temperaturom sustava. Znanstvena zajednica nije prihvatila Bernoullijeve hrabre ideje jer zakon održanja energije još nije bio uspostavljen.
Naknadno su se mnogi znanstvenici angažirali u izgradnji kinetičkog modela plinova. Među njima treba istaknuti Rudolfa Clausiusa koji je 1857. godine stvorio jednostavan model plina. U njemu je znanstvenik posebnu pozornost posvetio prisutnosti translacijskih, rotacijskih i vibracijskih stupnjeva slobode u molekulama.
Godine 1859., proučavajući Clausiusov rad, James Maxwell formulirao je takozvanu Maxwellovu raspodjelu po molekularnim brzinama. Zapravo, Maxwell je potvrdio ideje MKT-a, potkrijepivši ih matematičkim aparatom. Nakon toga, Ludwig Boltzmann (1871) je generalizirao zaključke Maxwellove distribucije. Postavio je općenitiju statističku raspodjelu molekula prema brzinama i energijama. Trenutno je poznata kao Maxwell-Boltzmannova distribucija.
Idealan plin. Osnovni postulati ILC
Da biste razumjeli što je Maxwellova distribucijska funkcija, morate jasno razumjeti sustave na koje je ova funkcija primjenjiva. Govorimo o idealnom plinu. U fizici se ovaj koncept shvaća kao fluidna tvar, koja se sastoji od praktički bezdimenzijskih čestica koje nemaju potencijalnu energiju. Te se čestice kreću velikom brzinom, pa je njihovo ponašanje u potpunosti određeno kinetičkom energijom. Štoviše, udaljenosti između čestica su prevelike zau usporedbi s njihovim veličinama, pa su potonje zanemarene.
Idealni plinovi opisani su u MKT-u. Njegovi glavni postulati su sljedeći:
- plinski sustavi sastoje se od ogromnog broja slobodnih čestica;
- čestice se nasumično kreću različitim brzinama u različitim smjerovima duž ravnih putanja;
- čestice se elastično sudaraju sa stijenkama posude (vjerojatnost da se čestice sudaraju jedna s drugom je niska zbog njihove male veličine);
- Temperatura sustava je jedinstveno određena prosječnom kinetičkom energijom čestica, koja se čuva u vremenu ako se uspostavi termodinamička ravnoteža u sustavu.
Maxwellov zakon o distribuciji
Kada bi osoba imala instrument s kojim je bilo moguće izmjeriti brzinu jedne molekule plina, tada bi se, nakon provođenja odgovarajućeg eksperimenta, iznenadio. Eksperiment bi pokazao da se svaka molekula bilo kojeg plinovitog sustava kreće potpuno proizvoljnom brzinom. U tom slučaju, u okviru jednog sustava u toplinskoj ravnoteži s okolinom, detektirale bi se i vrlo spore i vrlo brze molekule.
Maxwellov zakon o raspodjeli brzina molekula plina je alat koji vam omogućuje da odredite vjerojatnost detekcije čestica s danom brzinom v u sustavu koji se proučava. Odgovarajuća funkcija izgleda ovako:
f(v)=(m/(2pikT))3/24piv2 exp(-mv2/(2kT)).
U ovom izrazu, m -masa čestice (molekule), k - Boltzmannova konstanta, T - apsolutna temperatura. Dakle, ako je poznata kemijska priroda čestica (vrijednost m), tada je funkcija f(v) jednoznačno određena apsolutnom temperaturom. Funkcija f(v) naziva se gustoćom vjerojatnosti. Ako iz njega uzmemo integral za neko ograničenje brzine (v; v+dv), onda ćemo dobiti broj čestica Ni, koje imaju brzine u navedenom intervalu. Sukladno tome, ako uzmemo integral gustoće vjerojatnosti f(v) za granice brzine od 0 do ∞, tada ćemo dobiti ukupan broj molekula N u sustavu.
Grafički prikaz gustoće vjerojatnosti f(v)
Funkcija gustoće vjerojatnosti ima donekle složen matematički oblik, pa nije lako predstaviti njezino ponašanje na danoj temperaturi. Ovaj se problem može riješiti ako ga prikažete na dvodimenzionalnom grafu. Shematski prikaz grafa Maxwellove distribucije prikazan je ispod na slici.
Vidimo da počinje od nule, budući da brzina v molekula ne može imati negativne vrijednosti. Graf završava negdje u području velikih brzina, glatko padajući na nulu (f(∞)->0). Sljedeća značajka također je upečatljiva: glatka krivulja je asimetrična, oštrije se smanjuje za male brzine.
Važna značajka ponašanja funkcije gustoće vjerojatnosti f(v) je prisutnost jednog izraženog maksimuma na njoj. Prema fizičkom značenju funkcije, ovaj maksimum odgovara najvjerojatnije vrijednosti brzina molekula u plinusustav.
Važne brzine za funkciju f(v)
Funkcija gustoće vjerojatnosti f(v) i njezin grafički prikaz omogućuju nam definiranje tri važne vrste brzine.
Prva vrsta brzine koja je očita i koja je gore spomenuta je najvjerojatnija brzina v1. Na grafu njegova vrijednost odgovara maksimumu funkcije f(v). Upravo će ta brzina i njoj bliske vrijednosti imati većinu čestica sustava. Nije ga teško izračunati, za to je dovoljno uzeti prvi izvod s obzirom na brzinu funkcije f(v) i izjednačiti ga s nulom. Kao rezultat ovih matematičkih operacija, dobivamo konačni rezultat:
v1=√(2RT/M).
Ovdje je R univerzalna plinska konstanta, M je molarna masa molekula.
Druga vrsta brzine je njena prosječna vrijednost za svih N čestica. Označimo ga v2. Može se izračunati integracijom funkcije vf(v) po svim brzinama. Rezultat navedene integracije bit će sljedeća formula:
v2=√(8RT/(piM)).
Budući da je omjer 8/pi>2, prosječna brzina je uvijek nešto veća od najvjerojatnije.
Svaka osoba koja malo zna o fizici razumije da prosječna brzina v2 molekula mora biti od velike važnosti u plinskom sustavu. Međutim, ovo je pogrešna pretpostavka. Puno važnija je RMS brzina. Označimo gav3.
Prema definiciji, srednja kvadratna brzina je zbroj kvadrata pojedinačnih brzina svih čestica, podijeljen s brojem tih čestica i uzet kao kvadratni korijen. Može se izračunati za Maxwellovu distribuciju ako definiramo integral po svim brzinama funkcije v2f(v). Formula za prosječnu kvadratnu brzinu imat će oblik:
v3=√(3RT/M).
Jednakost pokazuje da je ova brzina veća od v2 i v1 za bilo koji plinski sustav.
Dakle, sve razmatrane vrste brzina na grafu Maxwellove distribucije leže ili na ekstremumu ili desno od njega.
Važnost v3
Iznad je napomenuto da je srednja kvadratna brzina važnija za razumijevanje fizičkih procesa i svojstava plinskog sustava od prosječne prosječne brzine v2. To je točno, budući da kinetička energija idealnog plina ovisi upravo o v3, a ne o v2.
Ako uzmemo u obzir jednoatomski idealni plin, za njega vrijedi sljedeći izraz:
mv32/2=3/2kT.
Ovdje svaki dio jednadžbe predstavlja kinetičku energiju jedne čestice mase m. Zašto izraz sadrži točno vrijednost v3, a ne prosječnu brzinu v2? Vrlo jednostavno: pri određivanju kinetičke energije svake čestice, njezina pojedinačna brzina v se kvadrira, a zatim sve brzinezbrajaju se i dijele s brojem čestica N. To jest, sam postupak određivanja kinetičke energije dovodi do vrijednosti srednje kvadratne brzine.
Ovisnost funkcije f(v) o temperaturi
Iznad smo utvrdili da gustoća vjerojatnosti molekularnih brzina jedinstveno ovisi o temperaturi. Kako će se promijeniti funkcija ako se T poveća ili smanji? Grafikon u nastavku pomoći će vam odgovoriti na ovo pitanje.
Vidi se da zagrijavanje zatvorenog sustava dovodi do razmazivanja vrha i njegovog pomicanja prema većim brzinama. Povećanje temperature dovodi do povećanja svih vrsta brzina i do smanjenja gustoće vjerojatnosti svake od njih. Vršna vrijednost se smanjuje zbog očuvanja broja čestica N u zatvorenom sustavu.
Sljedeće ćemo riješiti nekoliko problema kako bismo konsolidirali primljeni teorijski materijal.
Problem s molekulama dušika u zraku
Potrebno je izračunati brzine v1, v2 i v3 za zračni dušik na temperaturi od 300 K (oko 27 oC).
Molarna masa dušika N2 je 28 g/mol. Koristeći gornje formule, dobivamo:
v1=√(2RT/M)=√(28, 314300/0, 028)=422 m/s;
v2=√(8RT/(piM))=√(88, 314300/(3, 140, 028))=476 m/s;
v3=√(3RT/M)=√(38, 314300/0, 028)=517 m/s.
Problem s spremnikom za kisik
Kisik u cilindru bio je na određenoj temperaturi T1. Zatim je balon stavljen u hladniju prostoriju. Kako će se promijeniti grafikon Maxwellove raspodjele brzine za molekule kisika kada sustav dođe u termodinamičku ravnotežu?
Sjećajući se teorije, na pitanje problema možemo odgovoriti na ovaj način: vrijednosti svih vrsta brzina molekula će se smanjiti, vrh funkcije f(v) će se pomaknuti ulijevo, postaju sve uži i viši.
