Avion u svemiru. Položaj aviona u svemiru

2024 Autor: Angel Austin | [email protected]. Zadnja promjena: 2024-01-02 17:48

Ravnina je geometrijski objekt čija se svojstva koriste pri konstruiranju projekcija točaka i pravaca, kao i pri izračunavanju udaljenosti i diedralnih kutova između elemenata trodimenzionalnih likova. Razmotrimo u ovom članku koje se jednadžbe mogu koristiti za proučavanje položaja ravnina u prostoru.

Definicija aviona

Svatko intuitivno zamišlja o kojem predmetu će se raspravljati. S geometrijskog gledišta, ravnina je skup točaka, svaki vektori između kojih moraju biti okomiti na neki vektor. Na primjer, ako postoji m različitih točaka u prostoru, tada se od njih može napraviti m(m-1) / 2 različita vektora, povezujući točke u parovima. Ako su svi vektori okomiti na neki jedan smjer, onda je to dovoljan uvjet da sve točke m pripadaju istoj ravnini.

Opća jednadžba

U prostornoj geometriji, ravnina se opisuje pomoću jednadžbi koje općenito sadrže tri nepoznate koordinate koje odgovaraju osi x, y i z. Dodobiti opću jednadžbu u ravninskim koordinatama u prostoru, pretpostavimo da postoji vektor n¯(A; B; C) i točka M(x₀; y₀; z_{0). Koristeći ova dva objekta, ravnina se može jednoznačno definirati.}

Doista, pretpostavimo da postoji neka druga točka P(x; y; z) čije koordinate su nepoznate. Prema gornjoj definiciji, vektor MP¯ mora biti okomit na n¯, odnosno skalarni umnožak za njih jednak je nuli. Tada možemo napisati sljedeći izraz:

(n¯MP¯)=0 ili

A(x-x₀) + B(y-y₀) + C(z-z₀₎₌₀

Otvarajući zagrade i uvodeći novi koeficijent D, dobivamo izraz:

Ax + By + Cz + D=0 gdje je D=-1(Ax₀+ By ₀ + Cz₀₎

Ovaj izraz se zove opća jednadžba za ravninu. Važno je zapamtiti da koeficijenti ispred x, y i z tvore koordinate vektora n¯(A; B; C) okomitog na ravninu. Poklapa se s normalom i vodilja je za avion. Za određivanje opće jednadžbe nije važno kamo je ovaj vektor usmjeren. To jest, ravnine izgrađene na vektorima n¯ i -n¯ bit će iste.

Slika iznad prikazuje ravninu, vektor normalan na nju i pravu okomitu na ravninu.

Segmenti odsječeni ravninom na osi i odgovarajućom jednadžbom

Opća jednadžba omogućuje korištenje jednostavnih matematičkih operacija za određivanje, inu kojim točkama će ravnina presjeći koordinatne osi. Važno je znati ove podatke kako biste imali predodžbu o položaju u prostoru aviona, kao i kada ga prikazujete na crtežima.

Za određivanje imenovanih točaka presjeka koristi se jednadžba u segmentima. Naziva se tako jer eksplicitno sadrži vrijednosti duljina segmenata odsječenih ravninom na koordinatnim osi, kada se računa od točke (0; 0; 0). Uzmimo ovu jednadžbu.

Napišite opći izraz za ravninu na sljedeći način:

Ax + By + Cz=-D

Lijevi i desni dio mogu se podijeliti s -D bez narušavanja jednakosti. Imamo:

A/(-D)x + B/(-D)y + C/(-D)z=1 ili

x/(-D/A) + y/(-D/B) + z/(-D/C)=1

Dizajnirajte nazivnike svakog pojma s novim simbolom, dobivamo:

p=-D/A; q=-D/B; r=-D/C onda

x/p + y/q + z/r=1

Ovo je gore spomenuta jednadžba u segmentima. Iz toga slijedi da vrijednost nazivnika svakog člana označava koordinatu presjeka s odgovarajućom osi ravnine. Na primjer, siječe y-os u točki (0; q; 0). To je lako razumjeti ako zamijenite nulte x i z koordinate u jednadžbu.

Imajte na umu da ako u jednadžbi nema varijable u segmentima, to znači da ravnina ne siječe odgovarajuću os. Na primjer, s obzirom na izraz:

x/p + y/q=1

To znači da će ravnina odsjeći segmente p i q na osi x i y, respektivno, ali će biti paralelna s osi z.

Zaključak o ponašanju aviona kadaodsutnost neke varijable u njezinoj jednadžbi vrijedi i za izraz općenitog tipa, kao što je prikazano na donjoj slici.

Vektorska parametarska jednadžba

Postoji i treća vrsta jednadžbe koja omogućuje opisivanje ravnine u prostoru. Naziva se parametarskim vektorom jer ga zadaju dva vektora koji leže u ravnini i dva parametra koja mogu imati proizvoljne neovisne vrijednosti. Pokažimo kako se ova jednadžba može dobiti.

Pretpostavimo da postoji nekoliko poznatih vektora u ¯(a₁; b₁; c₁) i v¯(a₂; b₂; c₂). Ako nisu paralelni, onda se mogu koristiti za postavljanje određene ravnine fiksiranjem početka jednog od ovih vektora u poznatoj točki M(x₀; y₀; z_{0). Ako se proizvoljni vektor MP¯ može predstaviti kao kombinacija linearnih vektora u¯ i v¯, onda to znači da točka P(x; y; z) pripada istoj ravnini kao u¯, v¯. Dakle, možemo napisati jednakost:}

MP¯=αu¯ + βv¯

Ili zapisivanjem ove jednakosti u smislu koordinata, dobivamo:

(x; y; z)=(x₀; y₀; z₀) + α(a₁; b₁; c₁) + β(a ₂; b₂; c₂₎

Predstavljena jednakost je parametarska vektorska jednadžba za ravninu. NAvektorski prostor na ravnini u¯ i v¯ nazivaju se generatori.

Dalje, prilikom rješavanja problema, pokazat će se kako se ova jednadžba može svesti na opći oblik za ravninu.

Ugao između ravnina u prostoru

Intuitivno, ravnine u 3D prostoru mogu se sijeći ili ne. U prvom slučaju, zanimljivo je pronaći kut između njih. Izračunavanje ovog kuta je teže od kuta između linija, budući da je riječ o diedralnom geometrijskom objektu. No, već spomenuti vektor vodilja za avion dolazi u pomoć.

Geometrijski je utvrđeno da je diedralni kut između dviju ravnina koje se sijeku točno jednak kutu između njihovih vodićih vektora. Označimo ove vektore kao n₁¯(a₁; b₁; c_{1) i n}2_¯(a2_{; b}2_{; c}2_{). Kosinus kuta između njih određuje se iz skalarnog produkta. Odnosno, sam kut u prostoru između ravnina može se izračunati po formuli:}

φ=arccos(|(n₁¯n₂¯)|/(|n₁ ¯||n_2¯|))

Ovdje se modul u nazivniku koristi za odbacivanje vrijednosti tupog kuta (između ravnina koje se sijeku uvijek je manji ili jednak 90o).

U koordinatnom obliku, ovaj izraz se može prepisati na sljedeći način:

φ=arccos(|a₁a₂ + b₁b ₂ +c₁c₂|/(√(a₁² + b₁² + c₁²)√(a₂² + b₂² + c ₂²⁾⁾⁾

Pravine okomite i paralelne

Ako se ravnine sijeku i diedralni kut formiran od njih je 90o, tada će biti okomite. Primjer takvih ravnina je pravokutna prizma ili kocka. Ove figure tvori šest ravnina. Na svakom vrhu imenovanih figura postoje tri ravnine okomite jedna na drugu.

Da bismo saznali jesu li razmatrane ravnine okomite, dovoljno je izračunati skalarni proizvod njihovih normalnih vektora. Dovoljan uvjet za okomitost u prostoru ravnina je nulta vrijednost ovog proizvoda.

Paralelne se nazivaju ravnine koje se ne sijeku. Ponekad se također kaže da se paralelne ravnine sijeku u beskonačnosti. Uvjet paralelizma u prostoru ravnina podudara se s tim uvjetom za vektore smjera n₁¯ i n_{2¯. Možete ga provjeriti na dva načina:}

Izračunajte kosinus diedralnog kuta (cos(φ)) koristeći skalarni proizvod. Ako su ravnine paralelne, tada će vrijednost biti 1.

Pokušajte predstaviti jedan vektor kroz drugi množenjem s nekim brojem, tj. n₁¯=kn_{2¯. Ako se to može učiniti, tada su odgovarajuće ravnineparalelno.}

Slika prikazuje dvije paralelne ravnine.

Ajmo sada navesti primjere rješavanja dva zanimljiva problema koristeći dobiveno matematičko znanje.

Kako dobiti opći oblik iz vektorske jednadžbe?

Ovo je parametarski vektorski izraz za ravninu. Da biste lakše razumjeli tijek operacija i korištene matematičke trikove, razmotrite konkretan primjer:

(x; y; z)=(1; 2; 0) + α(2; -1; 1) + β(0; 1; 3)

Proširite ovaj izraz i izrazite nepoznate parametre:

x=1 + 2α;

y=2 - α + β;

z=α + 3β

Zatim:

α=(x - 1)/2;

β=y - 2 + (x - 1)/2;

z=(x - 1)/2 + 3(y - 2 + (x - 1)/2)

Otvarajući zagrade u zadnjem izrazu, dobivamo:

z=2x-2 + 3y - 6 ili

2x + 3y - z - 8=0

Dobili smo opći oblik jednadžbe za ravninu navedenu u iskazu problema u vektorskom obliku

Kako izgraditi avion kroz tri točke?

Moguće je povući jednu ravninu kroz tri točke ako te točke ne pripadaju nekoj pravoj liniji. Algoritam za rješavanje ovog problema sastoji se od sljedećeg slijeda radnji: