Ako je linearno kretanje tijela opisano u klasičnoj mehanici korištenjem Newtonovih zakona, tada se karakteristike kretanja mehaničkih sustava duž kružnih putanja izračunavaju pomoću posebnog izraza, koji se naziva jednadžba momenata. O kojim trenucima govorimo i koje je značenje ove jednadžbe? Ova i druga pitanja otkrivaju se u članku.
Trenutak sile
Svi su svjesni Newtonove sile, koja, djelujući na tijelo, dovodi do davanja ubrzanja. Kada se takva sila primjenjuje na predmet koji je fiksiran na određenoj osi rotacije, tada se ova karakteristika obično naziva momentom sile. Jednadžba momenta sile može se napisati na sljedeći način:
M¯=L¯F¯
Slika koja objašnjava ovaj izraz prikazana je ispod.
Ovdje možete vidjeti da je sila F¯ usmjerena na vektor L¯ pod kutom Φ. Pretpostavlja se da je sam vektor L¯ usmjeren od osi rotacije (označene strelicom) do točke primjeneF¯.
Gornja formula je proizvod dvaju vektora, tako da je M¯ također usmjeren. Gdje će se okrenuti moment sile M¯? To se može odrediti pravilom desne ruke (četiri prsta usmjerena su duž putanje od kraja vektora L¯ do kraja F¯, a lijevi palac pokazuje smjer M¯).
Na gornjoj slici, izraz za moment sile u skalarnom obliku imat će oblik:
M=LFsin(Φ)
Ako pažljivo pogledate sliku, možete vidjeti da je Lsin(Φ)=d, tada imamo formulu:
M=dF
Vrijednost d je važna karakteristika u izračunavanju momenta sile, jer odražava učinkovitost primijenjenog F na sustav. Ova vrijednost se zove poluga sile.
Fizičko značenje M leži u sposobnosti sile da rotira sustav. Svatko može osjetiti tu sposobnost ako otvori vrata za kvaku, gurajući ih blizu šarki, ili ako pokuša odvrnuti maticu kratkim i dugim ključem.
Ravnoteža sustava
Koncept momenta sile vrlo je koristan kada se razmatra ravnoteža sustava na koji djeluju više sila i ima os ili točku rotacije. U takvim slučajevima primijenite formulu:
∑iMi¯=0
To jest, sustav će biti u ravnoteži ako je zbroj svih momenata sila primijenjenih na njega jednak nuli. Imajte na umu da u ovoj formuli postoji vektorski predznak nad trenutkom, odnosno pri rješavanju ne treba zaboraviti uzeti u obzir predznak ovogkoličine. Općeprihvaćeno pravilo je da djelujuća sila koja rotira sustav u smjeru suprotnom od kazaljke na satu stvara pozitivno Mi¯.
Upečatljiv primjer problema ove vrste su problemi s ravnotežom Arhimedovih poluga.
Trenutak zamaha
Ovo je još jedna važna karakteristika kružnog kretanja. U fizici se opisuje kao umnožak zamaha i poluge. Jednadžba zamaha izgleda ovako:
T¯=r¯p¯
Ovdje je p¯ vektor zamaha, r¯ je vektor koji povezuje rotirajuću materijalnu točku s osi.
Slika ispod ilustrira ovaj izraz.
Ovdje ω je kutna brzina, koja će se pojaviti dalje u jednadžbi trenutka. Imajte na umu da se smjer vektora T¯ nalazi po istom pravilu kao i M¯. Na gornjoj slici, T¯ u smjeru će se podudarati s vektorom kutne brzine ω¯.
Fizičko značenje T¯ je isto kao i karakteristike p¯ u slučaju linearnog gibanja, tj. kutni moment opisuje količinu rotacijskog gibanja (pohranjenu kinetičku energiju).
Moment inercije
Treća važna karakteristika, bez koje je nemoguće formulirati jednadžbu gibanja rotirajućeg objekta, je moment inercije. Pojavljuje se u fizici kao rezultat matematičkih transformacija formule za kutni moment materijalne točke. Hajde da vam pokažemo kako se to radi.
Zamislimo vrijednostT¯ kako slijedi:
T¯=r¯mv¯, gdje je p¯=mv¯
Koristeći odnos između kutne i linearne brzine, možemo prepisati ovaj izraz na sljedeći način:
T¯=r¯mr¯ω¯, gdje je v¯=r¯ω¯
Napiši posljednji izraz na sljedeći način:
T¯=r2mω¯
Vrijednost r2m je moment tromosti I za točku mase m koja čini kružno gibanje oko osi na udaljenosti r od nje. Ovaj poseban slučaj nam omogućuje da uvedemo opću jednadžbu momenta inercije za tijelo proizvoljnog oblika:
I=∫m (r2dm)
I je aditivna veličina, čije značenje leži u inerciji rotacijskog sustava. Što sam veći I, teže je okretati tijelo i potrebno je mnogo truda da se to zaustavi.
Momentna jednadžba
Razmatrali smo tri količine, čiji naziv počinje riječju "trenutak". To je učinjeno namjerno, budući da su svi povezani u jedan izraz, nazvan jednadžba 3-momenta. Izvucimo to.
Razmotrimo izraz za kutni moment T¯:
T¯=Iω¯
Pronađi kako se vrijednost T¯ mijenja u vremenu, imamo:
dT¯/dt=Idω¯/dt
S obzirom da je derivacija kutne brzine jednaka onoj linearne brzine podijeljene s r, i širenjem vrijednosti I dolazimo do izraza:
dT¯/dt=mr21/rdv¯/dt=rma¯, gdje je a¯=dv¯/dt linearno ubrzanje.
Zapazite da umnožak mase i ubrzanja nije ništa drugo nego djelujuća vanjska sila F¯. Kao rezultat, dobivamo:
dT¯/dt=rF¯=M¯
Došli smo do zanimljivog zaključka: promjena kutnog momenta jednaka je momentu djelujuće vanjske sile. Ovaj se izraz obično piše u malo drugačijem obliku:
M¯=Iα¯, gdje je α¯=dω¯/dt - kutno ubrzanje.
Ova se jednakost naziva jednadžba momenata. Omogućuje vam izračunavanje bilo koje karakteristike rotirajućeg tijela, znajući parametre sustava i veličinu vanjskog utjecaja na njega.
Zakon o očuvanju T¯
Zaključak dobiven u prethodnom paragrafu pokazuje da ako je vanjski moment sila jednak nuli, tada se kutni moment neće promijeniti. U ovom slučaju pišemo izraz:
T¯=konst. ili I1ω1¯=I2ω2 ¯
Ova formula se zove zakon održanja T¯. To jest, sve promjene unutar sustava ne mijenjaju ukupni kutni moment.
Ovu činjenicu koriste umjetničke klizačice i balerine tijekom svojih nastupa. Također se koristi ako je potrebno rotirati umjetni satelit koji se kreće u prostoru oko svoje osi.
