Sva tijela koja nas okružuju u stalnom su pokretu. Kretanje tijela u svemiru promatra se na svim razinama, počevši od gibanja elementarnih čestica u atomima tvari do ubrzanog kretanja galaksija u Svemiru. U svakom slučaju, proces kretanja odvija se s ubrzanjem. U ovom članku ćemo detaljno razmotriti pojam tangencijalnog ubrzanja i dati formulu po kojoj se može izračunati.
Kinematske količine
Prije nego što počnemo govoriti o tangencijalnom ubrzanju, razmotrimo kojim je veličinama uobičajeno karakterizirati proizvoljno mehaničko kretanje tijela u prostoru.
Prvo, ovo je put L. Pokazuje udaljenost u metrima, centimetrima, kilometrima i tako dalje, tijelo je prešlo određeno vremensko razdoblje.
Druga važna karakteristika kinematike je brzina tijela. Za razliku od puta, to je vektorska veličina i usmjerena je duž putanjepokreti tijela. Brzina određuje brzinu promjene prostornih koordinata u vremenu. Formula za izračun je:
v¯=dL/dt
Brzina je vremenski derivat putanje.
Konačno, treća važna karakteristika kretanja tijela je ubrzanje. Prema definiciji u fizici, ubrzanje je veličina koja određuje promjenu brzine s vremenom. Formula za to se može napisati kao:
a¯=dv¯/dt
Ubrzanje je, kao i brzina, također vektorska veličina, ali za razliku od nje, usmjereno je u smjeru promjene brzine. Smjer ubrzanja također se podudara s vektorom rezultirajuće sile koja djeluje na tijelo.
Putanja i ubrzanje
Mnogi problemi u fizici razmatraju se u okviru pravolinijskog gibanja. U ovom slučaju, u pravilu, ne govore o tangencijalnom ubrzanju točke, već rade s linearnim ubrzanjem. Međutim, ako kretanje tijela nije linearno, tada se njegovo puno ubrzanje može razložiti na dvije komponente:
- tangenta;
- normalno.
U slučaju linearnog gibanja, normalna komponenta je nula, tako da ne govorimo o vektorskoj ekspanziji ubrzanja.
Dakle, putanja gibanja uvelike određuje prirodu i komponente punog ubrzanja. Putanja gibanja shvaća se kao zamišljena linija u prostoru po kojoj se tijelo kreće. Bilo kojikrivocrtna putanja dovodi do pojave gore navedenih komponenti ubrzanja koji nisu nula.
Određivanje tangencijalnog ubrzanja
Tangencijalno ili, kako se još naziva, tangencijalno ubrzanje je komponenta punog ubrzanja, koja je usmjerena tangencijalno na putanju gibanja. Budući da je i brzina usmjerena duž putanje, tangencijalni vektor ubrzanja podudara se s vektorom brzine.
Koncept ubrzanja kao mjere promjene brzine dat je gore. Budući da je brzina vektor, može se mijenjati po modulu ili u smjeru. Tangencijalno ubrzanje određuje samo promjenu modula brzine.
Imajte na umu da u slučaju pravocrtnog gibanja vektor brzine ne mijenja svoj smjer, stoga su, u skladu s gornjom definicijom, tangencijalno ubrzanje i linearno ubrzanje iste vrijednosti.
Dobivanje jednadžbe tangencijalnog ubrzanja
Pretpostavimo da se tijelo kreće duž neke zakrivljene putanje. Tada se njegova brzina v¯ u odabranoj točki može predstaviti na sljedeći način:
v¯=vut¯
Ovdje je v modul vektora v¯, ut¯ je vektor jedinične brzine usmjeren tangencijalno na putanju.
Upotrebom matematičke definicije ubrzanja dobivamo:
a¯=dv¯/dt=d(vut¯)/dt=dv/dtut ¯ + vd(ut¯)/dt
Prilikom pronalaženja derivacije ovdje je korišteno svojstvo umnoška dviju funkcija. Vidimo da ukupno ubrzanje a¯ u razmatranoj točki odgovara zbroju dva člana. Oni su tangenta i normalno ubrzanje točke, respektivno.
Recimo nekoliko riječi o normalnom ubrzanju. Odgovoran je za promjenu vektora brzine, odnosno za promjenu smjera gibanja tijela duž krivulje. Ako eksplicitno izračunamo vrijednost drugog člana, dobivamo formulu za normalno ubrzanje:
a=vd(ut¯)/dt=v2/ r
Normalno ubrzanje je usmjereno duž normale vraćene na zadanu točku krivulje. U slučaju kružnog gibanja, normalno ubrzanje je centripetalno.
Jednadžba tangencijalnog ubrzanja at¯ je:
at¯=dv/dtut¯
Ovaj izraz kaže da tangencijalno ubrzanje ne odgovara promjeni smjera, već promjeni modula brzine v¯ tijekom nekog vremena. Budući da je tangencijalno ubrzanje usmjereno tangencijalno na razmatranu točku putanje, ono je uvijek okomito na normalnu komponentu.
Tangencijalno ubrzanje i ukupni modul ubrzanja
Sve gore navedene informacije koje vam omogućuju izračunavanje ukupnog ubrzanja kroz tangentu i normalu. Doista, budući da su obje komponente međusobno okomite, njihovi vektori tvore noge pravokutnog trokuta,čija je hipotenuza vektor ukupnog ubrzanja. Ova činjenica nam omogućuje da zapišemo formulu za ukupni modul ubrzanja u sljedećem obliku:
a=√(a2 + at2)
Kut θ između punog i tangencijalnog ubrzanja može se definirati na sljedeći način:
θ=arccos(at/a)
Što je tangencijalno ubrzanje veće, smjerovi tangencijalnog i punog ubrzanja su bliži.
Odnos između tangencijalnog i kutnog ubrzanja
Tipična krivuljasta putanja duž koje se tijela kreću u tehnologiji i prirodi je krug. Doista, kretanje zupčanika, lopatica i planeta oko njihove vlastite osi ili oko njihovih svjetiljki događa se upravo u krugu. Kretanje koje odgovara ovoj putanji naziva se rotacija.
Kinematiku rotacije karakteriziraju iste vrijednosti kao i kinematika gibanja po ravnoj liniji, međutim, imaju kutni karakter. Dakle, za opisivanje rotacije koristi se središnji kut rotacije θ, kutna brzina ω i akceleracija α. Za ove količine vrijede sljedeće formule:
ω=dθ/dt;
α=dω/dt
Pretpostavimo da je tijelo napravilo jedan okret oko osi rotacije za vrijeme t, tada za kutnu brzinu možemo napisati:
ω=2pi/t
Linearna brzina u ovom slučaju bit će jednaka:
v=2pir/t
Gdje je r polumjer putanje. Posljednja dva izraza omogućuju nam pisanjeformula za povezivanje dviju brzina:
v=ωr
Sada izračunavamo vremensku derivaciju lijeve i desne strane jednadžbe, dobivamo:
dv/dt=rdω/dt
Desna strana jednakosti je proizvod kutnog ubrzanja i polumjera kružnice. Lijeva strana jednadžbe je promjena modula brzine, odnosno tangencijalno ubrzanje.
Dakle, tangencijalno ubrzanje i slična kutna vrijednost povezani su jednakošću:
at=αr
Ako pretpostavimo da se disk rotira, tada će se tangencijalno ubrzanje točke pri konstantnoj vrijednosti α linearno povećati s povećanjem udaljenosti od ove točke do osi rotacije r.
Dalje ćemo riješiti dva problema pomoću gornjih formula.
Određivanje tangencijalnog ubrzanja iz poznate funkcije brzine
Poznato je da je brzina tijela koje se kreće duž određene zakrivljene putanje opisana sljedećom funkcijom vremena:
v=2t2+ 3t + 5
Potrebno je odrediti formulu za tangencijalno ubrzanje i pronaći njegovu vrijednost u trenutku t=5 sekundi.
Prvo, napišimo formulu za modul tangencijalnog ubrzanja:
at=dv/dt
To jest, da biste izračunali funkciju at(t), trebali biste odrediti derivaciju brzine s obzirom na vrijeme. Imamo:
at=d(2t2+ 3t + 5)/dt=4t + 3
Zamjenom vremena t=5 sekundi u rezultirajući izraz, dolazimo do odgovora: at=23 m/s2.
Imajte na umu da je graf brzine u odnosu na vrijeme u ovom problemu parabola, dok je graf tangencijalnog ubrzanja ravna linija.
Zadatak tangencijalnog ubrzanja
Poznato je da je materijalna točka počela ravnomjerno ubrzanu rotaciju od nultog trenutka vremena. 10 sekundi nakon početka rotacije, njegovo centripetalno ubrzanje postalo je jednako 20 m/s2. Potrebno je odrediti tangencijalno ubrzanje točke nakon 10 sekundi, ako je poznato da je polumjer rotacije 1 metar.
Prvo, zapišite formulu za centripetalno ili normalno ubrzanje ac:
ac=v2/r
Upotrebom formule za odnos između linearne i kutne brzine dobivamo:
ac=ω2r
U ravnomjerno ubrzanom kretanju, brzina i kutno ubrzanje povezani su formulom:
ω=αt
Zamjenom ω u jednadžbu za ac, dobivamo:
ac=α2t2r
Linearno ubrzanje kroz tangencijalno ubrzanje izražava se na sljedeći način:
α=at/r
Zamjenimo posljednju jednakost u pretposljednju, dobivamo:
ac=at2/r2 t2r=at2/rt2=>
at=√(acr)/t
Posljednja formula, uzimajući u obzir podatke iz stanja problema, dovodi do odgovora: at=0, 447m/s2.
