Bertrandov paradoks je problem u klasičnoj interpretaciji teorije vjerojatnosti. Joseph je to uveo u svom djelu Calcul des probabilités (1889) kao primjer da se vjerojatnosti ne mogu dobro definirati ako mehanizam ili metoda proizvodi slučajnu varijablu.
Izjava o problemu
Bertrandov paradoks je sljedeći.
Prvo, razmotrite jednakostranični trokut upisan u krug. U ovom slučaju, promjer se bira nasumično. Kolika je vjerojatnost da je duži od stranice trokuta?
Bertrand je iznio tri argumenta, od kojih se svi čine točnima, ali daju različite rezultate.
Metoda slučajne krajnje točke
Morate odabrati dva mjesta na krugu i nacrtati luk koji ih povezuje. Za izračun se uzima u obzir Bertrandov paradoks vjerojatnosti. Potrebno je zamisliti da je trokut zakrenut tako da se njegov vrh poklapa s jednom od krajnjih točaka tetive. Vrijedi platitiimajte na umu da ako je drugi dio na luku između dva mjesta, krug je duži od stranice trokuta. Duljina luka je jedna trećina kruga, pa je vjerojatnost da je slučajni tetiva duži 1/3.
Način odabira
Potrebno je odabrati polumjer kružnice i točku na njoj. Nakon toga, morate izgraditi tetivu kroz ovo mjesto, okomito na promjer. Da bismo izračunali razmatrani Bertrandov paradoks teorije vjerojatnosti, moramo zamisliti da je trokut zakrenut tako da je strana okomita na polumjer. Tetiva je duža od noge ako je odabrana točka bliža središtu kruga. I u ovom slučaju, stranica trokuta dijeli polumjer. Stoga je vjerojatnost da je tetiva duža od stranice upisane figure 1/2.
Nasumični akordi
Metoda srednje točke. Potrebno je odabrati mjesto na krugu i stvoriti akord s zadanom sredinom. Os je duža od ruba upisanog trokuta, ako je odabrano mjesto unutar koncentrične kružnice polumjera 1/2. Površina manjeg kruga je jedna četvrtina veće figure. Stoga je vjerojatnost slučajnog tetiva duža od stranice upisanog trokuta i jednaka je 1/4.
Kao što je gore prikazano, metode odabira razlikuju se po težini koju daju određenim akordima, a to su promjeri. U metodi 1, svaki akord se može odabrati na točno jedan način, bez obzira radi li se o promjeru ili ne.
U metodi 2, svaka ravna linija može se odabrati na dva načina. Dok će se odabrati bilo koji drugi akordsamo jedna od mogućnosti.
U metodi 3, svaki odabir srednje točke ima jedan parametar. Osim središta kruga, koje je središte svih promjera. Ovi se problemi mogu izbjeći tako da se "naruče" sva pitanja kako bi se isključili parametri bez utjecaja na rezultirajuće vjerojatnosti.
Odabir metoda također se može vizualizirati na sljedeći način. Tetiva koja nije promjer jedinstveno je identificirana po sredini. Svaka od tri gore prikazane metode odabira proizvodi drugačiju raspodjelu sredine. A opcije 1 i 2 pružaju dvije različite neujednačene particije, dok metoda 3 daje jednoliku distribuciju.
Klasični paradoks rješavanja Bertrandovog problema ovisi o metodi kojom se akord bira "nasumično". Ispada da ako je unaprijed određena metoda slučajnog odabira, problem ima dobro definirano rješenje. To je zato što svaka pojedinačna metoda ima svoju distribuciju akorda. Tri odluke koje je pokazao Bertrand odgovaraju različitim načinima selekcije i, u nedostatku daljnjih informacija, nema razloga davati prednost jednoj pred drugom. Sukladno tome, navedeni problem nema jedinstveno rješenje.
Primjer kako opći odgovor učiniti jedinstvenim je specificiranje da su krajnje točke tetive ravnomjerno raspoređene između 0 i c, gdje je c opseg kružnice. Ova distribucija je ista kao u Bertrandovom prvom argumentu i rezultirajuća jedinstvena vjerojatnost bit će 1/3.
Ovaj paradoks Bertranda Russella i druge posebnosti klasiketumačenja mogućnosti opravdavaju rigoroznije formulacije. Uključujući učestalost vjerojatnosti i subjektivističku Bayesovu teoriju.
Što je u osnovi Bertrandovog paradoksa
U svom članku iz 1973. "The Well-posed Problem", Edwin Jaynes ponudio je svoje jedinstveno rješenje. Napomenuo je da se Bertrandov paradoks temelji na premisi koja se temelji na principu "maksimalnog neznanja". To znači da ne biste trebali koristiti informacije koje nisu navedene u opisu problema. Jaynes je istaknuo da Bertrandov problem ne određuje položaj ili veličinu kruga. I tvrdio da stoga svaka konačna i objektivna odluka mora biti "ravnodušna" prema veličini i položaju.
Za ilustraciju
Pod pretpostavkom da su svi akordi nasumično postavljeni na krug od 2 cm, sada ga trebate baciti slamkom izdaleka.
Tada trebate uzeti još jedan krug manjeg promjera (na primjer, 1 centimetar), koji se uklapa u veću figuru. Tada bi raspored tetiva na ovom manjem krugu trebao biti isti kao i na maksimalnom. Ako se i druga figura pomiče unutar prve, vjerojatnost se u načelu ne bi trebala mijenjati. Vrlo je lako vidjeti da će se za metodu 3 dogoditi sljedeća promjena: raspodjela akorda na malom crvenom krugu bit će kvalitativno različita od raspodjele na velikom krugu.
Isto se događa i za metodu 1. Iako je to teže vidjeti u grafičkom prikazu.
Metoda 2 je jedinašto se ispostavilo da je i ljestvica i invarijanta prijevoda.
Metoda broj 3 izgleda jednostavno proširiva.
Metoda 1 nije ni jedno ni drugo.
Međutim, Janes nije lako koristila invarijante da prihvati ili odbaci ove metode. To bi ostavilo mogućnost da postoji još jedna neopisana metoda koja bi odgovarala svojim aspektima razumnog značenja. Jaynes je primijenio integralne jednadžbe koje opisuju invarijante. Za izravno određivanje distribucije vjerojatnosti. U njegovom problemu, integralne jednadžbe doista imaju jedinstveno rješenje, a to je upravo ono što je gore nazvano drugom metodom slučajnog radijusa.
U radu iz 2015. Alon Drory tvrdi da Jaynesov princip također može donijeti dva druga Bertrandova rješenja. Autor uvjerava da matematička implementacija navedenih svojstava invarijantnosti nije jedinstvena, već ovisi o osnovnom postupku slučajnog odabira koji se osoba odluči koristiti. On pokazuje da se svako od tri Bertrandova rješenja može dobiti korištenjem rotacijske, skalirajuće i translacijske invarijantnosti. U isto vrijeme, zaključujući da je Jaynesov princip jednako podložan tumačenju kao i sam način ravnodušnosti.
Fizički eksperimenti
Metoda 2 jedino je rješenje koje zadovoljava transformacijske invarijante koje su prisutne u specifičnim fiziološkim konceptima kao što su statistička mehanika i struktura plina. Također u predloženomJanesov eksperiment bacanja slamki iz malog kruga.
Međutim, mogu se osmisliti i drugi praktični eksperimenti koji daju odgovore prema drugim metodama. Na primjer, da biste došli do rješenja za prvu metodu slučajne krajnje točke, možete pričvrstiti brojač na središte područja. I neka rezultati dvije neovisne rotacije istaknu konačna mjesta akorda. Da bi se došlo do rješenja treće metode, krug se može prekriti melasom, na primjer, i označiti prvu točku na koju muha sleti kao srednju tetivu. Nekoliko kontemplatora izradilo je studije kako bi izvuklo različite zaključke i empirijski potvrdilo rezultate.
Posljednji događaji
U svom članku iz 2007. "Bertrandov paradoks i princip ravnodušnosti", Nicholas Shackel tvrdi da više od stoljeća kasnije, problem i dalje ostaje neriješen. Ona nastavlja pobijati načelo ravnodušnosti. Nadalje, u svom radu iz 2013. "Ponovno pregledan paradoks Bertranda Russella: Zašto sva rješenja nisu praktična", Darrell R. Robottom pokazuje da sve predložene presude nemaju nikakve veze s njegovim vlastitim pitanjem. Tako se pokazalo da bi paradoks bilo puno teže riješiti nego što se mislilo.
Shackel naglašava da su dosad mnogi znanstvenici i ljudi daleko od znanosti pokušavali razriješiti Bertrandov paradoks. Još uvijek se prevladava uz pomoć dva različita pristupa.
One u kojima se razmatrala razlika između neekvivalentnih problema i onih u kojima se problem uvijek smatrao ispravnim. Shackel citira Louisa u svojim knjigamaMarinoff (kao tipični eksponent strategije diferencijacije) i Edwin Jaynes (kao autor dobro osmišljene teorije).
Međutim, u svom nedavnom djelu Rješavanje složenog problema, Diederik Aerts i Massimiliano Sassoli de Bianchi vjeruju da se, kako bi se riješio Bertrandov paradoks, premise moraju tražiti u mješovitoj strategiji. Prema tim autorima, prvi je korak riješiti problem jasnim navođenjem prirode entiteta koji se nasumično raspoređuje. I tek nakon što se to učini, svaki se problem može smatrati ispravnim. To misli Janes.
Dakle, princip maksimalnog neznanja može se koristiti za rješavanje. U tu svrhu, a budući da problem ne precizira kako treba odabrati akord, princip se ne primjenjuje na razini različitih mogućnosti, već na mnogo dubljoj.
Odabir dijelova
Ovaj dio problema zahtijeva izračunavanje metaprosjeka za sve moguće načine, što autori nazivaju univerzalnom sredinom. Kako bi se pozabavili ovim, koriste se metodom diskretizacije. Inspiriran onim što se radi u definiranju zakona vjerojatnosti u Wienerovim procesima. Njihov rezultat je u skladu s brojčanim rezultatom Jaynesa, iako se njihov dobro postavljen problem razlikuje od originalnog autorovog.
U ekonomiji i trgovini, Bertrandov paradoks, nazvan po svom tvorcu Josephu Bertrandu, opisuje situaciju u kojoj dva igrača (firme) postižu Nashovu ravnotežu. Kada obje tvrtke postave cijenu jednaku graničnom trošku(MS).
Bertrandov paradoks temelji se na premisi. Ona leži u činjenici da se u modelima kao što je Cournotova konkurencija, povećanje broja poduzeća povezuje s konvergencijom cijena s graničnim troškovima. U ovim alternativnim modelima, Bertrandov paradoks je u oligopolu malog broja tvrtki koje ostvaruju pozitivnu dobit naplaćujući cijene iznad cijene.
Za početak, vrijedi pretpostaviti da dvije tvrtke A i B prodaju homogeni proizvod, od kojih svaka ima iste troškove proizvodnje i distribucije. Iz toga proizlazi da kupci odabiru proizvod isključivo na temelju cijene. To znači da je potražnja beskonačno cjenovno elastična. Ni A ni B neće postaviti višu cijenu od ostalih, jer bi to prouzročilo kolaps cijelog Bertrandovog paradoksa. Jedan od sudionika na tržištu će popustiti svom konkurentu. Ako postave istu cijenu, tvrtke će podijeliti dobit.
S druge strane, ako bilo koja tvrtka makar malo snizi cijenu, dobit će cijelo tržište i znatno veći povrat. Budući da A i B to znaju, svaki će pokušati potkopavati konkurenta sve dok se proizvod ne proda za nultu ekonomsku dobit.
Nedavni rad je pokazao da može postojati dodatna ravnoteža u paradoksu Bertrandove mješovite strategije, s pozitivnim ekonomskim profitom, pod uvjetom da je zbroj monopola beskonačan. Za slučaj konačne dobiti pokazalo se da je pozitivan porast u cjenovnoj konkurenciji nemoguć u mješovitim ravnotežama, pa čak i u općenitijem slučajukorelirani sustavi.
Zapravo, Bertrandov paradoks u ekonomiji rijetko se viđa u praksi, jer se pravi proizvodi gotovo uvijek razlikuju na neki drugi način osim cijene (na primjer, preplaćivanje za etiketu). Poduzeća imaju ograničenja u svojoj sposobnosti proizvodnje i distribucije. Zbog toga dvije tvrtke rijetko imaju iste troškove.
Bertrandov rezultat je paradoksalan jer ako se broj tvrtki poveća s jedne na dvije, cijena pada s monopola na konkurentsku i ostaje na istoj razini kao i broj tvrtki koje se nakon toga povećavaju. To nije baš realno, jer u stvarnosti tržišta s nekoliko tvrtki s tržišnom snagom obično naplaćuju cijene iznad graničnih troškova. Empirijska analiza pokazuje da većina industrija s dva konkurenta ostvaruje pozitivnu dobit.
U suvremenom svijetu znanstvenici pokušavaju pronaći rješenja za paradoks koja su konzistentnija s Cournotovim modelom natjecanja. Gdje dvije tvrtke na tržištu ostvaruju pozitivnu dobit koja je negdje između savršeno konkurentne i razine monopola.
Neki razlozi zašto Bertrandov paradoks nije izravno povezan s ekonomijom:
- Ograničenja kapaciteta. Ponekad poduzeća nemaju dovoljno kapaciteta da zadovolje svu potražnju. Ovu točku prvi je pokrenuo Francis Edgeworth i iz nje je nastao Bertrand-Edgeworth model.
- Cijene cjelobrojne. Cijene iznad MC su isključene jer jedno poduzeće može nasumično potcijeniti drugu.mala količina. Ako su cijene diskretne (na primjer, moraju imati cjelobrojne vrijednosti), tada jedno poduzeće mora sniziti drugu za najmanje jednu rublju. To implicira da je vrijednost sitne valute iznad MC. Ako druga tvrtka za nju postavi višu cijenu, druga ju može sniziti i zauzeti cijelo tržište, Bertrandov paradoks se upravo u tome sastoji. To joj neće donijeti nikakav profit. Ovaj posao će radije dijeliti prodaju 50/50 s drugom tvrtkom i ostvarivati isključivo pozitivan prihod.
- Razlikovanje proizvoda. Ako se proizvodi različitih tvrtki međusobno razlikuju, potrošači se možda neće u potpunosti prebaciti na proizvode s nižom cijenom.
- Dinamično natjecanje. Ponovljena interakcija ili opetovana cjenovna konkurencija mogu dovesti do ravnoteže vrijednosti.
- Više artikala za veći iznos. To proizlazi iz ponovljene interakcije. Ako jedna tvrtka postavi svoju cijenu malo višu, i dalje će dobiti otprilike isti broj kupnji, ali veću dobit po artiklu. Stoga će druga tvrtka povećati svoju maržu itd. (Samo u reprizama, inače dinamika ide u drugom smjeru).
Oligopol
Ako se dvije tvrtke mogu dogovoriti oko cijene, u njihovom je dugoročnom interesu zadržati dogovor: prihod od smanjenja vrijednosti manji je od dvostrukog prihoda od poštivanja sporazuma i traje samo dok druga tvrtka ne smanji vlastite cijene.
Teorijavjerojatnosti (kao i ostatak matematike) je zapravo nedavni izum. A razvoj nije tekao glatko. Prve pokušaje formaliziranja izračuna vjerojatnosti napravio je markiz de Laplace, koji je predložio da se koncept definira kao omjer broja događaja koji vode do ishoda.
Ovo, naravno, ima smisla samo ako je broj svih mogućih događaja konačan. A osim toga, svi događaji su jednako vjerojatni.
Tako se u to vrijeme činilo da ovi koncepti nemaju čvrste temelje. Pokušaji proširenja definicije na slučaj beskonačnog broja događaja doveli su do još većih poteškoća. Bertrandov paradoks jedno je takvo otkriće koje je matematičare učinilo opreznim u pogledu cijelog koncepta vjerojatnosti.
