Logaritmi: primjeri i rješenja

2024 Autor: Angel Austin | [email protected]. Zadnja promjena: 2024-01-02 17:48

Kao što znate, kada se množe izrazi s potencijama, njihovi se eksponenti uvijek zbrajaju (a^ba^c=a^{b+ c). Ovaj matematički zakon izveo je Arhimed, a kasnije, u 8. stoljeću, matematičar Virasen je stvorio tablicu cjelobrojnih pokazatelja. Upravo su oni poslužili za daljnje otkrivanje logaritama. Primjeri korištenja ove funkcije mogu se naći gotovo svugdje gdje je potrebno pojednostaviti glomazno množenje na jednostavno zbrajanje. Ako odvojite 10 minuta čitajući ovaj članak, objasnit ćemo vam što su logaritmi i kako s njima raditi. Jednostavan i pristupačan jezik.}

Definicija u matematici

Logaritam je izraz sljedećeg oblika: log_ab=c c" u koji trebate podići bazu "a" kako biste konačno dobili vrijednost " b". Analizirajmo logaritam na primjerima, recimo da postoji izraz log_{28. Kako pronaći odgovor? Vrlo je jednostavno, trebate pronaći takav stupanj da od 2 do traženog stupnja dobijete 8. Nakon što ste u mislima napravili neke izračune, dobili smo broj 3! I istina je, jer2 podignut na stepen 3 daje odgovor 8.}

Varieti logaritma

Za mnoge učenike i studente ova se tema čini kompliciranom i nerazumljivom, ali zapravo, logaritmi nisu toliko strašni, glavno je razumjeti njihovo opće značenje i zapamtiti njihova svojstva i neka pravila. Postoje tri različite vrste logaritamskih izraza:

1. Prirodni logaritam ln a, gdje je baza Eulerov broj (e=2, 7).
2. Decimalni logaritam lg a, gdje je baza broj 10.
3. Logaritam bilo kojeg broja b na bazu a>1.

Svaki od njih se rješava na standardni način, uključujući pojednostavljenje, redukciju i naknadno svođenje na jedan logaritam korištenjem logaritamskih teorema. Da biste dobili ispravne vrijednosti logaritama, treba zapamtiti njihova svojstva i redoslijed radnji u njihovom rješavanju.

Pravila i neka ograničenja

U matematici postoji nekoliko pravila-ograničenja koja se prihvaćaju kao aksiom, odnosno o njima se ne može pregovarati i istinita su. Na primjer, nemoguće je podijeliti brojeve s nulom, a također je nemoguće uzeti paran korijen iz negativnih brojeva. Logaritmi također imaju svoja pravila, slijedeći koja možete lako naučiti kako raditi čak i s dugim i opsežnim logaritamskim izrazima:

• osnova "a" uvijek mora biti veća od nule, a u isto vrijeme ne mora biti jednaka 1, inače će izraz izgubiti svoje značenje, jer su "1" i "0" u bilo kojem stupnju uvijek jednaka njihovim vrijednostima;
• ako je > 0, onda ab>0,ispada da "c" također mora biti veći od nule.

Kako riješiti logaritme?

Na primjer, s obzirom na zadatak pronaći odgovor na jednadžbu 10^x=100. Vrlo je jednostavno, trebate odabrati takvu snagu, podižući broj deset, mi dobiti 100. Ovo, naravno Pa, kvadratna snaga! 10^2=100.

Sada predstavimo ovaj izraz kao logaritamski. Dobivamo log_{10100=2. Prilikom rješavanja logaritama, sve se radnje praktički približavaju pronalaženju potencije u koju se mora unijeti baza logaritma da bi se dobio zadani broj.}

Da biste točno odredili vrijednost nepoznatog stupnja, morate naučiti kako raditi s tablicom stupnjeva. To izgleda ovako:

Kao što možete vidjeti, neke eksponente možete pogoditi intuitivno ako imate tehnički način razmišljanja i poznavanje tablice množenja. Međutim, veće vrijednosti zahtijevat će tablicu snage. Mogu ga koristiti čak i oni koji uopće ne razumiju ništa u složenim matematičkim temama. Lijevi stupac sadrži brojeve (baza a), gornji red brojeva je vrijednost potencije c, na koju se podiže broj a. Na raskrižju ćelije definiraju vrijednosti brojeva koji su odgovor (ac=b). Uzmimo, na primjer, prvu ćeliju s brojem 10 i kvadriramo je, dobivamo vrijednost 100, koja je naznačena na sjecištu naše dvije ćelije. Sve je tako jednostavno i lako da će i najpravi humanist razumjeti!

jednadžbe i nejednakosti

Ispostavilo se da kadaPod određenim uvjetima, eksponent je logaritam. Stoga se svaki matematički numerički izrazi može zapisati kao logaritamska jednadžba. Na primjer, 3⁴=81 može se napisati kao logaritam od 81 prema bazi 3, što je četiri (log₃81=4). Za negativne stupnjeve pravila su ista: 2^-5=1/32 napisano kao logaritam, dobivamo log_{2 (1/32)=-5. Jedna od najfascinantnijih sekcija matematike je tema "logaritma". Razmotrit ćemo primjere i rješenja jednadžbi malo niže, odmah nakon proučavanja njihovih svojstava. Za sada, pogledajmo kako izgledaju nejednakosti i kako ih razlikovati od jednadžbi.}

Dat je sljedeći izraz: log_{2(x-1) > 3 - to je logaritamska nejednakost, budući da je nepoznata vrijednost "x" pod znakom logaritam. Izraz također uspoređuje dvije vrijednosti: logaritam osnove dva željenog broja veći je od broja tri.}

Najvažnija razlika između logaritamskih jednadžbi i nejednadžbi je da jednadžbe s logaritmima (primjer - logaritam₂x=√9) _{podrazumijevaju u odgovoru jedna ili više specifičnih brojčanih vrijednosti, dok se pri rješavanju nejednakosti određuju i raspon prihvatljivih vrijednosti i prijelomne točke ove funkcije. Kao rezultat toga, odgovor nije jednostavan skup pojedinačnih brojeva, kao u odgovoru jednadžbe, već kontinuirani niz ili skup brojeva.}

Osnovni teoremi o logaritmima

Kada rješavate primitivne zadatke za pronalaženje vrijednosti logaritma, možda nećete znati njegova svojstva. Međutim, kada su u pitanju logaritamske jednadžbe ili nejednadžbe, prije svega je potrebno jasno razumjeti i primijeniti u praksi sva osnovna svojstva logaritama. Kasnije ćemo se upoznati s primjerima jednadžbi, prvo analizirajmo svako svojstvo detaljnije.

1. Osnovni identitet izgleda ovako: alogaB=B. Primjenjuje se samo ako je a veći od 0, nije jednako jedan, a B veći od nule.
2. Logaritam proizvoda može se predstaviti u sljedećoj formuli: log_d(s₁s_2)=logd_s1 _{+ log}d_s2. _{U ovom slučaju, obavezni uvjet je: d, s}1 _{i s}2 _{> 0; a≠1. Možete dati dokaz za ovu formulu logaritama, s primjerima i rješenjem. Neka log}a_s1 _=f1 _{i log}a_s 2_=f2_{, zatim a}f1^=s1_{, a} f2^=s2. _{Dobili smo to s}1_s2 _=af1^a f2^=af1+f2 ^{(svojstva stupnja), i dalje po definiciji: log}a_(s1 _s2_)=f1_{+ f}2_=log a_{s1 + log}a_s2, _{što je trebalo dokazati.}
3. Logaritam kvocijenta izgleda ovako: log_a(s_1/s₂)=log _as₁- log_a2.
4. Teorem u obliku formule ima sljedeći oblik: log_a^qbⁿ =n/q log_ab.

Ova formula se zove "svojstvo stupnja logaritma". Podsjeća na svojstva običnih stupnjeva, i nije iznenađujuće, jer sva matematika počiva na pravilnim postulatima. Pogledajmo dokaz.

Neka log_ab=t, dobivamo a^t=b. Ako podignete obje strane na m potenciju: a^tn=b^;

ali zato što a^tn=(a^q)^nt/q=b ^{, dakle log}aq _bn=(nt)/t, zatim log^a_q b_n=n/q log^ab. Teorem dokazan.

Primjeri problema i nejednakosti

Najčešći tipovi logaritamskih problema su primjeri jednadžbi i nejednakosti. Nalaze se u gotovo svim problemskim knjigama, a uključeni su i u obvezni dio ispita iz matematike. Da biste upisali sveučilište ili položili prijemni ispit iz matematike, morate znati kako pravilno riješiti takve probleme.

Nažalost, ne postoji jedinstveni plan ili shema za rješavanje i određivanje nepoznate vrijednosti logaritma, ali se određena pravila mogu primijeniti na svaku matematičku nejednakost ili logaritamsku jednadžbu. Prije svega, trebali biste saznati može li se izraz pojednostaviti ili svesti na opći oblik. Duge logaritamske izraze možete pojednostaviti ako pravilno koristite njihova svojstva. Upoznajmo ih uskoro.

Prilikom rješavanja logaritamskih jednadžbi,potrebno je odrediti kakav logaritam imamo pred sobom: primjer izraza može sadržavati prirodni logaritam ili decimalni.

Evo primjera decimalnih logaritama: ln100, ln1026. Njihovo rješenje svodi se na činjenicu da morate odrediti stupanj do kojeg će baza 10 biti jednaka 100, odnosno 1026. Za rješenja prirodnih logaritama potrebno je primijeniti logaritamske identitete ili njihova svojstva. Pogledajmo primjere rješavanja logaritamskih problema raznih vrsta.

Kako koristiti logaritamske formule: s primjerima i rješenjima

Dakle, pogledajmo primjere korištenja glavnih teorema o logaritmima.

1. Svojstvo logaritma proizvoda može se koristiti u zadacima gdje je potrebno razložiti veliku vrijednost broja b na jednostavnije faktore. Na primjer, log₂4 + log₂128=log₂(4128)=log_{2512. Odgovor je 9.}
2. log₄8=log_2² 2³ =3/2 log_{22=1, 5 - kao što vidite, primjenom četvrtog svojstva stupnja logaritma uspjeli smo riješiti na prvi pogled složen i nerješiv izraz. Sve što trebate učiniti je faktorizirati bazu, a zatim uzeti snagu iz predznaka logaritma.}

Zadaci s ispita

Logaritmi se često nalaze na prijemnim ispitima, posebno puno logaritamskih problema na Jedinstvenom državnom ispitu (državni ispit za sve maturante). Obično su ovi zadaci prisutni ne samo u dijelu A (najvišelaki probni dio ispita), ali i u dijelu C (najteži i najobimniji zadaci). Ispit zahtijeva točno i savršeno poznavanje teme "Prirodni logaritmi".

Primjeri i rješenja problema preuzeti su iz službenih verzija ispita. Pogledajmo kako se takvi zadaci rješavaju.

Dani log₂(2x-1)=4. Rješenje:

prepišite izraz, pojednostavljujući ga malo log_2(2x-1)=22^{, prema definiciji logaritma dobivamo da je 2x-1=2}4^{, dakle 2x=17; x=8, 5.}

Slijedeći nekoliko smjernica, slijedeći koje možete jednostavno riješiti sve jednadžbe koje sadrže izraze koji su pod znakom logaritma.

• Najbolje je sve logaritme svesti na istu bazu kako rješenje ne bi bilo glomazno i zbunjujuće.
• Svi izrazi pod predznakom logaritma označeni su kao pozitivni, pa kada množite eksponent izraza koji je pod predznakom logaritma i kao njegova baza, izraz koji ostaje ispod logaritma mora biti pozitivan.