Godine 1900., jedan od najvećih znanstvenika prošlog stoljeća, David Hilbert, sastavio je popis od 23 neriješena problema u matematici. Rad na njima imao je ogroman utjecaj na razvoj ovog područja ljudskog znanja. 100 godina kasnije, Clayjev matematički institut predstavio je popis od 7 problema poznatih kao Milenijski problemi. Svakom od njih ponuđena je nagrada od milijun dolara.
Jedini problem koji se pojavio među oba popisa zagonetki koje progone znanstvenike više od jednog stoljeća bila je Riemannova hipoteza. Ona još uvijek čeka svoju odluku.
Kratka biografska bilješka
Georg Friedrich Bernhard Riemann rođen je 1826. godine u Hannoveru, u velikoj obitelji siromašnog pastora, i živio je samo 39 godina. Uspio je objaviti 10 radova. Međutim, Riemann se već za života smatrao nasljednikom svog učitelja Johanna Gaussa. U dobi od 25 godina mladi znanstvenik obranio je disertaciju "Osnove teorije funkcija složene varijable". Kasnije je formuliraonjegova poznata hipoteza.
Prosti brojevi
Matematika se pojavila kada je čovjek naučio brojati. Istodobno su se pojavile i prve ideje o brojevima koje su kasnije pokušali klasificirati. Uočeno je da neki od njih imaju zajednička svojstva. Konkretno, među prirodnim brojevima, tj. onima koji su se koristili za brojanje (numeriranje) ili označavanje broja objekata, izdvajala se skupina koja je djeljiva samo s jednim i samim sobom. Zovu se jednostavni. Elegantan dokaz teorema o beskonačnosti skupa takvih brojeva dao je Euklid u svojim Elementima. Trenutno se njihova potraga nastavlja. Konkretno, najveći već poznati broj je 274 207 281 – 1.
Eulerova formula
Zajedno s konceptom beskonačnosti skupa prostih brojeva, Euklid je odredio i drugi teorem o jedinoj mogućoj dekompoziciji na proste faktore. Prema njemu, svaki pozitivan cijeli broj je proizvod samo jednog skupa prostih brojeva. Godine 1737., veliki njemački matematičar Leonhard Euler izrazio je prvi Euklidov teorem o beskonačnosti kao formulu ispod.
Zove se zeta funkcija, gdje je s konstanta, a p uzima sve proste vrijednosti. Iz nje izravno slijedi Euklidova izjava o jedinstvenosti proširenja.
Riemann Zeta funkcija
Eulerova formula, kad se bolje pogleda, potpuno jeiznenađujuće jer definira odnos između prostih i cijelih brojeva. Uostalom, beskonačno mnogo izraza koji ovise samo o prostim brojevima množe se na njegovoj lijevoj strani, a zbroj pridružen svim pozitivnim cijelim brojevima nalazi se na desnoj strani.
Riemann je otišao dalje od Eulera. Kako bi pronašao ključ problema distribucije brojeva, predložio je definiranje formule za realne i kompleksne varijable. Ona je kasnije dobila ime Riemannove zeta funkcije. Znanstvenik je 1859. objavio članak pod naslovom "O broju prostih brojeva koji ne prelaze zadanu vrijednost", gdje je sažeo sve svoje ideje.
Riemann je predložio korištenje Eulerove serije, koja konvergira za bilo koji pravi s>1. Ako se ista formula koristi za kompleks s, tada će niz konvergirati za bilo koju vrijednost ove varijable s realnim dijelom većim od 1. Riemann je primijenio analitički nastavak, proširujući definiciju zeta(a) na sve kompleksne brojeve, ali "izbacio" jedinicu. Isključeno je jer pri s=1 zeta funkcija raste do beskonačnosti.
Praktični smisao
Postavlja se logično pitanje: zašto je zeta funkcija, koja je ključna u Riemannovom radu na nultom hipotezi, zanimljiva i važna? Kao što znate, u ovom trenutku nije identificiran jednostavan obrazac koji bi opisao raspodjelu prostih brojeva među prirodnim brojevima. Riemann je uspio otkriti da se broj pi(x) prostih brojeva koji ne prelazi x izražava u terminima distribucije netrivijalnih nula zeta funkcije. Štoviše, Riemannova hipoteza jenužan uvjet za dokazivanje procjena vremena za rad nekih kriptografskih algoritama.
Riemannova hipoteza
Jedna od prvih formulacija ovog matematičkog problema, koja do danas nije dokazana, zvuči ovako: netrivijalne 0 zeta funkcije su kompleksni brojevi s realnim dijelom jednakim ½. Drugim riječima, nalaze se na liniji Re s=½.
Postoji i generalizirana Riemannova hipoteza, što je ista izjava, ali za generalizacije zeta funkcija, koje se obično nazivaju Dirichletove L-funkcije (vidi sliku ispod).
U formuli χ(n) - neki brojčani znak (modulo k).
Riemannova izjava smatra se takozvanom nultom hipotezom, jer je testirana na dosljednost s postojećim podacima uzorka.
Kao što je Riemann tvrdio
Primjedba njemačkog matematičara izvorno je sročena prilično ležerno. Činjenica je da je u to vrijeme znanstvenik trebao dokazati teorem o raspodjeli prostih brojeva, a u tom kontekstu ova hipoteza nije bila od posebne važnosti. Međutim, njegova je uloga u rješavanju mnogih drugih pitanja ogromna. Zato Riemannovu pretpostavku sada mnogi znanstvenici prepoznaju kao najvažniji od nedokazanih matematičkih problema.
Kao što je već spomenuto, puna Riemannova hipoteza nije potrebna za dokazivanje teorema distribucije, a dovoljno je logično opravdati da je stvarni dio bilo koje netrivijalne nule zeta funkcije uizmeđu 0 i 1. Iz ovog svojstva slijedi da je zbroj svih nula zeta funkcije koji se pojavljuje u točnoj formuli iznad konačna konstanta. Za velike vrijednosti x, može se potpuno izgubiti. Jedini član formule koji ostaje isti čak i za vrlo veliki x je sam x. Preostali kompleksni članovi nestaju asimptotski u usporedbi s njim. Dakle, ponderirani zbroj teži x. Ova se okolnost može smatrati potvrdom istinitosti teorema o raspodjeli prostih brojeva. Dakle, nule Riemannove zeta funkcije imaju posebnu ulogu. Sastoji se od dokazivanja da takve vrijednosti ne mogu značajno doprinijeti formuli razlaganja.
Riemannovi sljedbenici
Tragična smrt od tuberkuloze nije dopustila ovom znanstveniku da svoj program dovede do svog logičnog kraja. Međutim, Sh-Zh ga je preuzeo. de la Vallée Poussin i Jacques Hadamard. Neovisno jedni o drugima, izveli su teorem o raspodjeli prostih brojeva. Hadamard i Poussin uspjeli su dokazati da su sve netrivijalne 0 zeta funkcije unutar kritičnog pojasa.
Zahvaljujući radu ovih znanstvenika pojavio se novi smjer u matematici - analitička teorija brojeva. Kasnije su drugi istraživači dobili nekoliko primitivnijih dokaza teorema na kojem je radio Riemann. Konkretno, Pal Erdős i Atle Selberg čak su otkrili vrlo složen logički lanac koji to potvrđuje, a koji nije zahtijevao korištenje složene analize. Međutim, do ovog trenutka, nekoliko važnihteoreme, uključujući aproksimacije mnogih funkcija teorije brojeva. U tom smislu, novi rad Erdősa i Atlea Selberga praktički nije utjecao ni na što.
Jedan od najjednostavnijih i najljepših dokaza problema pronašao je 1980. Donald Newman. Temeljio se na poznatom Cauchyjevom teoremu.
Ugrožava li Riemannova hipoteza temelje moderne kriptografije
Ekripcija podataka nastala je zajedno s pojavom hijeroglifa, točnije, oni se sami mogu smatrati prvim kodovima. Trenutno postoji cijelo područje digitalne kriptografije koje razvija algoritme za šifriranje.
Prosti i "poluprosti" brojevi, tj. oni koji su djeljivi samo s 2 druga broja iz iste klase, čine osnovu sustava javnih ključeva poznatog kao RSA. Ima najširu primjenu. Konkretno, koristi se pri generiranju elektroničkog potpisa. Govoreći terminima dostupnim lutkama, Riemannova hipoteza potvrđuje postojanje sustava u distribuciji prostih brojeva. Time je jakost kriptografskih ključeva, o kojima ovisi sigurnost online transakcija u području e-trgovine, značajno smanjena.
Drugi neriješeni matematički problemi
Vrijedi završiti članak posvetivši nekoliko riječi drugim milenijskim ciljevima. To uključuje:
- Jednakost klasa P i NP. Problem je formuliran na sljedeći način: ako se pozitivan odgovor na određeno pitanje provjeri u polinomskom vremenu, onda je istina da sam odgovor na to pitanjemože se brzo pronaći?
- Hodgeova pretpostavka. Jednostavnim riječima, može se formulirati na sljedeći način: za neke vrste projektivnih algebarskih varijeteta (prostora), Hodgeovi ciklusi su kombinacije objekata koji imaju geometrijsku interpretaciju, tj. algebarski ciklusi.
- Poincaréova pretpostavka. Ovo je jedini Millennium Challenge koji je dosad dokazan. Prema njemu, svaki trodimenzionalni objekt koji ima specifična svojstva 3-dimenzionalne sfere mora biti sfera, do deformacije.
- Afirmacija kvantne teorije Yang - Mills. Potrebno je dokazati da kvantna teorija koju su iznijeli ovi znanstvenici za prostor R 4 postoji i ima 0-ti defekt mase za bilo koju jednostavnu kompaktnu mjernu grupu G.
- Birch-Swinnerton-Dyer hipoteza. Ovo je još jedan problem povezan s kriptografijom. Dotiče eliptičke krivulje.
- Problem postojanja i glatkoće rješenja Navier-Stokesovih jednadžbi.
Sada znate Riemannovu hipotezu. Jednostavno rečeno, formulirali smo neke od drugih milenijskih izazova. Da će se riješiti ili će se dokazati da nemaju rješenja, pitanje je vremena. Štoviše, malo je vjerojatno da će to morati predugo čekati, budući da matematika sve više koristi računalne sposobnosti računala. Međutim, nije sve podložno tehnologiji, a prije svega, za rješavanje znanstvenih problema potrebni su intuicija i kreativnost.
