Heksagonalna prizma i njene glavne karakteristike

2024 Autor: Angel Austin | [email protected]. Zadnja promjena: 2024-01-02 17:48

Prostorna geometrija proučava prizme. Njihove važne karakteristike su volumen sadržan u njima, površina i broj sastavnih elemenata. U članku ćemo razmotriti sva ova svojstva za heksagonalnu prizmu.

O kojoj prizmi govorimo?

Šesterokutna prizma je lik formiran od dva poligona sa šest strana i šest kutova i šest paralelograma koji povezuju označene šesterokute u jednu geometrijsku formaciju.

Slika prikazuje primjer ove prizme.

Šesterokut označen crvenom bojom naziva se baza figure. Očito je broj njegovih baza jednak dva, a obje su identične. Žuto-zelenkasta lica prizme nazivaju se njezinim stranicama. Na slici su predstavljeni kvadratima, ali općenito su paralelogrami.

Šesterokutna prizma može biti nagnuta i ravna. U prvom slučaju, kutovi između baze i stranica nisu ravni, u drugom su jednaki 90o. Također, ova prizma može biti ispravna i netočna. Pravilni šesterokutniprizma mora biti ravna i imati pravilan šesterokut u osnovi. Gornja prizma na slici zadovoljava ove zahtjeve, pa se naziva ispravnom. Dalje u članku ćemo proučavati samo njegova svojstva, kao opći slučaj.

Elementi

Za svaku prizmu njeni glavni elementi su rubovi, lica i vrhovi. Heksagonalna prizma nije iznimka. Gornja slika vam omogućuje da prebrojite broj ovih elemenata. Dakle, dobivamo 8 lica ili stranica (dvije baze i šest bočnih paralelograma), broj vrhova je 12 (6 vrhova za svaku bazu), broj bridova šesterokutne prizme je 18 (šest bočnih i 12 za baze).

U 1750-ima Leonhard Euler (švicarski matematičar) uspostavio je za sve poliedre, koji uključuju prizmu, matematički odnos između brojeva naznačenih elemenata. Ova veza izgleda ovako:

broj bridova=broj lica + broj vrhova - 2.

Gornje brojke zadovoljavaju ovu formulu.

Dijagonale prizme

Sve dijagonale heksagonalne prizme mogu se podijeliti u dvije vrste:

• oni koji leže u ravninama njegovih lica;
• oni koji pripadaju cijelom volumenu figure.

Slika ispod prikazuje sve ove dijagonale.

Može se vidjeti da je D₁ bočna dijagonala, D₂ i D₃ su dijagonale cijele prizme, D₄ i D_{5 - dijagonale baze.}

Dužine dijagonala stranica jednake su jedna drugoj. Lako ih je izračunati pomoću dobro poznatog Pitagorinog teorema. Neka je a duljina stranice šesterokuta, b duljina bočnog ruba. Tada dijagonala ima duljinu:

D₁=√(a² + b^2).

Diagonala D₄ također je lako odrediti. Ako se prisjetimo da se pravilni šesterokut uklapa u krug polumjera a, tada je D_{4 promjer ove kružnice, odnosno dobivamo sljedeću formulu:}

D_4=2a.

Diagonal D₅baze je nešto teže pronaći. Da biste to učinili, razmotrite jednakostranični trokut ABC (vidi sliku). Za njega AB=BC=a, kut ABC je 120^{o. Ako spustimo visinu iz ovog kuta (to će također biti simetrala i medijan), tada će polovica AC baze biti jednaka:}

AC/2=ABsin(60o)=a√3/2.

AC strana je dijagonala D_{5, pa dobivamo:}

D_5=AC=√3a.

Sada ostaje pronaći dijagonale D₂i D_{3 pravilne šesterokutne prizme. Da biste to učinili, morate vidjeti da su hipotenuze odgovarajućih pravokutnih trokuta. Koristeći Pitagorin teorem, dobivamo:}

D₂=√(D₄²+ b^2)=√(4a2^{+ b}2^);

D₃=√(D₅²+ b^2)=√(3a2^{+ b}2^).

Dakle, najveća dijagonala za bilo koju vrijednost a i b jeD_2.

Površina

Da bismo razumjeli o čemu je riječ, najlakši način je razmotriti razvoj ove prizme. To je prikazano na slici.

Može se vidjeti da je za određivanje površine svih strana figure koja se razmatra potrebno posebno izračunati površinu četverokuta i površinu šesterokuta, a zatim ih pomnožiti odgovarajućim cijelim brojevima jednakim broju svakog n-kuta u prizmi i zbroji rezultate. Šestokuti 2, pravokutnici 6.

Za površinu pravokutnika dobivamo:

S_1=ab.

Tada je bočna površina:

S_2=6ab.

Da biste odredili površinu šesterokuta, najlakši način je korištenje odgovarajuće formule, koja izgleda ovako:

S=n/4a2ctg(pi/n).

Zamjenom broja n jednak 6 u ovaj izraz, dobivamo površinu jednog šesterokuta:

S₆=6/4a²ctg(pi/6)=3√3/2a 2^.

Ovaj izraz treba pomnožiti s dva da se dobije površina baza prizme:

S_os=3√3a^2.

Ostaje dodati S_os i S_{2 da dobijete ukupnu površinu figure:}

S=S_os+ S₂=3√3a^{2+ 6ab=3a(√3a + 2b).}

volumen prizme

Nakon formule zapovršine šesterokutne baze, izračunavanje volumena sadržanog u dotičnoj prizmi jednostavno je kao ljuštenje krušaka. Da biste to učinili, samo trebate pomnožiti površinu jedne baze (šesterokuta) s visinom figure, čija je duljina jednaka duljini bočnog ruba. Dobivamo formulu:

V=S₆b=3√3/2a^2b.

Napominjemo da umnožak baze i visine daje vrijednost volumena apsolutno bilo koje prizme, uključujući i kosu. Međutim, u potonjem slučaju, izračun visine je kompliciran, jer više neće biti jednak duljini bočnog rebra. Što se tiče pravilne šesterokutne prizme, vrijednost njenog volumena je funkcija dviju varijabli: stranica a i b.