Nerješivi problemi su 7 najzanimljivijih matematičkih problema. Svaki od njih su svojedobno predložili poznati znanstvenici, u pravilu, u obliku hipoteza. Već desetljećima matematičari diljem svijeta razbijaju mozak nad svojim rješenjem. Oni koji uspiju bit će nagrađeni s milijun američkih dolara koje nudi Clay Institute.
Pozadina
Godine 1900. veliki njemački matematičar David Hilbert predstavio je popis od 23 problema.
Istraživanja provedena kako bi se oni riješili imala su ogroman utjecaj na znanost 20. stoljeća. Trenutno je većina njih prestala biti misterija. Među neriješenim ili djelomično riješenim su:
- problem konzistentnosti aritmetičkih aksioma;
- opći zakon uzajamnosti na prostoru bilo kojeg polja brojeva;
- matematička studija fizičkih aksioma;
- proučavanje kvadratnih oblika za proizvoljni algebarski brojizgledi;
- problem rigoroznog opravdanja računske geometrije Fjodora Schuberta;
- itd.
Neistraženi su: problem proširenja dobro poznatog Kroneckerovog teorema na bilo koju algebarsku regiju racionalnosti i Riemannova hipoteza.
The Clay Institute
Ovo je naziv privatne neprofitne organizacije sa sjedištem u Cambridgeu, Massachusetts. Osnovali su ga 1998. harvardski matematičar A. Jeffey i poslovni čovjek L. Clay. Cilj Instituta je popularizacija i razvoj matematičkog znanja. Kako bi to postigla, organizacija dodjeljuje nagrade znanstvenicima i sponzorima obećavajućih istraživanja.
Početkom 21. stoljeća, Institut za matematiku Clay ponudio je nagradu onima koji rješavaju ono što je poznato kao najteže nerješive probleme, nazvavši njihovu listu problemima Milenijske nagrade. Samo je Riemannova hipoteza uključena u Hilbertov popis.
Izazovi milenijuma
Popis Instituta Clay izvorno je uključivao:
- Hodgeov ciklus hipoteze;
- kvantne Yang-Millsove teorijske jednadžbe;
- Poincaré hipoteza;
- problem jednakosti klasa P i NP;
- Riemannova hipoteza;
- Navier-Stokesove jednadžbe, o postojanju i glatkoći njezinih rješenja;
- Birch-Swinnerton-Dyer problem.
Ovi otvoreni matematički problemi su od velikog interesa jer mogu imati mnogo praktičnih implementacija.
Što je Grigory Perelman dokazao
Godine 1900., slavni filozof Henri Poincaré sugerirao je da je bilo koja jednostavno povezana kompaktna 3-mnogostrukost bez granica homeomorfna 3-dimenzionalnoj sferi. Njegov dokaz u općem slučaju nije pronađen stoljeće. Tek 2002.-2003. peterburški matematičar G. Perelman objavio je niz članaka s rješenjem Poincaréovog problema. Imali su učinak bombe koja je eksplodirala. Godine 2010. hipoteza Poincaréa isključena je s popisa "Neriješenih problema" Instituta Clay, a Perelmanu je ponuđeno da zbog njega primi znatnu naknadu, što je ovaj odbio ne obrazlažući razloge svoje odluke.
Najrazumljivije objašnjenje onoga što je ruski matematičar uspio dokazati može se dati tako što se zamisli da se gumeni disk navuče na krafnu (torus), a zatim pokušavaju povući rubove njegove kružnice u jednu točku. Očito to nije moguće. Još jedna stvar, ako napravite ovaj eksperiment s loptom. U ovom slučaju, naizgled trodimenzionalna sfera, nastala iz diska čiji je opseg povučen do točke hipotetskom vrpcom, bila bi trodimenzionalna u razumijevanju obične osobe, ali dvodimenzionalna u smislu matematike.
Poincare je sugerirao da je trodimenzionalna sfera jedini trodimenzionalni "objekt" čija se površina može skupiti u jednu točku, a Perelman je to uspio dokazati. Dakle, lista "Neriješivih problema" danas se sastoji od 6 problema.
Yang-Mills teorija
Ovaj matematički problem predložili su njegovi autori 1954. godine. Znanstvena formulacija teorije je sljedeća:za bilo koju jednostavnu kompaktnu mjernu grupu postoji kvantna prostorna teorija koju su stvorili Yang i Mills, a istovremeno ima nulti defekt mase.
Govoreći jezikom razumljivim običnom čovjeku, interakcije između prirodnih objekata (čestica, tijela, valova, itd.) dijele se na 4 vrste: elektromagnetske, gravitacijske, slabe i jake. Dugi niz godina fizičari pokušavaju stvoriti opću teoriju polja. Trebao bi postati alat za objašnjavanje svih tih interakcija. Yang-Millsova teorija je matematički jezik kojim je postalo moguće opisati 3 od 4 glavne sile prirode. Ne odnosi se na gravitaciju. Stoga se ne može smatrati da su Yang i Mills uspjeli stvoriti teoriju polja.
Osim toga, nelinearnost predloženih jednadžbi čini ih iznimno teškim za rješavanje. Za male konstante spajanja mogu se približno riješiti u obliku niza teorije perturbacije. Međutim, još nije jasno kako se ove jednadžbe mogu riješiti jakom spregom.
Navier-Stokesove jednadžbe
Ovi izrazi opisuju procese kao što su strujanja zraka, protok tekućine i turbulencija. Za neke posebne slučajeve već su pronađena analitička rješenja Navier-Stokesove jednadžbe, ali to za opći slučaj do sada nitko nije uspio. Istovremeno, numeričke simulacije za određene vrijednosti brzine, gustoće, tlaka, vremena i tako dalje mogu postići izvrsne rezultate. Ostaje za nadati se da će netko moći primijeniti Navier-Stokesove jednadžbe obrnutosmjer, tj. izračunati parametre koristeći ih ili dokazati da ne postoji metoda rješenja.
Birch-Swinnerton-Dyer problem
Kategorija "Neriješeni problemi" također uključuje hipotezu koju su predložili britanski znanstvenici sa Sveučilišta Cambridge. Čak i prije 2300 godina, starogrčki znanstvenik Euklid dao je potpuni opis rješenja jednadžbe x2 + y2=z2.
Ako za svaki prosti broj izbrojimo broj točaka na krivulji po modulu, dobivamo beskonačan skup cijelih brojeva. Ako je posebno "zalijepite" u 1 funkciju kompleksne varijable, tada ćete dobiti Hasse-Weil zeta funkciju za krivulju trećeg reda, označenu slovom L. Sadrži informacije o ponašanju po modulu svih prostih brojeva odjednom.
Brian Birch i Peter Swinnerton-Dyer nagađali su o eliptičnim krivuljama. Prema njemu, struktura i broj skupa njegovih racionalnih rješenja povezani su s ponašanjem L-funkcije u identičnosti. Trenutno nedokazana Birch-Swinnerton-Dyerova pretpostavka ovisi o opisu algebarskih jednadžbi 3. stupnja i jedini je relativno jednostavan opći način izračunavanja ranga eliptičkih krivulja.
Da bismo razumjeli praktičnu važnost ovog zadatka, dovoljno je reći da se u modernoj kriptografiji cijela klasa asimetričnih sustava temelji na eliptičnim krivuljama, a domaći standardi digitalnog potpisa temelje se na njihovoj primjeni..
Jednakost klasa p i np
Ako su ostali milenijski izazovi čisto matematički, onda je ovajodnos prema stvarnoj teoriji algoritama. Problem koji se tiče jednakosti klasa p i np, također poznat kao Cooke-Levinov problem, može se formulirati razumljivim jezikom na sljedeći način. Pretpostavimo da se pozitivan odgovor na određeno pitanje može provjeriti dovoljno brzo, tj. u polinomskom vremenu (PT). Je li onda točna tvrdnja da se odgovor na nju može pronaći prilično brzo? Još jednostavnije ovaj problem zvuči ovako: nije li doista teže provjeriti rješenje problema nego ga pronaći? Ako se ikada dokaže jednakost klasa p i np, tada se svi problemi odabira mogu riješiti za PV. Trenutno mnogi stručnjaci sumnjaju u istinitost ove izjave, iako ne mogu dokazati suprotno.
Riemannova hipoteza
Do 1859. nije pronađen nijedan obrazac koji bi opisao kako su prosti brojevi raspoređeni među prirodnim brojevima. Možda je to bilo zbog činjenice da se znanost bavila drugim pitanjima. Međutim, sredinom 19. stoljeća situacija se promijenila i postali su jedan od najrelevantnijih kojima se matematika počela baviti.
Riemannova hipoteza, koja se pojavila u tom razdoblju, pretpostavka je da postoji određeni obrazac u raspodjeli prostih brojeva.
Danas mnogi moderni znanstvenici vjeruju da će, ako se dokaže, tada biti potrebno revidirati mnoga temeljna načela moderne kriptografije, koja čine osnovu značajnog dijela mehanizama elektroničke trgovine.
Prema Riemannovoj hipotezi, likraspodjela prostih brojeva može se značajno razlikovati od onoga što se trenutno pretpostavlja. Činjenica je da do sada nije otkriven sustav u raspodjeli prostih brojeva. Na primjer, postoji problem "blizanaca", razlika između kojih je 2. Ti brojevi su 11 i 13, 29. Ostali prosti brojevi tvore skupine. To su 101, 103, 107 itd. Znanstvenici su dugo sumnjali da takvi skupovi postoje među vrlo velikim prostim brojevima. Ako se pronađu, onda će snaga modernih kripto ključeva biti upitna.
Hodgeov ciklus hipoteze
Ovaj još uvijek neriješen problem formuliran je 1941. Hodgeova hipoteza sugerira mogućnost aproksimacije oblika bilo kojeg predmeta "lijepljenjem" jednostavnih tijela viših dimenzija. Ova metoda je poznata i uspješno korištena već duže vrijeme. Međutim, nije poznato u kojoj je mjeri moguće pojednostavljenje.
Sada znate koji nerješivi problemi postoje u ovom trenutku. Predmet su istraživanja tisuća znanstvenika diljem svijeta. Ostaje se nadati da će oni biti riješeni u bliskoj budućnosti, a njihova praktična primjena pomoći će čovječanstvu da uđe u novi krug tehnološkog razvoja.
